強跟蹤容積卡爾曼濾波在空空導彈制導中的應用

摘 要： 針對傳統濾波算法在處理目標復雜機動時非線性逼近能力不足、 跟蹤精度下降等問題， 提出一種強跟蹤容積卡爾曼濾波（STCKF）方法。 首先， 根據戰斗機規避空空導彈的機動特征， 建立了蛇形機動和桶滾機動兩種目標運動模型； 其次， 引入強跟蹤濾波（STF）以增強容積卡爾曼濾波（CKF）對系統狀態突變等不確定因素的能力； 然后， 將STCKF應用于導彈末制導目標運動參數估計中， 并通過與CKF、 無跡卡爾曼濾波（UKF）和粒子濾波（PF）的對比仿真分析驗證了該方法的有效性。 仿真結果表明， STCKF具有較強的魯棒性和系統自適應能力， 尤其在目標機動突變時其跟蹤誤差相比CKF減小約10%， 能夠滿足空空導彈末制導高精度和快速響應要求。

關鍵詞： 容積卡爾曼濾波； 強跟蹤濾波； 非線性濾波； 目標跟蹤； 空空導彈； 制導

中圖分類號： TJ765； V249

文獻標識碼： A

文章編號： 1673-5048（2024）05-0082-06

DOI： 10.12132/ISSN.1673-5048.2024.0004

0 引 言

隨著新型推力矢量渦扇發動機、 先進氣動設計、 雙向數據鏈和隱身技術的應用， 未來空戰目標的機動能力更強、 逃逸方式更復雜、 可探測性更差， 使得空空導彈精確制導面臨嚴峻挑戰［1］。 由于導引頭測量數據有限且噪聲干擾嚴重， 無法直接滿足精確制導需求， 采用濾波算法對目標信息進行快速準確估計成為確保精確制導的關鍵。 通常采用笛卡爾坐標系描述目標運動狀態， 但視線角等觀測信息在極坐標系中獲取， 這使得將目標狀態映射到觀測數據的觀測方程呈非線性。

近年來， 基于貝葉斯理論的非線性系統狀態估計方法已經得到廣泛且深入的研究。 目前， 擴展卡爾曼濾波［2］（EKF）和無跡卡爾曼濾波［3］（UKF）被廣泛應用于機動目標跟蹤領域。 文獻［4］基于EKF進行了雷達/紅外雙模制導仿真研究； 文獻［5］考慮到EKF精度較低， 將彈目相對運動建模為噪聲協方差自適應的“當前”統計模型， 并基于UKF對一般機動目標進行了跟蹤仿真研究。 但在處理高度非線性和強機動目標時， 這兩種方法面臨非線性逼近能力的不足。 相比于EKF和UKF， Arasaratnam等［6］提出的容積卡爾曼濾波（CKF）具有更好的非線性逼近性能、 數值精度以及穩定性。

在空空導彈末制導階段， 目標機動復雜多變。 導彈制導系統必須具備快速響應和適應目標機動突變的能力， 以確保對目標的有效追蹤和精確打擊。 然而， 上述濾波算法很可能出現因為目標機動突變時濾波模型不準確而導致的跟蹤精度下降和估計偏差。 為減少算法對模型準確性的過度依賴， 基于新息的自適應濾波方法［7］相繼被提出。 其中， 強跟蹤濾波（STF）通過自適應漸消因子實時調整增益矩陣， 可以自適應地減小估計偏差， 具有較強的魯棒性和應對系統狀態突變等不確定因素的能力［8］。 文獻［9］將STF與CKF相結合， 提出強跟蹤容積卡爾曼濾波（STCKF）算法； 文獻［10-15］將STCKF應用于復雜機動目標跟蹤中， 驗證了STCKF對目標機動突變的快速響應能力。

本文將STCKF應用于空空導彈末制導目標運動參數估計中， 并與典型非線性濾波算法進行對比研究。

1 基本模型

目前， 關于戰斗機機動決策的研究［16］大多針對空空導彈自身的不足而展開。 通常， 空空導彈為減少燃料重

收稿日期： 2024-01-04

基金項目： 航空科學基金項目（201901012008）

*作者簡介： 梁津鑫（1998-）， 女， 河南洛陽人， 碩士研究生。

量， 只在制導前段進行推進， 之后則依靠舵翼和慣性進

行制導； 在面對高機動目標時， 比例導引法可能會導致

過載較大、 命中時間變長等問題。 因此， 針對空空導彈制導末端能量有限、 轉向機動能力不足等劣勢， 戰斗機可利用自身能量優勢以躲避來襲導彈攻擊。

蛇形機動和桶滾機動是戰斗機規避空空導彈的兩種典型機動形式。 蛇形機動通過高g力曲線飛行促使導彈進行急劇轉向， 這可能導致導彈超出其過載限幅， 失去穩定性或被迫脫離對目標的追蹤。 桶滾機動可以描述為飛機在前進方向上作勻速直線運動， 在豎直平面內作圓周運動。 桶滾機動能夠迫使導彈采取更長的追蹤路徑， 這可能導致導彈耗盡其能量并失去追蹤能力。 本文選取蛇形機動、 桶滾機動這兩種機動形式來驗證STCKF在制導系統中的效能。

1.1 蛇形機動模型航空兵器

采用離散線性差分方程描述蛇形機動， 狀態方程為

Xk=FXk－1+Gwk－1+uk－1 （1）

式中： Xk=［x， y， z， x·， y·， z·， x¨， y¨， z¨］T； wk－1是均值為0的高斯白噪聲向量； uk－1為系統機動輸入量;

F=

100T00T2200

0100T00T220

00100sin（ωT）ω001－cos（ωT）ω2

000100T00

0000100T0

00000cos（ωT）00sin（ωT）ω

000000100

00000001000000－ωsin（ωT）00cos（ωT）；

G=T36000T36000ωT－sin（ωT）ω3T22000T220001－cos（ωT）ω2T000T000sin（ωT）ω。

1.2 桶滾機動模型

文獻［17］在特定坐標系下將桶滾機動建模為

xt=vtt

yt=－atcos（ωt）/ω2

zt=atsin（ωt）/ω2 （2）

將式（2）寫為微分方程形式， 且將轉彎角速率ω視為狀態變量之一， 可得到以下非線性狀態方程：

x¨t=0

y¨t=－ω2yt

z¨t=－ω2zt

ω·=wt （3）

式中： wt為系統噪聲。

假設用于桶滾機動建模的坐標系與慣性坐標系的三軸方向一致， 僅坐標原點不同。 在濾波過程中， 將目標在慣性坐標系下的位置通過坐標平移轉換至建模坐標系下求解非線性狀態方程， 完成求解后再轉換回慣性坐標系下進行濾波的其他計算步驟。

1.3 觀測方程

選取視線方位角、 視線俯仰角和彈目相對距離作為雷達導引頭的觀測信息， 建立觀測方程：

Zk=h（Xk）+Vk （4）

式中： Zk= ［φ， ε， r］T； Vk是均值為0、 協方差陣為Rk的高斯白噪聲向量， Rk=σ2φ00

0σ2ε0

00σ2r； h（·）為非線性函數， h（Xk）=－arctanzrxr

arctanyrx2r+z2r

x2r+y2r+z2r， xr， yr， zr為目標和導彈在三個方向上的相對距離。

2 非線性濾波

2.1 非線性濾波方法的分類

非線性濾波處理非線性模型的方法主要可以歸納為四類： 線性化方法、 確定性采樣方法、 隨機采樣方法和混合分布方法。

線性化方法將非線性問題做線性化處理， 再根據線性濾波理論求解， 如EKF。 但在復雜系統中， 模型的線性化誤差會嚴重影響濾波精度， 甚至導致濾波發散。

確定性采樣方法通過選擇一組代表性的點來近似非線性變換， 并利用這些點來傳播均值和協方差， 如UKF和CKF。 但UKF在估計高維非線性狀態過程時可能因Sigma點參數選擇不當而引起濾波發散和精度下降。 而CKF無需選擇任何采樣參數， 利用三階球面—徑向容積積分準則， 通過一組對稱分布且相等權重的容積點來近似狀態變量的后驗概率密度函數， 不會出現 UKF在估計高維非線性狀態過程時因參數選擇不當而引起的濾波發散［18］。

隨機采樣方法使用隨機樣本來近以整個非線性過程， 如粒子濾波［19］（PF）。 PF通過一組在狀態空間中傳播的隨機樣本來近似狀態變量的后驗概率密度函數。 由于非參數化的特點， PF適用于任何能用狀態空間模型表示的非高斯非線性隨機系統。 但是PF的計算量較大， 難以應用于實時性要求較高的系統中。

混合分布方法使用混合分布來近似非高斯或多模態分布， 如高斯求和濾波（GSF）。 但GSF在處理無顯著特征的非高斯或多模態分布時優勢并不明顯。

因此， 本文選取UKF， CKF， PF與STCKF在目標蛇形機動和桶滾機動場景下進行性能對比。

2.2 強跟蹤容積卡爾曼濾波

STF是建立在輸出殘差序列正交性原理之上的卡爾曼濾波器。 其基本原理是： 通過對狀態預測協方差陣引入漸消因子， 在線實時調整增益矩陣， 強迫輸出的殘差序列正交， 從而將殘差序列中的有效信息完全提取出來。 因此， STF算法針對不準確模型系統具有較強的魯棒性。

非線性STF算法的核心結構仍然為

x^k+1=x^k+1/k+Kk+1γk+1（5）

式中： x^k+1和x^k+1/k分別為狀態估計值和狀態預測值； Kk+1為卡爾曼增益； γk+1=zk+1－z^k+1/k為測量殘差， zk+1為測量真實值， z^k+1/k為測量預測值。 將STF用于CKF時， 其漸消因子λk+1的計算方法［9-10］為

λk+1 = max1， tr （Nk+1）tr（Mk+1）（6）

Nk+1=V0，k+1－Hk+1QkHTk+1－γRk+1 （7）

Mk+1=Hk+1Pxk+1/kHTk+1（8）

Hk+1=（Pxz， lk+1/k）T（Plk+1/k）－1（9）

Pxz， lk+1/k=∑2nxi=0wi（χlk+1/k， i－x^k+1/k）（h（χlk+1/k， i）－z^k+1/k）T（10）

V0， k+1=γ1γT1 k=0

ρV0， k+γk+1γTk+11+ρk≥1 （11）

式中： Pxk+1/k為未考慮漸消因子和系統噪聲方差陣的狀態預測誤差協方差陣， Plk+1/k為考慮系統噪聲方差陣的狀態預測誤差方差陣， 兩者關系為Plk+1/k=Pxk+1/k+Qk； Pxz， lk+1/k為未考慮漸消因子的互協方差陣； nx為狀態向量的維數； wi=1/2nx為每個容積點對應的權值； χlk+1/k， i為未考慮漸消因子的狀態預測x^k+1/k產生的容積點； Nk+1， Mk+1， Hk+1， V0， k+1均為計算過程參數矩陣； γ≥1為弱化因子， 一般靠經驗選取； ρ為遺忘因子， 一般取0.95≤ρ≤0.995。

在標準CKF的時間更新和測量更新中引入STF， 即可構造STCKF。

根據式（6）～（11）計算得到的漸消因子λk+1， 預測狀態誤差方差陣被調整為

Pk+1/k=λk+1Pxk+1/k+Qk （12）

根據xk+1加入漸消因子下的統計特性N（xk+1; x^k+1/k， Pk+1/k）， 計算更新后的狀態容積點χk+1/k， i， i=1， 2， …， 2nx。

Pk+1/k=Sk+1/kSTk+1/k， χk+1/k， i=Skξi+x^k+1/k （13）

式中： 容積點ξi=nx［1］i， i=1， 2， …， 2nx。 ［1］i表示一個容積點集的第i個元素， 其由狀態向量空間的一組基向量的全排列和符號變化而得來。

容積點經量測函數傳播， 得到引入漸消因子后的自協方差陣Pxzk+1/k和互協方差陣Pzzk+1/k。

ξk+1， i=h（χk+1/k， i）（14）

z～k+1/k=∑2nxi=0wiξk+1， i （15）

Pxzk+1/k=∑2nxi=0wi（χk+1/k， i－x^k+1/k）（ξk+1， i－z～k+1/k）T （16）

Pzzk+1/k=∑2nxi=0wi（ξk+1， i－z～k+1/k）（ξk+1， i－z～k+1/k）T+Rk（17）

調整后的濾波增益Kk+1為

Kk+1=Pxzk+1/k（Pzzk+1/k）－1 （18）

根據式（5）得到更新后的狀態估計x^k+1。 誤差協方差陣Pk+1更新為

Pk+1=Pk+1/k－Kk+1Pzzk+1/kKTk+1 （19）

3 仿真與分析

3.1 仿真設定

蛇形機動時的彈目運動參數如表1所示。 目標在t1=5 s， t2=10 s時存在機動突變， 其余時刻無機動突變。

制導律： 考慮目標加速度的擴展比例導引， Ne=3

桶滾機動時的彈目運動參數如表2所示。 目標在機動過程中轉彎角速率隨時間緩慢增加。

為充分發揮不同濾波器的性能， 在不同仿真場景下蛇形機動和桶滾機動的基本參數設置存在差異。 濾波器參數如表3所示。

在仿真中， UKF采用比例對稱采樣方法［3］， 參數α， β和κ影響Sigma點的分布： α用于控制Sigma點的分散程度， 較小的值使Sigma點更加接近均值， 較大的值使其更加分散， 且0≤α≤1； β與目標分布的高階矩的一致性有關， β=2是對于高斯分布的最優選擇； κ主要影響遠離均值的Sigma點的權重， 當系統的狀態估計存在較大不確定性或模型可靠性較低時取κ=3－nx， 反之， 可取κ為0。 PF設置了較大的粒子數以保證算法具有較高精度， 且采用系統重采樣方法來避免粒子退化問題［19］。

此外， 為保證不同濾波算法之間具有可比性， 假設4種濾波器在每次蒙特卡洛實驗中的初始狀態估計和初始狀態估計誤差方差陣一致， 在同一時刻所受觀測噪聲相同。 觀測噪聲標準差σφ和σε均為0.02 rad， σr為50 m。 仿真步長T為0.02 s， 蒙特卡洛實驗次數n為100。 若任意濾波算法下的彈目距離小于3 m， 結束本次實驗。

3.2 算法評估指標

在n次蒙特卡洛實驗中， 用狀態估計的均方根誤差（RMSE）衡量濾波算法的估計精度， 用單步濾波平均執行時間衡量濾波算法的計算效率。

位置均方根誤差、 速度均方根誤差及加速度均方根誤差的計算公式分別為

ep=1n∑ni=1［（x^i－xi）2+（y^i－yi）2+（z^i－zi）2］ （20）

ev=1n

∑ni=1［（x·^i－x·i）2+（y·^i－y·i）2+（z·^i－z·i）2］（21）

ea=1n∑ni=1［（x¨^i－x¨i）2+（y¨^i－y¨i）2+（z¨^i－z¨i）2］ （22）

單步濾波平均執行時間計算公式為

t-k=1n∑ni=11steps∑stepsk=1（tk）（23）

3.3 結果與分析

（1） 場景1： 目標蛇形機動

目標蛇形機動時不同濾波算法的仿真結果如圖1～ 2所示。 其中， 圖1為某次實驗中STCKF下的彈目運動軌跡， “○”表示目標機動突變位置， 分別對應時刻t1和t2； 圖2分別為蛇形機動時位置、 速度和加速度的均方根誤差。

可以看出， STCKF在目標機動突變前與CKF和UKF估計精度相近， 但在機動突變后， STCKF的估計誤差增大， 幅度和估計誤差峰值均小于CKF， UKF和PF， 且在之后一段時間內保持了較低的估計誤差， 這說明STCKF對于狀態突變具有較強的跟蹤能力。 在目標機動突變后， STCKF通過使用漸消因子， 可以提高較為準確的測量信息在濾波測量更新中的比重， 同時降低模型失準導致的預測誤差， 從而使跟蹤精度得到提高。

此外， 以上仿真結果還表明基于確定性采樣的濾波算法在系統非線性程度較低時性能較優。 PF作為一種非參數化方法， 在處理非線性程度較低的系統時無法凸顯其優勢。

（2） 場景2： 目標桶滾機動

目標桶滾機動時不同濾波算法的仿真結果如圖3～ 4所示。 其中， 圖3為某次實驗中STCKF下的彈目運動軌跡； 圖4為桶滾機動時位置和速度的均方根誤差。

可以看出， STCKF與CKF具有幾乎一致的估計精度， 在大部分時間內它們的估計精度高于PF， 而UKF出現濾波發散。

在目標無機動突變時， STCKF與CKF的估計精度幾乎相當。 這是由于此時輸出殘差的方差較小， 導致STCKF求得的漸消因子趨近或等于1， STCKF幾乎退化為標準CKF。 CKF通過在狀態空間中對稱布置采樣點， 能夠更均勻地捕獲非線性函數的特性。 而UKF受到采樣點先驗參數設置的影響， 在維度較高的狀態空間中無法充分捕獲非線性特性， 從而導致濾波發散。 PF在系統非線性程度較高時展示出與STCKF和CKF相似的估計精度， 但在導彈逼近目標時性能下降。 這是由于PF的過度重采樣導致有效粒子的多樣性降低， 從而影響濾波性能。

在計算效率方面， 表4展示了4種算法在兩種場景下的單步濾波平均執行時間。

可以看出， STCKF的計算效率低于CKF和UKF， 但遠高于PF。 在目標桶滾機動時， PF需要對每個粒子執行一次非線性狀態方程求解， 使得其計算負擔顯著增加。 而UKF由于采樣參數限制導致濾波發散， 其中某些計算和數據校正步驟被省略和簡化， 顯示出比CKF更短的單步濾波平均執行時間。 雖然CKF對目標桶滾機動的跟蹤性能較好， 但在目標蛇形機動且存在機動突變時， 其對機動突變的響應能力遠不如STCKF。 綜合來看， STCKF的適應性和魯棒性較好， 且滿足系統實時性要求。

4 結 論

本文將STCKF應用于空空導彈末制導目標運動參數估計中， 基于不同目標機動進行了仿真驗證， 得出以下結論：

（1） 將STCKF與CKF， UKF， PF進行對比研究， 并采用目標蛇形機動和桶滾機動兩種場景進行仿真分析， 能夠有效驗證STCKF對不同復雜程度模型的處理能力和目標機動突變的適應能力。

（2） 仿真結果表明， 對于存在機動突變、 系統非線性程度較低的蛇形機動， 相比于其他3種算法， STCKF具有更高的跟蹤精度和更好的魯棒性； 對于無機動突變、 系統非線性程度較高的桶滾機動， STCKF在大部分時間退化為標準CKF， 但跟蹤精度高于PF和UKF。 綜合來看， STCKF具有較強的系統自適應能力， 能夠滿足空空導彈末制導高精度和快速響應要求。

（3） 在仿真實驗中發現， STCKF的性能一定程度上依賴于其參數的設置， 不恰當的參數調整有可能導致其性能下降。

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Application of Strong Tracking Cubature Kalman

Filter in Air-to-Air Missile Guidance

Liang Jinxin1*， Tang Qi2， Cui Hao1， 3， Zhang Gongping1， 3

（1. China Airborne Missile Academy， Luoyang 471009， China;

2. Unit 93160 of PLA， Beijing 100076， China;

3. National Key Laboratory of Air-based Information Perception and Fusion， Luoyang 471009， China）

Abstract： A strong tracking cubature Kalman filter（STCKF） method is proposed to overcome the challenges of insufficient nonlinear approximation capability and decreased tracking accuracy of traditional filtering algorithms in dealing with complex maneuvering targets. Firstly， models for snake maneuver and barrel roll maneuver are developed based on the maneuvering characteristics of fighter aircraft evading air-to-air missiles. Secondly， strong tracking filter（STF） is introduced to enhance the ability of cubature Kalman filter（CKF） to handle sudden changes in system states and other uncertainties. Then， STCKF is applied to estimate the motion parameters of missile terminal guidance target， and its effectiveness is validated through comparative simulation analysis with CKF， unscented Kalman filter（UKF）， and particle filter（PF）. Simulation results indicate that STCKF has enhanced robustness and adaptive capabilities， especially when the target maneuver suddenly changes， its tracking error is reduced by about 10% compared to CKF， which can meet the high precision and rapid response requirements of air-to-air missile terminal guidance.

Key words： cubature Kalman filter; strong tracking filter; nonlinear filtering; target tracking; air-to-air missile; guidance