如何讀懂概率題

通常概率統(tǒng)計(jì)問(wèn)題題目較長(zhǎng)，若題干表達(dá)陌生，會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生恐懼心理，此時(shí)更加需要數(shù)學(xué)閱讀能力．如何讀懂概率題？ 這需要全面把握題目信息，理解已知條件與待求結(jié)果之間的關(guān)聯(lián)，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度思考，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，從而解決問(wèn)題．在此，本文以隨機(jī)變量的確定為例，對(duì)如何讀懂概率題進(jìn)行探究．

１ 引例探究

題目 某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶４元，售價(jià)每瓶６元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶２元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于２５，需求量為５００瓶;如果最高氣溫位于[２０，２５）中，需求量為３００瓶;如果最高氣溫低于２０，需求量為２００瓶．為確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得頻數(shù)分布表，如表１所示．以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．

（１）求六月份這種酸奶一天的需求量X （單位：瓶）的分布列;

（２）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y （單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y 的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？

２ 分析總結(jié)

求離散型隨機(jī)變量的分布列應(yīng)按三個(gè)步驟進(jìn)行：

１）明確隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義;

２）確定隨機(jī)變量滿足的概率模型并求出隨機(jī)變量取每個(gè)值的概率;

３）按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確．

這是求隨機(jī)分布列的一般步驟，但確定分布列之前，確定隨機(jī)變量及取值是難點(diǎn)，讀懂題意比較困難，如何能快速讀懂題意？ 通常概率題有復(fù)雜的背景，求解時(shí)首先我們要明確題目的背景，再?gòu)谋尘爸谐橄蟪鲭S機(jī)試驗(yàn)，明確隨機(jī)事件是怎樣發(fā)生的，問(wèn)題要求我們做什么，隨機(jī)變量是什么，條件是什么，條件是否能明確隨機(jī)變量的取值，隨機(jī)變量的取值可以是多少？弄清這些問(wèn)題就是讀懂題目的一般過(guò)程．

解析 引例是日常生活中的“酸奶銷售”問(wèn)題，從題中可以獲得如下信息：

１）每天進(jìn)貨量固定;

２）氣溫變化對(duì)酸奶的需求量有影響;

３）酸奶的利潤(rùn)隨著氣溫變化而變化;

４）前三年六月氣溫記錄統(tǒng)計(jì)表;

５）用樣本估計(jì)總體．

（１）確定隨機(jī)變量X 要圍繞氣溫進(jìn)行分類討論，需要根據(jù)前三年同期氣溫來(lái)分析，從而將隨機(jī)變量的確定轉(zhuǎn)到對(duì)表格的研究．

根據(jù)題意，如果最高氣溫不低于２５，需求量為５００瓶;如果最高氣溫位于[２０，２５），需求量為３００瓶;如果最高氣溫低于２０，需求量為２００瓶，可以確定隨機(jī)變量的取值為２００，３００，５００，用頻率表示概率，根據(jù)比值分別求出相應(yīng)的概率．

由題意得X 的所有可能取值為２００，３００，５００，故

P（X ＝２００）＝２＋１６／９０ ＝１／５，

P（X ＝３００）＝３６／９０＝２／５，

P（X ＝５００）＝２５＋７＋４／９０ ＝２／５，

所以X 的分布列如表２所示．