指向數學高階思維培養的教學設計

數學學科六大核心素養的關鍵在于高階思維的培養，如何在高中數學課堂上培養學生的高階思維是廣大數學教師要思考的關鍵問題．本文結合已有的相關研究，介紹教育學領域對高階思維的界定，分析高中數學學習對高階思維的要求，結合一節高二復習課《拋物線》的教學設計，闡述如何在高中數學復習課中培養學生的高階思維．

1 教育學領域對高階思維的界定

在教育學領域，最具代表性的便是布魯姆在《教育目標分類學》中對高階思維的界定．布魯姆從認知領域的角度對教育目標進行了分層，由高到低為評價、綜合、分析、應用、領會、識記6個層次[1]．其中，前三個便是高階思維．安德森等人對布魯姆教育目標分類進行了修改，將教育目標由高至低劃分為創造、評價、分析、應用、理解、記憶，前三個仍是高階思維[2]．國內學者鐘志賢認為高階思維能力是以高階思維為核心，解決復雜問題的心理特征，是發生在較高認知水平上的一種綜合能力．他認為，高階思維與低階思維特征的區別如圖1．同時鐘志賢教授指出：高階思維能力是高階思維的核心，而高階思維能力主要由問題求解、決策、批判性思維、創造性思維組成[3]．相對于低階思維，高階思維的特征主要有靈活性、敏捷性、深刻性、批判性、創造性．（圖1）

2 高中數學學習對高階思維的要求

高考評價體系主要由“一核”“四層”“四翼”三部分內容組成．“四層”中的學科素養是指即將進入高等學校的學習者在面對生活實踐或學習探索問題情境時，能夠在正確的思想價值觀念指導下，合理運用科學的思維方法，有效整合學科相關知識，運用學科相關能力，高質量地認識問題、分析問題、解決問題的綜合品質．它包括“學習掌握、實踐探索、思維方法”3個一級指標．其中“思維方法”是指學習者在面對生活實踐或學習探索問題情境時，進行獨立思考和探索創新的內在認知品質[4]．《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中提出了數學學科核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析．數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用的過程中逐步形成和發展的[5]．因此，數學學科核心素養是學生學習數學知識的橋梁，更是解決數學問題的方法和能力．落實六大核心素養的關鍵在于高階思維的培養，體現在六大核心素養對貫通知識、歸納方法、熟練技能等方面的作用[6]．

現以一節高二數學復習課的教學設計為例，談談如何在復習課中培養學生的高階思維．

3 高二復習課《拋物線》的教學設計

3.1 內容解析

《拋物線》是蘇教版高中數學，選擇性必修第一冊第三章第三節的內容．本節共3個課時，涉及拋物線的標準方程和拋物線的幾何性質．案列圍繞《拋物線》復習，設計了跨度較大的幾組數學問題，優化情境設計，引導學生通過多種方法實施探究．提高學生分析問題，解決問題的能力，并在此過程中培養學生的高階思維．

知識結構 本節課涉及拋物線的概念、拋物線的方程、拋物線的幾何性質、直線與拋物線等．

學科育人 根據學生的認知基礎，讓學生經歷探究過程，提高分析問題、解決問題、概括總結的能力，提升學科素養．

數學思想 滲透函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等數學思想方法．

核心素養 提升學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養．

高階思維 培養學生的分析、評價、創造等高階思維．

3.2 學習目標

通過本節課的復習，學生掌握拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，以及拋物線的簡單幾何性質，了解拋物線的簡單應用，有效完善學生的知識結構．經歷觀察、對比、推理等活動過程，記錄分析解決問題的活動經驗．滲透函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等數學思想方法，培養分析、評價、創造等高階思維．

3.3 學情分析

學生已經完成了解析幾何部分的學習，初步掌握了圓錐曲線的概念，建立了圓錐曲線的方程，并通過方程研究了圓錐曲線的基本性質，運用方程和性質解決了一些實際問題．班級是選修物理、化學、生物的班級，學生學習能力尚可，具備一定的解決問題的能力．但是，因為是初學，學生對拋物線的性質掌握還不夠深入和全面，又因為學習圓錐曲線后已有一個月左右的時間，學生對拋物線部分的知識遺忘較多．

3.4 教學重難點

引導學生回憶拋物線部分的基礎知識，掌握拋物線部分的常見題型．分析、合作交流解決拋物線有關的最值問題、直線與拋物線的有關問題等．在問題解決過程中提升學生的學科素養，培養學生的高階思維．

3.5 教學過程

3.5.1 課前梳理，追本溯源

課前準備一份拋物線知識清單，知識清單主要包括拋物線的概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質．知識清單主要由學生自主復習后完成．

設計意圖 拋物線的基礎知識是解決相關問題的必備知識，學生通過知識梳理，回憶基礎知識，為后續問題的解決做好準備．

3.5.2 課前熱身，基礎自測

問題1-1 拋物線y=4x2的焦點坐標為____ ，準線方程為____ ，焦點到準線的距離為 ____．

問題1-2 已知拋物線C：y2=2px（p>0）上一點M（6，y），到焦點F的距離為8，則p=____．

問題1-3 已知動點M到點F（4，0），的距離比到直線x+5=0的距離小1，則點M的軌跡方程為 ____．

問題1-4 （多選）過拋物線C：x2=?4y的焦點F作直線交拋物線C于AB，兩點，則（ ）

A．|AB|的最小值為4

B．y1y2=-4

C．1/|FA|+1/|FB|=1

D．以線段AB為直徑的圓與x軸相切

設計意圖課前熱身中問題1-1考查拋物線的標準方程，問題1-2、問題1-3是拋物線定義的應用，問題1-4考查拋物線的常用性質．這四個問題難度底，是對拋物線定義、標準方程、性質的直接應用，其目的是讓學生在課前自主完成基礎知識梳理后，通過題目自我評價對拋物線基礎知識的掌握程度．理解、記憶、應用為后續高階思維的發展打下了基礎，同時，通過課前熱身問題的解決，讓學生獲得成就感，為后續學習增強信心．

3.5.3 合作交流，激活思維

問題2-1 已知直線l過拋物線x2=2py（p>0）的焦點，且與拋物線交于AB，兩點，若線段AB的長是6，AB的中點到x軸的距離是1，則此拋物線的方程是 ____．

問題2-2 已知燈反光鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源在拋物線的焦點處，已知燈口直徑是60cm，燈深40cm，則光源到反光鏡頂點的距離是____cm．

設計意圖問題2考查拋物線的標準方程，是拋物線中的典型題型之一，其中問題2-1偏重幾何性質的應用，問題2-2偏重實際問題的處理．我國著名教育家陶行知先生說“生活即教育，脫離生活的教育是死教育．”將書本知識與學生的生活實際相結合，從學生原有的生活經驗出發，讓學生面對需要加以解釋的現象，學生急切想弄清其中的緣由，就會激起學習的興趣，感受到數學的價值．通過問題2滲透轉化與化歸、數形結合等數學思想方法，提升學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養，培養學生的分析、創造等高階思維．

問題3 設拋物線C：y2=4x的焦點為F，點M為C上一動點．

問題3-1 若A（3，1），則|MA|+|MF|的最小值為____，若B（3，0），則|MB|的最小值為 ____；

問題3-2 若過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，則|AF|+4|BF|的最小值為____；

問題3-3 若直線l：x?y+5=0，則拋物線C上的點到直線l距離的最小值為____．

設計意圖 解析幾何中的最值問題一般可從幾何和代數兩個不同的角度去考查．問題3通過一個共同的題干，設計了拋物線中幾種常見的最值問題，這些最值問題處理方法的選擇可能不同．問題3-1第一個空偏向利用拋物線的幾何性質解決，第二個空偏向代數法解決．

問題3-2、3-3既可以利用幾何性質結合基本不等式解決，也可以用代數法解決．教學時，可以先師生討論，共同解決問題3-1，并在回顧總結解析幾何中最值問題的處理思路后，讓學生獨立思考，討論交流，解決問題3-2、3-3，而后形成成果，匯報成果，同學互評，最后歸納總結出拋物線中常見的最值問題，并形成與之對應的經驗方法．通過問題3的解決，滲透數形結合、函數與方程、轉化與化歸等數學思想方法，提升學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養．在此過程中促進學生問題求解能力、決策能力、批判性思維能力的提升，培養學生的分析、評價等高階思維．

問題4-1 若直線y=2x?1與拋物線y2=4x交于點A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|=____，→OA?→OB的值為 ____．

問題4-2 已知拋物線y_{6Y06xPT6dXGYOVlPK4txcw==}2=8x的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，當→AF=→2FB，|AB|=____，直線AB的斜率為____．

問題4-3 已知拋物線C：y2=4x，點P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在拋物線上．若直線PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，則y1+y2=____，直線AB的斜率為 ____．

設計意圖問題4考查的是直線與拋物線的問題．問題4-1偏向于直接聯立，轉化成兩根之和與兩根之積，用韋達定理求解．問題4-2是典型的圓錐曲線中的定比分點問題，可用拋物線的性質、也可以設點求解、還可以設線求解．問題4-3主要目的是對比圓錐曲線中的設點思路和設線思路，讓學生體會在處理拋物線問題時與處理橢圓和雙曲線問題時的異同．在教學中，可先讓學生獨立處理問題4-1，而后匯報交流，同學互評，從而熟悉圓錐曲線中典型的處理方法．問題4-2可讓學生思考后互相交流討論不同的解題策略，再針對不同的解題策略各自形成解題成果，匯報交流后，同學間互評、糾錯．最后，讓學生歸納總結，將結論推廣到圓錐曲線中，完成這類問題的解題模型．問題4-3可讓學生思考后，對比用點處理和用線處理的兩種解題思路，完成兩種不同思路的思路分析圖，尋找最優解法．最后，讓學生自主歸納總結處理直線與拋物線，和直線與其它圓錐曲線的異同．通過問題4的解決，滲透轉化與化歸、數形結合等數學思想方法，提升學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等核心素養，培養學生的分析、評價、創造等高階思維．

3.5.4 課堂總結，思維升華

問題5 請說一說這節課的知識及結構體系．

追問 請說一說這節課的學習蘊含了哪些數學思想方法和學科素養？

設計意圖 引導學生回顧本節課復習的知識與方法，歸納本節課解決的典型問題的思路，感悟理性思維和創新精神．

4 教學反思

如何在數學教學過程中培養學生的高階思維，是廣大數學教師始終要思考的問題．這就要求教師優化教學設計，為學生提供培養高級思維的契機．

4.1 創設現實生活情境，培養學生分析思維

數學知識來源于現實生活，教師在數學教學過程中應選擇學生熟悉的生活實例，著眼于學生的最近發展區，為學生創設情境、設計問題，提高學生學習的興趣，調動學生的主動性，使學生高階思維的靈活性、敏捷性以及深度分析的高階思維能力得以發展．在本案例中，問題2-2就是一個實際問題，學生在解題的過程中，經歷了實際問題的數學化，也體會了數學的應用性，增強了學習的興趣．

4.2 在教學中融入合作，培養學生分析思維和評價思維

現代教育理論尤其是高階學習理論強調合作學習，而近年來隨著社會的發展，合作與競爭成為了一種基本形態．在課堂學習中，當學生遇到較難的問題，不能獨立解決時，可以讓學生討論交流，讓學生說出自己的想法，結合眾人的智慧解決問題．在此過程中，也可以讓學生經歷自評、互評、師評，從而調動學生學習的積極性和主動性，培養學生的分析思維和評價思維．在本案例中，問題3-2、3-3和問題4-2、4-3的解決都是讓學生互相合作交流，讓學生自評、互評．

4.3 變換評價方式，培養學生評價的高階思維能力

近年來，教育改革一直強調關注學生的持續性評價、過程性評價，關注學生全過程．評價思維對高中生而言是較高層次的思維，是指利用所學的數學知識，根據一定的標準對數學學習活動給予不同價值判斷的高階思維過程[8]．在教學過程中，教師要給學生創建自評、互評、師評的機會．在本案例中，課前熱身的設置就是讓學生自我評價對拋物線基礎知識的掌握程度．課堂總結是讓學生自評對一節課的知識、技能、方法的掌握情況．在整個課堂的教學中，每個例題解決的過程中，都給學生提供了豐富的評價機會．

4.4 利用一題多解，培養學生分析思維、創造思維能力

解決數學問題的方法開放，學生對于同一問題可以找到不同的方法解決，通過“一題多解”的過程拓展學生的思維，促進學生高階思維的靈活性、深刻性以及創造性，增強學生的創造能力，培養學生的創新思維．數學的學習不局限于解決一個數學問題，也不局限于用一種方法解決一個問題．本案例中，問題4-2、4-3都可以從不同的角度用多種方法解決．在問題的解決過程中，學生需要決策，在諸多的備選對象中選擇最優，比較多種可供選擇方法的優缺點，從而提高分析思維．

參考文獻

[1]布魯姆．教育目標分類學：認知領域[M]．上海：華東師范大學出版社，2001

[2]盛群力，褚獻華．布盧姆認知目標分類修訂的二維框架[J]．課程·教材·教法，2004（09）：90-96

[3]鐘志賢．面向知識時代的教學設計框架[M]．華東師范大學，2004

[4]教育部考試中心．中國高考評價體系[M]．北京：人民教育出版社，2019

[5]中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準[S]．北京：人民教育出版社，2020

[6]何正文．基于核心素養的高階數學思維的培養[J]．數學通訊，2020，824（03）：1-4

[7]史寧中，王尚志．普通高中數學課程標準解讀[M]．北京：高等教育出版社，2020

[8]高云柱．訓練數學評價思維提高數學創新能力[J]．吉林教育科學（普教研究），2001（04）：34-35

（本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃青年專項課題“指向高階思維培養的高中數學教學實踐研究”（課題編號：C/2023/03/47）、江蘇省中小學教學研究第十五期課題“追求理解的高中數學概念課教學實踐研究”（課題編號：2023JY15-L54）的研究成果之一）