基于PRP共軛梯度法求解代價函數的RSC碼參數識別算法

摘要： Turbo碼是一種常用的信道編碼方式，正確識別Turbo碼首先要正確識別其子遞歸系統卷積（recursive system convolutional， RSC）碼，由于信道噪聲與干擾引發誤碼，這就要求識別算法具有良好的抗誤碼性能以及識別能力。利用解調軟判決序列，通過編碼碼元約束方程，構建指數形式的代價函數模型，將識別RSC碼的生成矩陣問題轉化為求解代價函數全域極值的最優化問題，最后在共軛梯度法的基礎上，采用新的PRP步長因子來尋找全域極值點。仿真結果表明，所提算法與現有算法相比，收斂速度更快，在低信噪比下也有良好的識別能力。

關鍵詞： 遞歸系統卷積碼; 盲識別; 解調軟判決; 共軛梯度法; 全域極值點

中圖分類號： TN 911.7

文獻標志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.11.35

Parameter identification algorithm of RSC codes with solving cost function based on PRP conjugate gradient method

CHEN Zengmao^1，2， LI Donghao¹， SUN Rongchen^1，*， SUN Zhiguo¹

（1. School of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2. Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology， Ministry of Industry and Information Technology， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China）

Abstract： Turbo code is an common communication coding method. To correctly identify Turbo code， first of all， correct identification of its subcode recursive system convolutional （RSC） code is required. Due to the existence of channel noise and interference which leads to erroneous bits， this demands the identification algorithm having good error resilience performance and recognition ability. The demodulation soft judgment sequence is utilized to construct an exponential cost function model by encoding the symbol constraint equation. The problem of identifying the generator matrix of the RSC code is transformed into the optimization problem of solving the global extremum of the cost function. Finally， based on the conjugate gradient method， a new PRP step size factor is proposed to find the global extremum point. According to the simulation results， the proposed algorithm has faster rate of convergence and better recongnition ability at low signal-to-noise ratio than exisiting algorithms.

Keywords： recursive system convolutional （RSC） code; blind identification; demodulation soft judgment; conjugate gradient method; global extremum point

0 引 言

Turbo碼是一種常用的信道編碼方式，其重要性在通信偵察領域不可替代。目前，Turbo碼仍廣泛應用于衛星通信、深空探測等領域^［1］。Turbo碼是目前能夠實現信道容量并在移動通信中提供優異性能的最先進的糾錯碼^［2］，這是由于Turbo碼具有接近香農極限的糾錯能力^［3］。Turbo碼通常由并行級聯遞歸系統卷積（recursive system convolutional， RSC）碼構成^［4］，RSC碼是Turbo碼的重要組成部分，因此識別Turbo碼的前提是能夠準確識別RSC碼^［5］。

Turbo碼具有良好的糾錯能力，常工作于惡劣的信道環境中^［6］，其擁有良好的抗噪性能，現有算法在低信噪比下識別能力較弱，難以對RSC碼的生成矩陣進行準確識別，常用算法在編碼存儲級數，碼長等參數一種或者多種已知的情況下才能達到較好的識別效果。

在二元域中，解線性方程組法最為直接，通過編碼碼元間的約束關系，利用高斯消元法求解方程組，進行快速識別，高斯方法廣泛用于求解復雜方程，此方法無需矩陣求逆即可得出解^［7］。但是，由于利用的信息中可能存在誤碼，求解結果會有很大幾率出現誤解，容錯能力較差。同樣，受誤碼影響，快速合沖算法^［8］與歐幾里德算法^［9］雖然有較低的計算復雜度，但也難以在存在誤碼的情況下高效準確的識別。因此，在Walsh-Hadamard變換（Walsh-Hadamard transform， WHT）^［10-12］算法中，充分考慮誤碼的影響，通過判斷方程成立與不成立個數之差來消除誤碼對算法的影響，WHT算法廣泛應用于求解編碼變化的客觀規律^［13］，但是因此帶來巨大的計算量。文獻［14］通過將生成多項式系數作為個體基因來設置種群，采用遺傳的思想對Walsh-Hadamard算法進行改進，但是隨著編碼存儲級數以及誤碼的增加，算法性能下降嚴重。低密度奇偶校驗（low density parity check， LDPC） 編碼是一種常見的編碼形式，其基于稀疏矩陣的并行迭代譯碼算法比Turbo算法復雜度更低、更靈活。然而，隨著協議和信道數量的不斷增加，傳統的LDPC碼識別方法適應性不夠，需要一種更加靈活、適用的方法^［15］。同樣的還有主元消元法^［16-20］，也難以消去誤碼所帶來的影響，其主要原因是這些算法都是利用的解調硬判決信息，硬判決信息中缺少可靠度信息導致上述算法的抗噪性能較差。針對解調硬判決序列可靠度不足的問題，后續提出一些利用解調軟判決信息的算法。文獻［21］提出了一種非監督期望值最大化（expectation-maximization， EM）算法，該算法通過迭代并利用最大似然估計來進行參數估計，但該算法計算量較大。文獻［22-23］構造對數似然比（log-likelihood ratio， LLR）函數，利用軟判決序列構建含錯方程，但是該算法在低信噪比下的性能較差。文獻［24］構造最小二乘（least square， LS）函數，將實數域的求解轉為概率域，并通過校驗方程符合度來進行生成矩陣的識別，明顯地提高算法的抗噪性能，但是計算復雜度較高。文獻［25］構造最大余弦（maximum cosinoidal， MC）代價函數，余弦函數圖形曲線在極值點處較為陡峭，因此可以采用梯度法求解代價函數極值，但是算法的抗噪性能較差，這是因為梯度法容易陷入局部極值。共軛方向是有效的下一搜索方向^［26］，其在優化方法的研究中發揮著重要作用，若采用效果更好的共軛梯度法^［27］，又難免會連續小步長，無法快速收斂到極值點，導致識別能力難以達到較好的效果。

針對上述問題，本文進行進一步研究，將卷積碼約束方程進一步推導，構建指數型代價函數并且采用PRP（Polak-Pibiere-Polyak）共軛梯度法^［28］對代價函數進行求解，該算法運用迭代的方式得到代價函數符合度最高的解并以此來識別生成矩陣。該方法能夠避免傳統的梯度法陷入局部最優解的困境，同時也避免了傳統共軛梯度法連續產生小步長的缺陷。仿真結果表明，本文所提算法在低信噪比情況下同樣具有良好的識別性能，且具有更快的收斂速度。

1 RSC碼識別模型

Turbo碼常選用RSC碼作為內聯碼，這是由于RSC碼中存在著反饋部分，并且擁有更長的編碼存儲級數，從而減少了較小間距碼字數量。（n，k，m）卷積碼的編碼過程由輸入信息序列S（D），輸出信息序列C（D）以及生成矩陣G（D）完成，其過程用數學描述為

式中：S（D）=［s₀（D），s₁（D），…，s_k－1（D）］； C（D）=［c₀（D），c₁（D），…，c_n－1（D）］；k表示共有k個信息序列輸入;n表示共有n個編碼序列輸出;m為編碼存儲級數;D表示延時操作。

在RSC編碼系統中，存在兩路編碼碼元多項式，C_i（D），C_j（D）編碼多項式可以表示為

將其分別展開得到：

式中：i，j=0，1，…，n－1，i≠j；G_i（D），G_j（D）分別為反饋多項式與前向多項式。

式中：τ為編碼序列的持續時間。

聯立式（2）與式（3）可得

式中：⊕表示二元域中的加。由式（9）知，編碼多項式序列存在線性約束關系，可以通過這種約束關系來構建代價函數。

2 算法設計

2.1 代價函數模型

根據式（9），可以推出：

式中：i，j=0，1，…，n－1，i≠j。進一步可以推出：

式中：t=1，2，…，τ。

經過數字調制等處理后，編碼序列C（D）通過信道傳輸，在傳輸過程中會受到噪聲干擾。假設在接收端得到的序列為x=（x₀，x₁，…，x_n－1），其中x_i={x_i，0，x_i，1，…，x_i，t}。假設采用二進制相移鍵控（binary phase shift keying， BPSK）調制，用數學形式表示該映射過程：y_i，t=1－2c_i，t，假設受到的噪聲干擾為加性高斯白噪聲w_i，t且該噪聲為加性，w_i，t～N（0，σ²），則x_i，t=y_i，t+w_i，t=1－2c_i，t+w_i，t。設x_i，t的概率密度函數為f（x_i，t），信道噪聲與傳輸信號相互獨立，則因此x_i，t服從期望為y_i，t，方差為σ²的正態分布^［29］：

由于采用BPSK調制，則y_i，t服從（-1，1）的二項分布。若y_i，t已知，則x_i，t的概率密度函數為

由貝葉斯定理可以推出如下形式的條件概率密度函數：

用p_i，t表示P（c_i，t=1|x_i，t），由映射規則可以得到：

如果在傳輸過程中沒有誤碼，則有

將式（22）和式（23）推廣，a₁，a₂，…，a_n均為獨立隨機變量，得

1－2P∑ni=0⊕a_i=1=∏ni=0（1－2P（a_i=1））（24）

將式（19）應用到式（24）中，可以推出校驗方程：

F^i，j_t=∏mu=0（1－2p_i，t－u·q_j，u）·∏mu=0（1－2p_j，t－u·q_i，u）（25）

通過校驗方程取值可以衡量函數q的符合度，接收序列中的誤碼會影響F^i，j_t的取值，誤碼數量越少，F^i，j_t的取值越趨近于1。下面將F^i，j_t取值接近于1的問題轉化為最優化問題，構造指數代價函數：

當q中的元素都正確地對應生成矩陣中的元素時，f（q）在區間［0，1］取得極大值，同時a^（Fi，j_t）取得極大值，于是，求解f（q）在區間［0，1］極小值，極小值越接近于真實最小值，F^i，j_t取值越趨近于1，識別出的生成矩陣越準確，可表示求解過程如下：

q^=arg min［f（q）］（27）

為方便計算，本文選取的指數函數的基底為exp。

下面對代價函數進行分析。在式（19）中，等式

∑mu=0⊕c_i，t－ug_j，u⊕∑mu=0⊕c_j，t－ug_i，u=1

有如下3種情況：

（1） 接收序列中誤碼與生成多項式中元素0同時出現，等式成立。

（2） 接收序列中誤碼與生成多項式中元素1同時出現，且同時出現的次數為奇數，等式成立。

（3） 接收序列中誤碼與生成多項式中元素0同時出現，且同時出現的次數為偶數，等式不成立。

設其成立的概率為P₁^［31］，則有

P₁=∑d/2x=1C^2x-1_d·P^2x-1₀·（1-P₀）^d-2x+1（28）

式中：d為生成矩陣中g的碼重;C為排列組合運算;P₀為已知的誤碼率。則

2.2 迭代更新過程

本文采用PRP共軛梯度法求解代價函數，求解方式如下。

首先，求解出當前點數值變動最快方向－θ_k，假設算法的前一個方向－d_k，兩者具有如下線性關系：

取

再利用當前迭代位置q_k和已確定的搜索方向計算下一次迭代位置q_k+1。k為當前迭代次數。式（30） 中Δf（q_k）計算方式如下：

式（35）中?f（q）?q_0，0解法如下：

求解代價函數極小值步驟如下。

步驟 1 令k=0;給定初始值q₀;計算θ₀=Δf（q₀），d₀=θ₀;

步驟 2 計算q_k+1=q_k+μd_k，θ_k+1=Δf（q_k+1）;

步驟 3 更新搜索方向d_k+1=－θ_k+1+β_kd_k;

步驟 4 令k=k+1，跳轉至步驟1。

RSC碼的生成矩陣的第一個元素與最后一個元素一般為1，其他元素待識別。因此，在迭代過程中設置q集合的初始值為

q_i，l=1， i=0; l=0

0.6， 1≤i≤n－1; 1≤l≤m（37）

在計算過程中，會出現q_i，l取值超出區間［0，1］的情況。在過程中，當q_i，l≥1時，令q_i，l=1;當q_i，llt;0時，令q_i，l=0。迭代過程結束后，當q_i，l≥0.5時，令g_i，l=1;當q_i，l≤0.5時，令g_i，l=0。

3 仿真分析

3.1 不同步長下算法識別能力對比

步長控制著算法的收斂速度，下面選取不同步長μ取值對算法識別性能進行分析，測試最適合本文算法的取值。待識別的卷積碼設置為（2，1，6）RSC碼，g₀（D）=1+D²+D³+D⁵+D⁶，g₁（D）=1+D+D²+D³+D⁴+D⁶為生成多項式。仿真參數設置如下：接收序列長度為4 000 bit，最大迭代次數15次，蒙特卡羅實驗次數為1 000次。仿真結果如圖1所示。由圖1可見，在低信噪比時，步長μ在區間［0.004，0.01］內性能最佳，后續隨著步長μ的增大算法性能逐漸降低，原因在于μ的取值過大，在迭代過程中產生較大步長，錯過最優解。因此，在后續仿真中取μ=0.008。后續仿真如未指出其他變量數據，默認采用蒙特卡羅實驗次數1 000次，迭代次數15次，接收序列長度為4 000 bit，仿真對象為（2，1，6）RSC碼。

3.2 不同接收序列長度下算法識別能力對比

本次仿真中待識別的對象為（2，1，6），（2，1，7），（2，1，8）RSC碼。圖2給出了（2，1，6）RSC碼仿真結果，可見，接收序列長度對算法的識別能力有較大的影響，在低信噪比下，長接收序列的識別正確率明顯優于短接受序列，這是由于長序列中包含更多的解調軟判決信息，使得算法能夠更準確地識別生成矩陣。

圖3和圖4分別為（2，1，7），（2，1，8）RSC碼仿真結果，可以看出，隨著編碼存儲級數m的增大，接收序列的長度對算法的影響更加明顯。這是由于需要識別的參數增加時，需要更多的解調軟判決信息來對參數進行識別，短序列中包含的解調軟判決信息較少，識別正確率相對較低。

3.3 不同迭代次數對算法識別能力對比

迭代次數也是衡量算法識別能力的一個重要指標，本次實驗參數設置迭代次數0～20次，由圖5可見，在低信噪比條件下，迭代次數對算法性能影響較大，這是因為隨著迭代的進行，代價函數越來越趨近于極小值。在信噪比高的情況下，誤碼較少，迭代3次左右就可基本正確識別生成矩陣。圖6為對比算法MC算法的仿真，對比圖5與圖6可知，本文所提算法具有更優越的性能。

3.4 不同編碼存儲級數m下算法識別能力對比

本節研究編碼存儲級數m對算法識別性能的影響。本節選?。?，1，m）碼進行仿真， m的取值如表1所示。仿真結果如圖7所示。

從仿真結果可以得知，隨著編碼存儲級數m的增加，算法需要識別參數增加，識別正確率隨之下降。

3.5 不同碼率下算法識別能力對比

本節對不同碼率進行仿真，測試碼率對算法識別性能的影響，碼率的取值如表2所示，仿真結果如圖8所示。

從圖8中可以看出，在低信噪比下，信道條件惡劣，需要識別的參數增加時，識別準確率下降，在信噪比為2 dB之后，碼率變化對算法識別性能的影響較小。這是由于在長接收序列中，仍有足夠的解調軟判決信息，算法利用這些信息仍可以較為準確地識別出RSC碼的參數。

3.6 算法性能對比分析

3.6.1 識別性能對比分析

本文提出的算法是利用解調軟判決信息的算法，本小節額外對另外幾種軟解調軟判決信息算法LS算法、主元消元算法以及利用解調硬判決信息的WHT算法進行仿真，并與本文算法對比分析。

本次仿真選取表1中的（2，1，4）碼為仿真對象。參數設置：接收序列長度4 000 bit，迭代次數15次，LS算法迭代次數50次，主元消元算法迭代次數20次，蒙特卡羅次數1 000次，仿真結果如圖9所示。由圖可知，本文算法收斂速度以及識別正確率遠高于其他3種算法，在信噪比為-4～3 dB內，識別性能明顯優于其他算法。

3.6.2 算法復雜度對比

算法復雜度可以對比不同算法所需計算時間，如表3所示，參數n、m、L、α分別代表碼長、編碼存儲級數、接收序列長度、迭代次數。N為Hadamard矩陣的行數。由表3可見，本文所提算法相較于其他算法，在加法復雜度與乘法復雜度方面都更具優勢，算法執行所需時間較少，能夠在較低的復雜度下保持較好的參數識別能力。

4 結 論

本文針對現有算法抗誤碼能力較差、識別能力較差的問題，提出PRP共軛梯度算法，該算法構建指數代價函數的參數識別模型，最后通過PRP共軛梯度法實現代價函數極值的求解，采用PRP步長因子能夠有效防止小步長頻繁出現，使得求解代價函數極值過程更快。仿真結果表明，本文所提算法所需迭代次數更少，能夠有效地降低計算復雜度，同理利用解調軟判決信息，使得算法也具有較好的抗噪性能。構造的代價函數也更容易搜索代價函數極值。與現有算法相比，本文所提算法收斂速度更快，抗誤碼性能較強，在低信噪比下能保持較高的識別正確率，在迭代次數8次左右便能收斂到最優解。

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作者簡介

陳增茂（1981—），男，副教授，博士，主要研究方向為認知無線電、干擾建模、通信對抗。

李東豪（1999—），男，碩士研究生，主要研究方向為糾錯編碼參數識別。

孫溶辰（1988—），男，副教授，博士，主要研究方向為信道測量與建模。

孫志國（1977—），男，教授，博士，主要研究方向為認知通信電子戰。