含參數不確定及時滯的線性系統自適應模型預測控制

摘要： 探討了一類含參數不確定和輸入延遲的約束多輸入多輸出線性系統的自適應模型預測控制問題。提出了一種基于時變更新率的自適應更新律，實現了在輸入延遲的情況下更新估計系統的不確定參數。為了處理約束，將優化問題轉換為源自于min-max優化可解的簡單結構。此外，從理論上證明了閉環系統的漸近穩定性，并證明了提出的自適應模型預測控制策略是遞歸可行的。最后，數值模擬驗證了所提方法的有效性。

關鍵詞： 自適應模型預測控制；輸入延遲；參數不確定性；離散時間系統

中圖分類號： O231；TP273文獻標識碼： A

Adaptive Model Predictive Control for Linear Systems with Parametric Uncertainties and Time Delay

KONG Lingren QI Qingyuan2

（1.Institute of Complexity Science， Qingdao University， Qingdao 26607 China; 2. Qingdao Innovation and Development Center， Harbin Engineering University， Qingdao 266000， China）

Abstract：This paper investigates the adaptive model predictive control （MPC） for a class of constrained linear multiple-input multiple-output （MIMO） systems with parametric uncertainty and input delay. An adaptive update law based on time-varying updating rate is proposed， which enables the update of uncertain parameters in the presence of input delay. Consequently， to deal with the constraints， we convert the optimization problem into a solvable simple structure， which originates from the min-max optimization. Furthermore， theoretically， it is shown that the closed-loop system is asymptotically stable and the proposed adaptive MPC strategy is proved to be recursively feasible. Finally， numerical simulation is given to illustrate the efficacy of the proposed method.

Keywords： adaptive model predictive control; input delay; parametric uncertainty; discrete-time system

0 引言

模型預測控制（MPC）憑借其優異的性能和對約束的處理成為過程控制中一種高效的控制策略之一［12］。MPC技術的核心是通過解決有限時域優化問題來獲得一系列最優的控制動作。值得注意的是，MPC模型的準確性可能會限制預測系統的性能［3］。事實上，系統中的不確定性很常見，它可能來自于多個因素，如模型參數的不確定性和輸入延遲等。例如，在機器人控制［4］和化工控制［5］等高精度應用中，由測量誤差、傳感器限制和其他因素引起的模型參數不確定性會顯著影響系統的性能表現和穩定性。此外，在飛行器控制［6］等實時響應的應用中，由傳感器延遲、信號傳輸延遲和執行器延遲等引起的輸入延遲可能會影響系統的安全性。

為了解決系統中存在的參數不確定性和輸入延遲所帶來的控制問題，一種高效的解決方案是自適應模型預測控制（Adaptive MPC）。近年來Adaptive MPC引起了廣泛的關注，它考慮了參數不確定性，并把在線模型更新與傳統的MPC控制器相結合，以在提高控制性能的同時滿足約束條件。針對系統存在輸入延遲的情況，可以用系統模型擴維來表示輸入延遲的作用，從而分析和設計同時具有輸入延遲和參數不確定的控制系統。對于Adaptive MPC現有的結論可分為不同的參數識別策略，包括但不限于最小二乘法［78］，集合成員識別［913］，神經網絡［1415］和自適應更新律［1620］等。具體而言，文獻［8］提出了一種參數估計策略，利用遞歸最小二乘算法同時進行參數識別和不確定性集合估計。文獻［15］中提出的控制策略包括模型識別部分和預測部分，其中不確定參數在模型識別部分中通過具有特定結構的神經網絡進行逼近。此外，文獻［16］中引入了一種基于梯度下降的自適應更新定律，用于具有參數不確定性的無約束系統，其中未來狀態的預測取決于對實際不確定系統的估計模型，這種方法的計算量相對于使用集合識別方法的策略［913］來說相對較小。在［16］的工作基礎上，文獻［17］提出了一種針對有參數不確定的約束系統的自適應模型預測控制策略，該策略針對具有特定模型結構的單輸入離散時間線性系統。值得注意的是，在文獻［20］中采用了一種自適應更新定律來更新有約束系統的不確定參數，同時考慮估計的參數集和系統約束條件，并利用min-max方法來優化問題，保證了遞歸可行性和閉環穩定性。

前面提到的文獻［1620］已經采用Adaptive MPC來解決具有或不具有約束的參數不確定系統控制問題，但是關于同時具有輸入延遲和模型不確定性系統的Adaptive MPC研究相對較少。實際上，常數時間輸入延遲的情況經常發生，因此不能忽視該問題。本文列出了具有參數不確定性和輸入延遲的約束優化問題所面臨的技術困難。首先，由于計算復雜度很高，min-max優化的實現可能會非常困難。其次，在約束MPC中，由于最大誤差上界的不確定性，導致很難保證閉環可行性和穩定性。最后，怎樣以簡單且高效的方式補償輸入延遲并與Adaptive MPC相結合，這是一個難點。

本文提出了一種自適應MPC策略，適用于具有常數參數不確定性和輸入延遲的約束線性系統。通過引入基于時間變化的自適應更新律，本文的方法能夠在輸入延遲的情況下更新系統的估計參數，并證明了參數估計誤差是有界的且狀態估計誤差是漸近穩定的。此外，提出的源于min-max優化的Adaptive MPC策略可以處理約束并獲得數值解。最后，本文的方法能夠通過一種擴維表示的系統模型來補償輸入延遲，同時保持遞歸可行性和閉環穩定性。本文提出的Adaptive MPC框圖，如圖1所示。

本文的貢獻分為兩點：1）本文不僅僅是文獻［16］，［17］和［20］的擴展，本文考慮了輸入延遲對約束不確定系統的影響。2）本文引入了一種基于時變更新率的自適應更新律，它可以更新輸入延遲系統的估計參數，并且證明了參數估計誤差有界且狀態估計誤差是漸近穩定。

1 主要內容

1.1 問題闡述

考慮以下具有參數不確定和輸入延遲的離散時間線性系統

xp（k+1）=Apxp（k）+Bpu（k-d）（1）

其中，xp（k）∈Rn為狀態，up（k-d）∈Rm為控制輸入；Ap∈Rn×n和Bp∈Rn×m為不確定性的系統矩陣；d∈N為已知的固定整數時間延遲。狀態xp和控制輸入u滿足約束（2）：

xp∈u∈u-（2）

其中，狀態約束x-∈Rn和控制約束u-∈Rm為凸集。設計關于系統（1）的目標函數為

J（k）=∑Npi=1‖xp（k+i|k）‖2Qp+‖u（k-d+i-1|k）‖2Rp（3）

其中，Np為控制時域，Qp和Rp為適應維數的懲罰矩陣。

由于輸入延遲的存在，系統的行為會受到前幾個時間步的影響，使系統的動態特性變得更加復雜。為了更準確地描述系統（1）的行為，需要考慮歷史的輸入數據對系統的影響。因此，狀態變量擴維是一種常用的方法，它引入了歷史的控制輸入數據，從而更準確地描述系統的動態特性。擴維系統模型為

x（k+1）=Ax（k）+Bu（k）（4）

其中，x（k）∈Rm×d+n為擴維的狀態向量，A∈R（md+n）×（md+n）和B∈R（md+n）×m為擴維的系統矩陣，具體形式為

x（k）T=［u（k-1）T，u（k-2）T，…，u（k-d）T，xp（k）T］T

A=00…000I0…0000I…000…00…I0000…0BpAp， B=I0000

為了對擴維系統（4）中的控制輸入性能進行限制和優化，目標函數（3）可以被式（5）的目標函數所代替

J（k）=∑Npi=1‖x（k+i|k）‖2Qc+‖u（k+i-1|k）‖2Rc（5）

其中，Qc=diag（0，…，0，Qp），Rc=Rp。

目標：設計一種含輸入延遲和不確定性參數系統的Adaptive MPC策略，在每一個時刻解決有限時域優化問題，并在滿足約束（2）的條件下得到最優控制序列U（k）*。優化表述如下：

U（k）*=arg minu∈u- J（x（k），u（k））（6）

s.t.

x（k+i|k）=Ax（k+i-1|k）+Bu（k+i-1|k）（7）

x（k+i|k）∈， u（k+i-1|k）∈u-（8）

x（k+Np|k）=0

在優化（6）中，已經用一種擴維系統模型（4）來表示輸入延遲對系統帶來的影響。但系統（4）中的矩陣A包含不確定參數Ap和Bp，導致求解以上優化問題并滿足約束（2）非常困難。因此，需要考慮處理不確定性參數A并設計相應的優化算法來求解優化問題。

假設1 1）在每個采樣時刻k，過去的控制輸入是已知的，且當前時刻的狀態xp（k）是可測量的；2）控制時域與預測時域相等；3）輸入延遲步長d遠小于控制時域Np；4）Qp和Rp是對稱的且Qp≥0，Rp>0。

1.2 估計系統設計

系統（4）的估計系統可以設計為

（k+1）=（k）x（k）+Bu（k）（9）

其中，和分別為系統矩陣A和狀態x的估計值。設置狀態x的誤差為=x-，那么在k+1時刻，狀態估計誤差為

（k+1）=（k）x（k）（10）

其中，（k）=A-（k）為系統矩陣A的估計誤差。系統狀態x（k）簡化為Θ（k）=［up（k-d）Txp（k）T］T，相應地可以得到：

p（k+1）=（k）Θ（k）（11）

其中，（k）∈Rn×n+m為參數估計誤差。（k），a和（k）為

（k）=a-（k）（12）

a=［Bp Ap］（13）

（k）=［p（k） p（k）］（14）

1.3 自適應更新率

本節的目標是設計一種自適應更新律，它可以使參數估計誤差有界并且狀態估計誤差p漸近穩定。因此，定義一種關于狀態估計誤差的目標函數為

Ja（（k））=p（k+1）Tp（k+1）=[aΘ（k）-（k）Θ（k）]T[aΘ（k）-（k）Θ（k）]（15）

相對于Ja的梯度可以通過式（16）獲得：

ΔJa（（k））=-2p（k+1）Θ（k）T（16）

接下來介紹一種用于優化模型參數自適應更新律，以使目標函數（15）最小化。

（k+1）=（k）-λ（k）ΔJa（）=（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T（17）

其中，λ（k）>0為時變的更新率，可以通過方程（18）獲取λ（k）

λ（k）=arg minλ（k） Ja（（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T）（18）

進一步

Ja（（k）+2λ（k）p（k+1）Θ（k）T）λ（k）=-4p（k+1）Θ（k）TΘ（k）p（k+1）T+8λ（k）p（k+1）Θ（k）TΘ（k）Θ（k）TΘ（k）p（k+1）T=0

得到

λ（k）=12Θ（k）TΘ（k）（19）

公式（19）帶入（17），可以得到具有時變更新率的自適應更新律：

（k+1）=（k）+1Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Θ（k）T（20）

對于自適應更新律（20），p（k+1）在k+1時刻是可以被獲取的。它可以通過計算（k+1）=xp（k+1）-（k）Θ（k）得到，其中xp（k+1）是在k+1時刻量測的系統狀態。

引理1 考慮到帶有輸入延遲和參數不確定的系統（4），如果存在一個確定性的常數β>0，使得Θ（k）TΘ（k）≤β。對于自適應更新定律（6），這兩個陳述成立：1）參數估計誤差是最終有界的；2）狀態估計誤差p是漸近穩定的。

證明：選擇李雅普諾夫函數Vp（k）=tr（（k）T（k）），其中tr表示為的跡。可以得到

Vp（k+1）=tr（（k+1）T（k+1））=tr［（a-（k+1））T（a-（k+1））］=tr［aTa-2aT（k+1）+（k+1）T（k+1）］（21）

對方程（21）的最后兩項進行轉換，第2項可以改寫為

tr（-2aT（k+1））=tr［-2aT（k+1）］=tr［-2aT（（k）-λ（k）ΔJa（））］=tr［-2aT（k）+2λ（k）aTΔJa（））］（22）

第3項可以改寫為

tr（（k+1）T（k+1））=tr［（（k）-λΔJa（））T（（k）-λ（k）ΔJa（））］=tr［（k）T（k）-2λ（k）（k）TΔJa（）+λ（k）2ΔJa（）TΔJa（）］（23）

將（22）和（23）帶入（21）得到：

Vp（k+1）=Vp（k）+tr［2λ（k）a（k）TΔJa（）+λ2（k）Ja（）TΔJa（）］（24）

其中，（24）最后一項可以展開為

tr［2λa（k）ΔJa（）+λ2Ja（）TΔJa（）］ =tr［-4λ（k）a（k）Tp（k+1）Θ（k）T+4λ2（k）Θ（k）p（k+1）Tn（k+1）Θ（k）T］=tr［-4λ（k）p（k+1）Tp（k+1）+4λ（k）2Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）］=tr［-2Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）+1Θ（k）TΘ（k）p（k+1）Tp（k+1）］≤-1βp（k+1）Tp（k+1）（25）

然后，式（25）可以重新表述為

Vp（k+1）-Vp（k）≤-1βp（k+1）Tp（k+1）（26）

基于式（26），可以得出Vp（k）是遞減的。因此，參數估計誤差a（k）是有界的，1）得證。基于式（26）還可推導出：

Vp（k+1）-Vp（0）≤-1β∑k+1i=1p（i）Tp（i）（27）

進一步

1β∑+SymboleB@i=1p（i）Tp（i）≤Vp（0）-limx→SymboleB@Vp（k）（28）

其中，式（28）表明1β∑+SymboleB@i=1p（i）Tp（i）是有上界的，因此，狀態估計誤差p是漸近穩定的，2）得證。

1.4 估計系統的Adaptive MPC設計

本文提出一種為估計系統（9）設計的Adaptive MPC策略，該策略結合了自適應更新定律（20）。設定（k+i|k）表示從時間k往后i步的預測狀態，其中i=，…，Np。因此估計系統（9）的預測方程為

（k+i|k）=i（k）（k|k）+∑i-1j=0i-j-1（k）Bu（k+j|k）（29）

預測方程（29）可以表示為

（k）=（k）x（k）+（k）U（k）（30）

其中，

（k）=［（k+1|k），（k+2|k），…，（k+Np|k）］T

U（k）=［u（k|k），u（k+1|k），…，u（k+Np-1|k）］T

（k）=（k）2（k）Np（k）， （k）=B0…0（k）BB…0…Np-1（k）BNp-2（k）B…B

目標函數可以通過式（31）計算

J（k）=X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）=（k）TQ（k）+X（k）TQX（k）+2X（k）TQ（k）+U（k）TRU（k）≤2（k）TQ（k）+2X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）（31）

基于式（31），定義目標函數（k）：

（k）=2（k）TQ（k）+2X（k）TQX（k）+U（k）TRU（k）（32）

同樣，可得到擴維系統（4）的預測方程：

x（k+i|k）=i（k）x（k）+∑i-1j=0i-j-1（k）Bu（k+j|k）+i-j-1（k）w（k+j|k）（33）

其中，w（k）=（k）x（k）是以擾動形式表示的參數不確定性誤差。預測方程（33）可寫成：

X（k）=（k）x（k）+（k）U（k）+（k）W（k）（34）

其中，

X（k）=［x（k+1|k），x（k+2|k），…，x（k+Np|k）］T

W（k）=［w（k|k），w（k+1|k），…，w（k+Np-1|k）］T

（k）=I0…0（k）II…0…Np-1（k）INp-2（k）I…I

基于（29）和（33），可得到

（k+i|k）=Ai（k）（k|k）+∑i-1j=0Ai-j-1（k）（k）（k+j|k）（35）

式（35）可重述為

X（k）=M（k|k）+Ω（k）（k）=Ω（k）（k）（36）

其中，

M=［A，A2，…，ANc］T， （k|k）=x（k|k）-（k|k）=0

Ω（k）=（k）0…0AA（k）（k）…0…ANp-1（k）（k）ANp-2（k）（k）…（k）

將（36）代入（32），得到：

（k）=2（k）T（Q+Ω（k）TQΩ（k））（k）+U（k）TRU（k）（37）

其中，根據引理1中參數估計誤差a是有界的，可以得到Ω（k）是有界的。因此，定義Ω（k）的邊界為Ω-≤Ω（k）≤。然后定義新的目標函數Jupper（k）：

upper（k）=（k）T2（Q+（k）TQ（k））（k）+U（k）TRU（k）（38）

狀態和控制約束（2）可重述為

X（k）∈U（k）∈（39）

最后，優化：

U*（k）=arg minU（k）upper（x（k），U（k））（40）

s.t.

（k）=（k）x（k）+（k）U（k）（41）

（k）+（k）∈（42）

X（k）∈（43）

U（k）∈（44）

（k+Np|k）=0（45）

本文提出的Adaptive MPC策略的詳細流程如算法1所示。

算法1

Input：初始狀態（0）=x（0），初始估計矩陣（0），控制和預測時域Np，懲罰矩陣，R和P。

1 for k=0，，… do

2 通過優化（40），計算 u（k）=［ 0，…，0］U*（k），并把控制u（k）作用到系統。

3 量測實際不確定系統的狀態 x（k+1）。

4 計算估計系統（9）的估計狀態 （k+1）。

5 使用自適應更新律（20）更新估計系統（9）中的（k+1），其中p（k+1）可由p（k+1）=xp（k+1）-（k）Θ（k）獲取。

6 設定（k+1）=x（k+1）。

7 end for

2 閉環系統穩定性分析

估計系統（9）的預測方程（29）可重新表述為

（k+i+1|k）=A（k+i|k）+Bu（k+i|k）-（k+i|k）（46）

其中，擾動（k+i|k）=（k）（k+i|k）=［0，…，In×n］Ta（k）（k），（k）=［u（k-d）T，p（k）T］T，i=0，…，Np-1。定義擾動的不確定集為

： ‖（k+i|k）‖2≤Vp（k）‖（k+i|k）‖2（47）

引理2 考慮到估計系統（9），如果優化（48）

U*（k）=arg minU（k）∈maxW（k）∈upper（x（k），U（k），W（k））（48）

滿足狀態和控制約束（2），魯棒約束（47）和終端約束（45）在初始時刻k=0是可行的，那么陳述成立：1）優化（40）滿足（41）（45）是遞歸可行的。2）所提出的具有自適應更新律的Adaptive MPC閉環系統是漸近穩定的。

證明：1）假設優化（48）在初始時刻是可行的，Vp（k）是固定的。那么，在k+1時刻，優化（48）的一組可行解如式（49）所示：

U（k+1）=［u（k+1|k+1），…，u（k+Np-1|k+1）u（k+Np|k+1）］T=［u*（k+1|k），…，u*（k+Np-1|k），u*（k+Np|k）］T（49）

進一步

w（k+i+1|k+1）=w*（k+i+1|k）， i=0，…，Np-1

（k+i|k+1）=*（k+i|k）， i= …，Np

其中

u（k+Np|k+1）=0（k+Np+1|k+1）=0w（k+Np|k+1）=0

基于以上分析可以得到，在k+1時刻優化（48）同樣滿足所有約束條件，因此優化（48）是遞歸可行的。

然而，上述結論假設Vp（k）是固定的，但現實情況Vp（k）是非增的，這意味著Vp（k+1）≤Vp（k）且（k+i|k）是非增的。因此，可以得到‖（k+i|k）‖≤‖w*（k+i|k）‖，那么一定存在另一組可行解U*優于（49）。優化（48）在k+1時刻是可行的，可以得到優化（40）在k+1時刻也是可行的，1）得證。

2）假設式（47）中Vp是固定的，考慮到優化（48）中的目標函數upper在k+1時刻為

upper（k+1）=∑Npi=1‖（k+i+1|k+1）‖2c+‖u（k+i|k+1）‖2Rc

=∑Npi=2［‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc］+‖（k+Nc+1|k+1）‖2c+‖u（k+Nc|k+1）‖2Rc

=∑Npi=2‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc

≤∑Npi=1‖*（k+i|k）‖2c+‖u*（k+i-1|k）‖2Rc=*upper（k）

得到

*upper（k+1）≤upper（k+1）≤*upper（k）

選擇李雅普諾夫函數V（k）=‖（k|k）‖2c+*upper（k），令ΔV（k+1）=V（k+1）-V（k），得到

ΔV（k+1）=‖（k+1|k+1）‖2c+*upper（k+1）-‖（k|k）‖2c-*upper（k）=-‖（k|k）‖2c-‖u（k|k）‖2Rc≤-‖（k|k）‖2c

上式表明V（k）是遞減的并且收斂于零。

由于在控制系統設計中結合了自適應更新律（20），這表明Vp（k）是隨時間遞減的，（k+i|k）也是遞減的。因此，存在控制輸入u優于u*，使得‖（k）‖2c+upper（k）≤V（k），可以得到（k）收斂于零。在定理1中已經證明了是漸進穩定的，根據x（k）=（k）+（k），可以進一步得到x（k）也是漸進穩定的，由此，2）得證。

3 數值計算

本文將進行數值計算來驗證提出的Adaptive MPC策略的有效性。為了探討系統在不同輸入延遲步長下的控制表現，考慮到具有輸入延遲和不確定性參數的約束系統，其動態可以建模為

xp（k+1）=0.248 5-1.035 50.891 00.406 5 xp（k）+0.319-1.308u（k-d）（50）

其中，d=，3，4。式（50）中Ap和Bp是未知，它們的名義參數是已知的，如式（51）所示。

p（0）=0.4-1.21.10.2 p（0）=0.42-1.4（51）

由于系統（50）具有輸入延遲，需要用一種擴維表示法來轉換系統（50），以在狀態空間描述中表示延遲效應，參考式（4）。本例中，設置的參數為：狀態初始值xp（0）=［3，2］，預測時域和控制時域Np=10，控制約束‖u‖≤2，狀態約束|Cx|≤4，其中，C=［ 0］，權重矩陣Qc=diag［0. 0.1］，R=diag［ 1］，采樣間隔h=0.1。

圖2和圖3比較了系統在不同輸入延遲步長下的性能表現。從圖2可以看到，本文提出的Adaptive MPC策略在4種延遲步長下都可以讓閉環系統穩定，從圖3可以看到不同延遲步長下的控制輸入最終收斂于零并且滿足約束，由此證明本文提出的方法是有效的。

4 結論

本文對含不確定參數和輸入延遲系統的Adaptive MPC進行了詳細分析。將研究擴展到同時含參數不確定性和輸入延遲的約束系統，并獲得了優化問題的數值解。此外，提出了一種時變的自適應更新律，它可以在系統有輸入延遲的情況下更新估計系統的參數，并且證明了參數估計誤差是有界的和狀態估計誤差是漸進穩定的。仿真結果表明了本文所提算法的有效性。

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（責任編輯 耿金花）