不相關多子集零相關區序列集的構造
2024-11-22 00:00:00崔莉許成謙
系統工程與電子技術 2024年10期
摘 要：在多小區環境下的準同步碼分多址（quasi-synchronous code-division multiple-access， QS-CDMA）系統中，不相關多子集零相關區（zero correlation zone， ZCZ）序列集不僅可以消除一定時延內來自相同小區的信號干擾，而且可以完全消除來自相鄰小區的信號干擾。針對如何基于仿酉矩陣構造多子集ZCZ序列集的問題，設計了兩種構造方法。具體地，通過構造具有一定特性的多個初始矩陣，再結合仿酉矩陣，進而利用不同的初始矩陣產生不同的ZCZ序列集，且序列集間互不相關。所提方法的核心是多個初始矩陣的設計，方法1通過對離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT）矩陣進行分塊與疊加實現，方法2利用已有的不相關多子集ZCZ序列集實現。由兩種方法得到的構造結果，其參數趨近于最優，為解決多小區環境下的干擾抑制問題提供了新的序列設計方法。
關鍵詞： 準同步碼分多址系統; 零相關區; 多子集零相關區序列集; 仿酉矩陣
中圖分類號： TN 911.2 文獻標志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.10.34
Construction of uncorrelated multiple-subset zero correlation zone sequence sets
CUI Li1， XU Chengqian1
（1. Shool of Information Science and Engineering， Yanshan University， Qinhuangdao 066004， China; 2. School of Mathematics
and Information Science and Technology， Hebei Normal University of Science and Technology， Qinhuangdao 066004， China）
Abstract： In multi-cell quasi-synchronous code-division multiple-access （QS-CDMA） systems， uncorrelated multiple-subset zero correlation zone （ZCZ） sequence sets can not only eliminate signal interference in the same cell within a certain time delay， but also eliminate signal interference from adjacent cells completely. Two construction methods are designed to solve the problem that how to construct multiple-subset ZCZ sequence sets based on paraunitary （PU） matrices. Specifically， by constructing multiple initial matrices with certain characteristics， combined with the PU matrices， different initial matrices are used to yield different ZCZ sequence sets. Furthermore， the obtained ZCZ sequence sets are uncorrelated with each other. The key idea of the construction methods is the design of the multiple initial matrices. Construction method 1 is realized by dividing and stacking the discrete Fourier transform （DFT） matrices， and construction method 2 is implemented by the existing uncorrelated multiple-subset ZCZ sequence sets. The parameter performance of" the construction results obtained by the two methods is close to optimal， which provides a new sequence design method for solving the interference suppression problem in a multi-cell environment.
Keywords： quasi-synchronous code-division multiple-access （QS-CDMA） system; zero correlation zone （ZCZ）; multiple-subset ZCZ sequence sets; paraunitary matrix
0 引 言
碼分多址（code-division multiple-access， CDMA）作為一項重要的擴頻技術，已被廣泛應用于數字蜂窩通信系統中。憑借準同步CDMA技術允許用戶信號存在相對時延的優勢，零相關區（zero correlation zone， ZCZ）序列集［1］利用一定位移區域內相關函數處處為零的特性，可以消除同一小區內用戶信號的多徑干擾和多址干擾。因此，ZCZ序列集設計受到越來越多學者的關注，并取得了豐富的研究成果［28］。
近年來，ZCZ序列集與不同類型序列相結合，相繼產生了不同類型的ZCZ序列集。例如，為了在具有非連續載波的認知無線電（cognitive radio， CR）網絡中，設計具有良好相關性的頻譜零約束（spectrally-1-constrained， SNC）序列，文獻［9］提出一類單信道SNC-ZCZ序列的構造方法。該類序列可以在CR的多輸入多輸出信道估計和準同步通信中實現無干擾。另外，若一個ZCZ序列集內各序列的自相關函數之和在非零位移處均為零，則稱該序列集為具有ZCZ的Golay互補序列集，即Golay-ZCZ序列集［10］。文獻［11］表明，Golay-ZCZ序列集適用于上行鏈路免授權非正交多址接入技術的導頻序列。此后，文獻［1213］提出具有不同參數的Golay-ZCZ序列集的構造方法。通過有限Zak變換，文獻［14］提出一類無干擾ZCZ序列集的構造方法。從序列相關性方面考慮，文獻［15］構建一類新的低相關多相序列集。該類序列集將相關區范圍放寬到整個序列周期，且相關函數具有較低的幅度值。然而，單一ZCZ序列集存在兩個方面的不足。在抗干擾方面，ZCZ序列集雖然能消除同一小區內信號的干擾，但是在面對多小區環境時，難以消除相鄰小區用戶信號間的干擾。另外，在參數方面，ZCZ序列集包含3個參數：序列長度L、序列數目N和ZCZ長度Z。為了支持盡可能多的用戶和更大限度地放寬對系統同步性的要求，在ZCZ序列集的設計中，對于給定的序列長度，通常希望N和Z都盡可能大。然而，受到Tang-Fan-Matsufuji界［16］的限制，N和Z之間相互抑制，二者無法兼顧。
為了克服單一ZCZ序列集的上述缺陷，Tang等［17］提出多子集ZCZ序列集的概念。該類序列集存在兩個ZCZ，即不同子集間和同一子集內序列的ZCZ。為了區分兩類ZCZ，通常稱前者為零互相關區（zero cross-correlation zone， ZCCZ）。正因為此，又稱多子集ZCZ序列集為非對稱ZCZ序列集。在多小區環境下，將不同的子集分配給相鄰小區，同一小區內用戶信號的多址干擾和多徑干擾可以利用子集內序列良好的相關特性予以消除，不同小區間用戶信號的干擾可以通過子集間良好的互相關性予以消除。針對多子集ZCZ序列集的設計，目前已經取得了一定的研究成果［1822］。盡管如此，當不同小區用戶信號的延遲超過ZCCZ的范圍時，相鄰小區間的干擾仍然存在。
文獻［23］利用離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT）矩陣代替文獻［18］中的完備序列，并結合正交矩陣，得到多個具有相同ZCZ長度的ZCZ序列集，若不同序列集之間互相關函數處處為零，稱該序列集為不相關多子集ZCZ序列集。顯然，利用不同序列集之間的不相關性可以完全消除相鄰小區間用戶信號在任意時延處的干擾。文獻［23］設計的ZCZ序列總數目為MN，其中N=L/M，L和M分別是初始DFT矩陣和正交矩陣的階數，表示向下取整。可見，序列數目不能超過DFT矩陣的階數。為了進一步擴展序列數目，文獻［24］突破了DFT矩陣的階數對序列數目的限定。基于長度為P的完備序列和L×L階DFT矩陣，文獻［25］首先構造一類不相關ZCZ序列集（即序列的互相關函數處處為零、自相關函數存在ZCZ的序列集）。其中，gcd（P，L）=1，即P與L互素;然后結合T×T階正交矩陣，通過與不相關ZCZ序列集進行交織，構造了一類新的子集間互不相關的多子集ZCZ序列集。各子集內的ZCZ長度取決于初始完備序列長度P，且當gcd（P，T）=1時，構造結果的參數達到最優。考慮到目前已知的完備序列很少，且對P有嚴格要求，顯然該方法的應用受到了相應的限制。為了提高集內ZCZ長度的靈活性，文獻［26］對完備序列和DFT矩陣采用交織技術，提出不相關多子集ZCZ序列集的新的構造方法。
為了進一步探索序列設計的新方法，Das等［2］給出基于仿酉（paraunitary， PU）矩陣的ZCZ序列集的設計思路，并提出基于PU矩陣構造多子集ZCZ序列集的問題，該問題目前尚未得到解決。本文以此為動機，研究基于PU矩陣的不相關多子集ZCZ序列集的構造方法。PU矩陣是酉矩陣的擴展形式，將序列壓縮表示為關于z－1的多項式，并以此作為矩陣中的元素。由于PU矩陣與完全互補序列集之間存在著等價關系［27］，因此被廣泛應用于完全互補序列集的構造方法中［2829］。目前，PU矩陣和布爾函數都是序列設計的重要工具。然而，由布爾函數直接構造的序列長度通常限定為2n。相比之下，PU矩陣產生的序列長度則沒有這樣的限制，因此序列長度更加靈活。文獻［30］表明，使用等價形式的Buston-type Hadamard （BH）矩陣可以顯著增加PU矩陣的數目。
本文基于PU矩陣，在文獻［2］和文獻［8］的啟發下，分別利用DFT矩陣及已有的不相關多子集ZCZ序列集，構造得到兩類不相關多子集ZCZ序列集，解決了Das等提出的基于PU矩陣構造多子集ZCZ序列集的問題。利用BH矩陣的等價形式，兩類構造方法可以產生大量的具有參數靈活性的多子集ZCZ序列集。
1 基本理論
設S是含有M個序列集的集合，每個序列集包含N個長度為L的序列，具體表示為
S={S0，S1，…，SM－1}
Sm={sm，0，sm，1，…，sm，N－1}
sm，n=（sm，n（0），sm，n（1），…，sm，n（L－1））
其中，0≤m≤M－1，0≤n≤N－1，序列集Sm和集合S分別表示為（N，L）-Sm和（M，N，L）-S。
設x=（x（0），x（1），…，x（L－1））是長度為L的序列，可唯一表示為一個關于z的多項式：
x（z）=∑L－1t=0x（t）·z－t（1）
稱x（z）為x的z變換;反之，稱x為x（z）的時域變換。進一步，若x（z）所有項的系數均為單位圓的γ次復數根，則稱x（z）為長度為L的γ次單模多項式。
利用z變換，（M，N，L）-S可表示為N×M階多項式矩陣：S（z）=［s0（z），s1（z），…，sM－1（z）］，其中sm（z）=［s0，m（z），s1，m（z），…，sN－1，m（z）］T為含有N個L次多項式的列向量。這里，S（z）的列向量sm（z）與S中不同的序列集（N，L）-Sm相對應，多項式元素sn，m（z）與序列集Sm中的序列sm，n相對應。
定義 1 令x與x′是2個長度為L的序列，非周期相關函數Cx，x′（τ）定義為
Cx，x′（τ）=∑N－1－τt=0x（t）·x′（t+τ） 0≤τlt;L
∑N－1+τt=0x（t－τ）·x′（t） 1－L≤τlt;0
0， |τ|≥L（2）
式中：（·）*表示取共軛。
Cx，x′（τ）的z變換定義如下：
Cx，x′（z）=∑L－1τ=1－LCx，x′（τ）·z－τ=x（z－1）·x′（z）*（3）
式中：x′（z）*=∑L－1t=0x（t）*·z－t。
序列x與x′的周期相關函數定義為
Rx，x′（τ）=Cx，x′（τ）+Cx，x′（τ－L） （4）
當x=x′時，稱Rx，x′（τ）為x的周期自相關函數，簡記為Rx（τ）;否則，稱Rx，x′（τ）為x與x′的周期互相關函數。
定義 2 設X是一個（N，L）-X序列集，若其中任意兩個序列xn與xn′的相關函數滿足：
Rxn，xn′（τ）=0， n=n′， 0lt;τlt;Z
0， n≠n′， 0≤τlt;Z（5）
式中：0≤n，n′≤N－1，則稱X為ZCZ序列集，記為（L，N，Z）-ZCZ，其中L表示序列的長度，N表示序列集內序列的數目，Z表示ZCZ的長度。
引理 1［7］ 根據Tang-Fan-Matsufuji界，對于多相（L，N，Z）-ZCZ，其性能參數η滿足
η=NZL≤1（6）
當η=1時，稱該序列集為最優ZCZ序列集。
定義 3 令S={S0，S1，…，SM-1，}是由M個（L，N，Z）-ZCZ組成的集合。設sm，n與sm′，n′分別為取自Sm與Sm′的兩個序列，且m≠m′。若
Rsm，n，sm′，n′（τ）=0，0≤τ lt;ZCCZ（7）
式中：0≤m，m′≤M－1，0≤n，n′≤N－1，則稱Sm與Sm′之間存在長度為ZCCZ的ZCZ。為了與S內序列集Sm的ZCZ區分，稱Z為集內ZCZ長度，ZCCZ為集間ZCCZ長度。進一步，稱S為集間具有ZCCZ的多子集ZCZ序列集，記為（L，［N，M］，［Z，ZCCZ］）-ZCZ。
若ZCCZ=L，則S稱為不相關多子集ZCZ序列集，記為（L，［N，M］，［Z，L］）-ZCZ。
引理 2［8］ 將（L，［N，M］，［Z，L］）-ZCZ的各序列集合并后可以構成一個更大的ZCZ序列集（L，MN，Z）-ZCZ，其性能參數滿足
η=MNZL≤1（8）
當η=1時，稱該序列集為最優多子集ZCZ序列集。
定義 4 設U為N×N階復數矩陣，若滿足：
U·UH=IN（9）
則稱U為酉矩陣。
定義 5 設G（z）=［gn，m（z）］是N×M階多項式矩陣，若滿足：
G～（z）·G（z）=c·IM（10）
則稱G（z）為PU矩陣。式（10）中：G～（z）=GH（z－1）;c為正實數常量。
如果PU矩陣中所有多項式均為長度為L的單模多項式，則稱其為長度為L的單模PU矩陣。
引理 3［31］ 設FN=［fi，j］是N×N階DFT矩陣，則矩陣FN的任意不同兩行fi與fi′的周期相關函數為
Rfi，fi′（τ）=N（ωN）－iτ·δ（i－i′） （11）
式中：ωN=e2π－1/N;δ（·）為delta函數;0≤i，i′≤N－1。
2 構造方法
本文基于PU矩陣，通過設計多個互不相關的初始矩陣集，得到多個互不相關的ZCZ序列集。目前，已有的PU矩陣均可用于本文。為了方便讀者，這里以文獻［27］為例，給出PU矩陣的一類構造方法。
首先介紹PU矩陣構造方法中一類重要的BH矩陣。元素值為γ次單位根的N×N階酉矩陣，記為BH（N，γ）。因此，BH（N，2）表示N×N階二元Hadamard矩陣，記為HN，其中N分別取2n，4n;BH（N，N）表示N×N階DFT矩陣，記為FN。
引理 4［17］ 取正整數N，K，且Ngt;1，Kgt;1，N能被K整除，記為K|N。考慮兩個BH矩陣，分別為K×K階矩陣A（t）和N×N階矩陣U（0）。首先，構造如下兩個矩陣：
U（t）=INKA（t）（12）
D（z）=INKdiag（1，z－1，…，z－（K－1）） （13）
式中：0≤t≤T－1，T為正整數;表示Kronecker積；diag（1，z－1，…，z－（K－1））為K×K階對角陣。接著，通過T次遞歸計算：
G（z）=∏1t=TU（t）·D（zDt）·P（t）·U（0）·Q（14）
式中：Dt=Kπ（t－1），π是在{0，1，…，T－1}上的任意置換；P（t）與Q是兩個N×N階任意的置換矩陣。所得矩陣G（z）是N×N階長度為KT的PU矩陣。
2.1 構造方法1
下面，基于PU矩陣和DFT矩陣，給出不相關多子集ZCZ序列集的構造方法。
步驟 1 取正整數M，N，Z，Zgt;1使得Z|N，令Q=MZ。
步驟 2 設G（z）是N×N階長度為L的單模PU矩陣，FQ為Q×Q階DFT矩陣，D（z）=diag（1，z－1，…，z－（N－1））為N×N階延遲矩陣，D′（z）=diag（1，z－1，…，z－（Q－1））為Q×Q階延遲矩陣。
步驟 3 設V（m）為NM/Z階矩陣，其第m列上所有元素全部為1，其余各列元素均為0。具體地，V（m）的（i，j）上的元素v（m）i，j可表示為
v（m）i，j=δ（j－m） （15）
式中：0≤m≤M－1，0≤i≤N/Z－1，0≤j≤M－1。
步驟 4 構造N×M階多項式矩陣S（z）=［s0（z），s1（z），…，sM－1（z）］，具體為
sm（z）=G（z）·D（zL）·（V（m）IZ）·FQ·D′（zNL）·aT（16）
式中：IZ為Z×Z階單位矩陣;a=［a0，a1，…，aQ－1］是FQ的任意行向量。sm（z）的元素具體表示為
sn，m（z）=pn·sm（z） （17）
式中：pn為N×N階單位矩陣的第n行行向量，0≤n≤N－1。
定理 1 由構造方法1得到的S（z）為不相關多子集ZCZ序列集（QNL，［N，M］，［（Z－1）L+1，QNL］）-ZCZ，其中Q=MZ，S（z）具有如下性質：
（1） 列向量sm（z）對應的序列集為ZCZ序列集（QNL，N，（Z－1）L+1）-ZCZ，0≤m≤M－1。
（2） 不同ZCZ序列集之間互不相關。
證明 設E（m）=V（m）IZ，其中0≤m≤M－1。顯然，E（m）為N×Q階矩陣，其（i，j）上的元素可表示為
e（m）i，j=δ（j－Zm－〈i〉Z） （18）
式中：0≤i≤N－1，0≤j≤Q－1。因此，E（m）的任意一行只有一個元素的值為1，其他各元素均為0。結合式（16）中（V（m）IZ）·FQ=E（m）·FQ為N×Q階矩陣，可知矩陣中行向量取自于DFT矩陣FQ的行向量。另外，G（z）是N×N階長度為L的單模PU矩陣，且D（z）為N×N階延遲矩陣，則式（16）中G（z）·D（zL）·（V（m）IZ）·FQ為N×Q階單模多項式矩陣，每個多項式的長度為NL。又因為D′（zNL）是Q×Q階延遲矩陣，且a為FQ的任意行向量，則由式（16）得到的列向量sm（z）含有N個元素，每個元素是關于z－1的NLQ次的單模多項式。由此可知，與矩陣S（z）對應的集合為（M，N，NLQ）-S。
下面證明（M，N，NLQ）-S內各序列集（N，NLQ）-Sm的ZCZ長度為（Z－1）L+1，且各序列集之間互不相關。
令sm（z）=［s0，m（z），s1，m（z），…，sN－1，m（z）］T，根據式（16），可以將元素sn，m（z）表示為
sn，m（z）=∑Q－1q=0∑Q－1j=0∑N－1i=0gn，i（z）·e（m）i，j·fj，q·aq·z－（Nq+i）L（19）
式中：gn，i（z）為G（z）的（n，i）上的元素；fj，q為FQ（j，q）上的元素，0≤n≤N－1。
設序列sm，n為sn，m（z）的時域變換，表示為
sm，n=（sm，n（0），sm，n（1），…，sm，n（QNL－1））（20）
根據式（19）可知，序列元素sm，n（t）可表示為
sm，n（t）=∑Q－1j=0gn，i（t）·e（m）i，j·fj，q·aq=
gn，i（t0）·aq·∑Q－1j=0e（m）i，j·fj，q（21）
式中：gn，i（t0）是gn，i（z）的項z－t0的系數，0≤t≤QNL－1，t=（Nq+i）L+t0，t0=t modL=〈t〉L，t1=t/L，q=t1/N，i=〈t1〉N。
由于矩陣E（m）的任意一行只有一個元素的值為1，其余各元素均為0。結合式（18）與式（21）可得：
∑Q－1j=0e（m）i，j·fj，q=∑Q－1j=0δ（j－Zm－〈i〉Z）·fj，q=fZm+〈i〉Z，q（22）
從而可將式（21）進一步簡化為
sm，n（t）=gn，i（t0）·b（m）i，q（23）
式中：b（m）i，q=aq·fZm+〈i〉Z，q。不妨令B={B（0），B（1），…，B（M－1）}為由M個N×Q階矩陣構成的矩陣集，其中每個矩陣表示為B（m）=［b（m）i，q］。
令0≤m′≤M－1，0≤n′≤N－1，計算sm，n與sm′，n′的周期相關函數
Rsm，n，sm′，n′（τ）=∑QNL－1t=0sm，n（t）·s*m′，n′（t+τ）=
∑N－1i=0∑Q－1q=0∑L－1t0=0 ［b（m）i，q·gn，i（t0）·（b（m′）〈i+i′+Δt0〉N，〈q+q′+Δi〉Q）*·
g*n′，〈i+i′+Δt0〉N（〈t0+t′0〉L）］=
∑N－1i=0∑L－1t0=0 ［gn，i（t0）·g*n′，〈i+i′+Δt0〉N（〈t0+t′0〉L）·
∑Q－1q=0b（m）i，q·（b（m′）〈i+i′+Δt0〉N，〈q+q′+Δi〉Q）*］=
∑N－1i=0∑L－1－t′0t0=0 ［gn，i（t0）·g*n′，〈i+i′〉N（t0+t′0）·
∑Q－1q=0b（m）i，q·（b（m′）〈i+i′〉N，〈q+q′+Δi〉Q）*］+
∑L－1t0=L－t′0［gn，i（t0）·g*n′，〈i+i′+1〉N（t0+t′0－L）·
∑Q－1q=0b（m）i，q·（b（m′）〈i+i′+1〉N，〈q+q′+Δi〉Q）*］=
∑N－1i=0Cgn，i，gn′，〈i+i′〉N（t′0）·Rb（m）i，b（m′）〈i+i′〉N（〈q′+Δi〉Q）+
∑N－1i=0Cgn，i，gn′，〈i+i′+1〉N（t′0－L）·Rb（m）i，b（m′）〈i+i′+1〉N（〈q′+Δi〉Q）（24）
式中：τ=（Nq′+i′）L+t′0，0≤q′≤Q－1，0≤i′≤N－1，0≤t′0≤L－1；Δt0=t0+t′0L；Δi=i+i′+Δt0N；gn，i為gn，i（z）的時域變換；b（m）i為矩陣B（m）第i行的行向量。
令b（m）r與b（m′）r′分別為B（m）與B（m′）內的任意兩個行向量，其中0≤r，r′≤N－1。下面，通過計算b（m）r與b（m′）r′的周期相關函數，分析矩陣集B內各行向量之間的周期相關性。
Rb（m）r，b（m′）r′（λ）=∑Q－1q=0b（m）r，q·（b（m′）r′，〈r+λ〉Q）*=
∑Q－1q=0aq·fZm+〈r〉Z，q·a*〈q+λ〉Q·f*Zm′+〈r′〉Z，〈q+λ〉Q=
∑Q－1q=0f〈Zm+〈r〉Z+ξ〉Q，q·f*〈Zm′+〈r′〉Z+ξ〉Q，〈q+λ〉Q=
Rf〈Zm+〈r〉Z+ξ〉Q，f〈Zm′+〈r′〉Z+ξ〉Q（λ）=
σ（r，m，λ）·δ（Z（m－m′）+〈r〉Z－〈r′〉Z）（25）
式中：σ（r，m，λ）=Q（ωQ）－〈Zm+〈r〉Z+ξ〉Q·λ，0≤ξ，λ≤Q－1。
因此，Rb（m）r，b（m′）r′（λ）=0的充分條件是：δ（Z（m－m′）+〈r〉Z－〈r′〉Z）=0，即m=m′，且〈r－r′〉Z≠0或m≠m′。
接下來，根據式（24）和矩陣集B內各行向量之間的周期相關性，分析與S（z）對應的集合S集內和集間的周期相關性。
（1） 當m=m′且0≤τ≤（Z－1）L時，q′=0，即0≤i′L+t′0≤（Z－1）L。由此可知，i′=Z－1且t′0=0或0lt;i′≤Z－2或i′=0。
若i′=Z－1且t′0=0，則〈i－（i+Z－1）〉Z≠0。由此可知，式（24）為
Rsm，n，sm′，n′（τ）=∑N－1i=0{Cgn，i，gn′，〈i+Z－1〉N（0）·Rb（m）i，b（m）〈i+Z－1〉N（Δi）}=0。
若0lt;i′≤Z－2，則〈i－（i+i′）〉Z≠0且〈i－（i+i′+1）〉Z≠0。由此可知，式（24）為Rsm，n，sm′，n′（τ）=0。
若i′=0，則〈i－（i+i′+1）〉Z≠0。由此可知，式（24）為
Rsm，n，sm′，n′（τ）=∑N-1i=0{Cgn，i，gn′，i（t′0）·Rb（m）i，b（m）i（0）}=
Q·∑N-1i=0Cgn，i，gn′，i（t′0）
由于G（z）為PU矩陣，結合式（3）和式（10）可知，當n=n′且0lt;t′0≤L－1或n≠n′且0≤t′0≤L－1時，有∑N-1i=0Cgn，i，gn′，i（t′0）=0，則Rsm，n，sm′，n′（τ）=0。
可以得出結論，與sm（z）對應的序列集Sm為（QNL，N，（Z－1）L+1）-ZCZ。
（2） 當m≠m′時，根據式（25）有Rb（m）i，b（m′）〈i+i′〉N（〈q′+Δi〉Q）=0，Rb（m）i，b（m′）〈i+i′+1〉N（〈q′+Δi〉Q）=0，代入式（24）可得，Rsm，n，sm′，n′（τ）=0。
可以得出結論，取自不同序列集Sm與Sm′的任意兩個序列sm，n與sm′，n′之間互不相關。由此說明，不同列向量sm（z）與sm′（z）分別對應的序列集Sm與Sm′之間互不相關。
證畢
推論 1 將構造方法1得到的所有ZCZ序列集進行合并，可以得到一個更大的ZCZ序列集（QNL，MN，（Z－1）L+1）-ZCZ，其中Q=MZ。
證明 由定理1可知，S（z）的列向量sm（z）對應的序列集包含N個序列，0≤m≤M－1，每個序列的長度為QNL，序列之間存在長度為（Z－1）L+1的ZCZ，且不同序列集之間互不相關。顯然，在M個序列集合并后，所得序列集序列個數為MN，序列長度不變，ZCZ長度為（Z－1）L+1，即（QNL，MN，（Z－1）L+1）-ZCZ。證畢
推論 2 由推論1得到的ZCZ序列集的性能參數ηgt;1/2，且隨著Z的增加，η越來越趨近于1。
證明 由引理2可知：
η=MN（（Z－1）L+1）QNL=MN（（Z－1）L+1）MZNL=
（Z－1）L+1ZLgt;（Z－1）LZL=1－1Z≥12（26）
可見，ηgt;1/2，且隨著Z的增加越來越趨近于1。證畢
由式（26）可知，當L=1時，η=1。換言之，當構造方法中PU矩陣G（z）退化為酉矩陣時，所得S（z）對應的集合為最優不相關多子集ZCZ序列集。相反，當Lgt;1時，1/2lt;ηlt;1。因此，隨著Z的增加，序列集的參數漸進最優。
下面給出構造方法1的實例。
根據引理4，取N=6，K=2，T=2，π=［1，0］，P（t）=Q=I6，構造一個6×6階長度L=4的PU矩陣G（z），具體過程為
G（z）=（I3A）·D（z2π（1））·（I3A）·D（z2π（0））·U（0）（27）
式中：I3為3×3階單位矩陣;A為2×2階二元Hadamard矩陣;D（z）=I3diag（1，z－1）;U（0）為6×6階BH（6，3），具體如下：
U（0）=000000
001122
010221
012012
022101
021210（28）
式中：各元素值均為ω3=e2π－1/3的冪次。
為了表示方便，將所得PU矩陣G（z）的各多項式元素進行時域變換，得到以序列為元素的6×6階矩陣G，表示如下：
G=（0，0，0，3）（0，0，0，3）（0，0，2，5）（0，0，2，5）（0，0，4，1）（0，0，4，1）
（0，3，0，0）（0，3，0，0）（0，3，2，2）（0，3，2，2）（0，3，4，4）（0，3，4，4）
（0，0，0，3）（2，2，2，5）（0，0，4，1）（4，4，0，3）（4，4，2，5）（2，2，4，1）
（0，3，0，0）（2，5，2，2）（0，3，4，4）（4，1，0，0）（4，1，2，2）（2，5，4，4）
（0，0，0，3）（4，4，4，1）（4，4，2，5）（2，2，4，1）（0，0，2，5）（2，2，0，3）
（0，3，0，0）（4，1，4，4）（4，1，2，2）（2，5，4，4）（0，3，2，2）（2，5，0，0）（29）
其中，各元素是長度為4的序列，且序列元素為ω6的冪次。
取M=2，Z=3，則Q=6。設V（m）是2×2階矩陣，其中第m列的元素全部為1，其余全部為零，0≤m≤1;兩個延遲矩陣D（z）=D′（z）=diag（1，z－1，…，z－5），a=［1，1，1，1，1，1］。根據式（16），可以得到S（z）=［s0（z），s1（z）］，其中sm（z）=［s0，m（z），s1，m（z），…，s5，m（z）］T，m=0，1。表1給出了sn，m（z）的時域變換序列sm，n。為了表示方便，表中數值均為ω6=e2π－1/6的冪次。
序列sm，n在部分時延（τ∈［0，40］）上的自相關函數幅度值（0≤n≤5，0≤m≤1）的分布如圖1所示;序列s0，0與其余各序列sm，n的周期互相關函數幅度值的分布如圖2所示。
由圖1可知，序列自相關函數的ZCZ長度為9，結合圖2中s0，0與s0，n（1≤n≤5）的互相關函數的ZCZ長度為9可知，s0（z）對應的序列集S0為（144，6，9）-ZCZ。由圖2可知，s0，0與s1，n（0≤n≤5）的互相關函數處處為零，說明不同ZCZ集之間互不相關。根據定義3，S（z）對應的集合S為不相關多子集ZCZ序列集，記為（144，［6，2］，［9，144］）-ZCZ。同時，根據引理2可以得到性能參數η=75%。
2.2 構造方法2
利用已有的不相關多子集ZCZ序列集，包括構造方法1的設計結果，可以進一步構造出具有新的參數的不相關多子集ZCZ序列集，下面給出具體過程。
步驟 1 取N×N階長度為L的單模PU矩陣G（z），D（z）=diag（1，z－1，…，z－（N－1））為N×N階延遲矩陣，D′（z）=diag（1，z－1，…，z－（Q－1））為Q×Q階延遲矩陣。
步驟 2 取不相關多子集ZCZ序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ，并以ZCZ序列集的序列為行向量構成含有M個N×Q階矩陣B（m）的矩陣集B={B（0），B（1），…，B（M－1）}。
步驟 3 構造N×M階多項式矩陣S（z）=［s0（z），s1（z），…，sM－1（z）］，具體為
sm（z）=G（z）·D（zL）·B（m）·D′（zNL）·aT（30）
式中：a=［1，1，…，1］是元素值全部為1的行向量，0≤m≤M－1。sm（z）中每個元素具體表示為
sm，n（z）=pn·sm（z）（31）
式中：pn為N×N階單位矩陣的第n行的行向量，0≤n≤N－1。
定理 2 由構造方法2生成的S（z）對應的集合為不相關多子集ZCZ序列集（QNL，［N，M］，［（Z－1）NL+1，QNL］）-ZCZ，S（z）具有如下性質：
（1） 列向量sm（z）對應的序列集為ZCZ序列集（QNL，N，（Z－1）NL+1）-ZCZ，0≤m≤M－1。
證明 由定理1的證明過程可知，由構造方法1得到的多項式矩陣S（z）含有M個列向量，各列向量含有N個QNL次多項式。進一步地，由式（24）可知，一方面列向量sm（z）對應的序列集其集內各序列的相關性與矩陣B（m）內各行向量之間的相關性有關，0≤m≤M－1。結合式（25）不難發現，當B（m）內各行向量的ZCZ長度為Z時，所得序列集內各序列的ZCZ長度為（Z－1）NL+1。另一方面，列向量sm（z）與sm′（z）對應的序列集，其集間各序列的相關性取決于矩陣B（m）與B（m′）間不同行向量之間的相關性，0≤m≠m′≤M－1。由于矩陣集B由不相關多子集ZCZ序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ構成，因此各矩陣的行向量之間互不相關。因此，不同列向量sm（z）與sm′（z）對應的序列集之間互不相關。
由此可知定理2成立。證畢
（2） 不同ZCZ序列集之間互不相關。
構造方法2基于PU矩陣，將多子集ZCZ序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ擴展為（QNL，［N，M］，［（Z－1）NL+1，QNL］）-ZCZ。與構造方法1相比，構造方法2取消了Z|N及Q=MZ的限定條件，因此參數更加靈活。此外，構造方法2中的不相關多子集ZCZ序列集不僅可以由構造方法1得到，也可以由文獻［2326］得到。
若兩種構造方法中PU矩陣G（z）的元素為γ0次單模多項式，矩陣集B的字符集大小為γ1，則所得矩陣S（z）的各元素均為lcm（γ0，γ1）次單模多項式（lcm表示取最小公倍數），即序列均為lcm（γ0，γ1）相序列。
推論 3 將構造方法2得到的所有序列進行合并，可以得到一個更大的ZCZ序列集（QNL，MN，（Z－1）NL+1）-ZCZ。
證明 由定理2可知，S（z）的列向量sm（z）對應的序列集包含N個序列，0≤m≤M－1，每個序列的長度為QNL，序列之間存在長度為（Z－1）L+1的ZCZ，且不同序列集之間互補相關。顯然，在M個序列集合并后，所得序列集序列個數為MN，序列長度不變，ZCZ長度為（Z－1）L+1，即（QNL，MN，（Z－1）L+1）-ZCZ。證畢
推論 4 由推論3得到的ZCZ序列集的性能參數η≤1－1/Z。
證明 根據構造方法2的初始序列集（Q，［N，M］，［Z，Q］）-ZCZ的理論界，MN≤Q/Z。因此，所得序列集（QNL，MN，（Z－1）NL+1）-ZCZ的性能參數滿足：
η=MN［（Z－1）NL+1］QNL≤
（Z－1）NL+1ZNL≈1－1Z（32）
證畢
3 構造方法的比較
表2列舉了已有不相關多子集ZCZ序列集的構造方法，主要從構造結果、性能參數、限定條件和構造基礎幾個方面進行了分析與比較。可以看出，文獻［2326］均以DFT矩陣與完備序列為構造基礎。考慮到文獻［23］所得全部序列的數目MN不能超過DFT矩陣的階數L，文獻［24］利用KM×KM階正交矩陣突破了這一束縛，得到了KMN個序列，且在M=L/N的條件下，所得序列集達到最優。然而，文獻［2324］的集內ZCZ的長度均為M，且子集數目均為N，在N=L/M的限定條件下，M和N相互抑制且均無法超越DFT矩陣的階數L。如果同時增加M和N，則必然會增加字符集的大小。通過對完備序列進行交織運算，文獻［25］提出一類新的不相關多子集ZCZ序列集的構造方法，但集內ZCZ長度受限于完備序列的長度。為了在準同步碼分多址（quasi-synchronous code-division multiple-access， QS-CDMA）系統中靈活選擇ZCZ長度，文獻［26］仍對完備序列采用交織的方法，得到另外一類新的不相關多子集ZCZ序列集，其不足之處在于序列長度均為偶數。由表2可知，文獻［2526］的構造方法均對完備序列長度有嚴格要求，由于目前已知的完備序列很少，因此這類方法在應用中受到了極大的限制。此外，由文獻［2325］得到的序列長度均為集內ZCZ的倍數。
相比之下，本文提出的基于PU矩陣的構造方法具有以下優勢。
（1） 在參數選取方面，具有更多的可選參數，如：序列數目不再受限于DFT矩陣的階數，ZCZ由Z和L共同決定，序列長度既可以是奇數，也可以為偶數，且不限定為ZCZ的倍數。本文實例中，由構造方法1得到的序列集（144，［6，2］，［9，144］）-ZCZ無法由文獻［2326］得到。相對于構造方法1，構造方法2的參數選擇更加靈活，如放寬了構造方法1對Z|N與Q=MZ的限定條件。
（2） 在構造基礎方面，相對于長度受限的完備序列，利用PU矩陣的多樣性可以得到更多數目的目標序列集。
（3） 在參數的性能方面，表2中構造結果的參數達到最優均需要滿足不同的條件。當PU矩陣長度為1時，由本文構造方法1可以得到最優不相關多子集ZCZ序列集。不僅如此，構造方法1還保證了性能參數的下限不低于1/2，且隨著Z的增加接近最優。與構造方法1類似，構造方法2的性能參數也隨著Z值增加趨近于1。不同的是，構造方法2的性能參數取決于初始不相關多子集ZCZ序列集。
4 結 論
本文針對Das等［2］提出的基于PU矩陣構造多子集ZCZ序列集的問題，給出了兩種不相關多子集ZCZ序列集的構造方法，從而建立了多子集ZCZ序列集與PU矩陣的聯系。構造方法1以DFT矩陣為構造基礎，構造結果的性能參數ηgt;1/2。構造方法2對方法1進行了擴展，參數更加靈活。利用BH矩陣的等價形式可以提高PU矩陣的多樣性，進而產生更多數目的多子集ZCZ序列集。將不相關多子集ZCZ序列集應用到多小區環境下的準同步/異步CDMA系統中，不僅可以消除小區內一定時延范圍的信號干擾，而且可以完全消除相鄰小區間的信號干擾，進而為序列設計在干擾抑制中的應用提供理論依據。
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作者簡介
崔 莉（1979—），女，講師，博士，主要研究方向為擴頻序列設計。
許成謙（1961—），男，教授，博士，主要研究方向為通信理論、編碼理論、信號設計。
