中考中的常見概率題型

概率是我們理解世界的一種工具，同學們要從概率的角度認識、理解和表達現實世界中存在的隨機現象。這一部分內容常伴隨各種現實問題融入題目中進行考查。下面，我們就以中考中常見的幾類問題為例，進行分析，希望對同學們的學習有所幫助。

一、放回還是不放回

例1 （2024·江蘇蘇州）一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”“夏”“秋”“冬”四個季節，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分攪勻。

（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為 ；

（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率。

【解析】（1）所有等可能結果共有4種，其中抽到“夏”的結果有1種，所以P（抽到“夏”）=[14]。

（2）抽取2張，相當于每次抽取1張且不放回地抽取2次，第一次出現4種等可能結果，第二次由于書簽不放回，所以在每個分支下有3種等可能結果，用樹狀圖表示如下：

共有12種等可能結果，其中1張為“春”，1張為“秋”出現了2次，所以P（抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”）=[212]=[16]。

【點評】解決此類問題時，一定要看清楚試驗是“放回”還是“不放回”。兩種試驗的區別在于第2次試驗過程中是否會出現與第1次試驗相同的結果。同學們在做題的過程中要仔細區分兩種情況。

二、等可能還是不等可能

例2 （2021·江蘇南京節選）不透明的袋子中裝有2個紅球、1個白球，這些球除顏色外無其他差別。（1）略。（2）從袋子中隨機摸出1個球，如果是紅球，不放回，再隨機摸出1個球；如果是白球，放回并搖勻，再隨機摸出1個球。兩次摸出的球都是白球的概率是 。

【解析】（2）根據題目要求，有的同學可能會畫出如下樹狀圖：

其實以上樹狀圖是錯誤的。我們很容易誤認為共有7種等可能結果，其中2次都是白球的概率為[17]。但仔細觀察可以發現，第1次試驗當中，出現紅1、紅2、白球三種結果是等可能的，均為[13]。但第2次試驗當中，每種結果可能性并不相同。當第1次試驗結果為紅1、紅2時，進行第2次試驗后每種結果的可能性為[12]；第1次試驗結果為白球時，進行第2次試驗后每種結果的可能性為[13]。所以這7種結果并不是等可能的。

我們可以嘗試將其轉化為等可能事件，將[12]改寫為3個[16]，[13]改寫成2個[16]。改寫后的樹狀圖如下：

這樣一來，試驗的所有結果就具有了等可能性，可以看作共有18種等可能結果，其中兩次摸出都是白球的情況出現了2次，所以P（兩次摸出的球都是白球）=[218]=[19]。

【點評】同學們在遇到規則突破“常規”時，一定要仔細分析，避免出現思維定式的錯誤。

同學們，題目變化萬千，我們要回歸概率本質，明晰試驗過程，體會不同事件的可能性，理清思路，選擇合適的策略解決問題。

（作者單位：江蘇省張家港市實驗學校）