對推理意識的一些思考

［摘 要］隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》的推出，推理有了更為具象和具體的概念界定和表現要求。文章從數學分析維度闡述推理意識的本質，從認知分析維度確定師生的認知障礙，從教學分析維度提出培養推理意識的三大策略。

［關鍵詞］推理意識；分層進階；小學數學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）32-0020-03

推理是數學的核心思想之一，也是數學思維的基本表現形式?！读x務教育數學課程標準（2022年版）》明確了“推理”的層次劃分，為推理提供了更清晰、精準的定義。在此基礎上，“推理意識”成為小學階段數學課程標準的關鍵概念。針對課程標準的具體要求，本文將從數學分析、認知分析和教學分析三個維度，探討如何在小學階段培養學生的推理意識。

一、數學分析

推理的基本形式包括演繹推理、歸納推理和類比推理，三者均遵循同一律、矛盾律、排中律的基本原則。下面將從概念、結構和屬性三個維度對推理意識進行闡述。

（一）概念維度：推理意識的基本釋義

《義務教育數學課程標準（2022年版）》與《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對推理的描述，展現了學習思維發展從小學推理意識到初中推理能力，再到高中邏輯推理的連貫性與階段性。推理意識是對邏輯推理及其意義的初步感悟，是基于對特定事物或經歷的感性認識，其作用是幫助學生理解推理在數學中的重要性，形成有條理的思維習慣。推理能力則指依據事實和命題，遵循一定規則推導出其他命題或結論的能力，有助于形成重視論據、邏輯嚴謹的思維習慣，以及實事求是的科學態度和理性精神。邏輯推理是從事實和命題出發，依據規則推導出其他命題。推理意識是推理能力的基礎，推理能力又是邏輯推理能力的基礎，三者呈現出逐步提升的態勢。

（二）結構維度：推理意識的表現內容

推理意識主要體現在四個方面：一是根據現有情境或背景進行合理猜測或推理；二是通過科學歸納或類比進行合理猜測或推理；三是運用“一般”解決“特殊”，以驗證結論的可行性；四是依據問題解決過程進行合理的說理辨析或解釋。在不同知識領域，推理意識可分為計算推理意識、幾何推理意識和統計推理意識。小學階段推理意識的培養以局部推理為主，對嚴謹性和符號化要求較低，涉及推理的三種基本形式主要是在具體情境中借助直觀操作和日常經驗。

（三）屬性維度：推理意識的功能特點

綜合心理學、學科教育等領域的研究成果，得到推理意識在問題解決過程中具有五個屬性特點：理解性、條理性、靈活性、合理性和創造性。

1.理解性：能正確理解事物、經驗及其相關聯系，利用具體情境進行說明，并能理解他人的表達。

2.條理性：能運用數學化語言進行解釋，如使用反證、反例等論證方法，表達具有邏輯性。

3.靈活性：能運用符號、圖形、圖表等多種表征方式解釋說明，具備方法關聯和遷移能力。

4.合理性：能進行質疑和反思，通過分析判斷，形成理性思考能力。

5.創造性：具備觀察、概括能力，能發現事物間的共通之處，具有思維直覺性，對結果有直感和頓悟。

二、認知分析

學生是學習的主體，教師則扮演著引導者的角色。準確把握雙方的認知情況，將大大提高推理意識培養的效率。王瑾、陸航、趙倩倩等專家通過問卷調查，對教師和學生在歸納推理和演繹推理方面的實際應用效果進行了研究。筆者基于這些調查結果，梳理出教師在發展學生推理意識的過程中，以及學生在發展推理意識的過程中的認知障礙。

（一）教師的認知障礙

有的教師對歸納推理的重要性認識不足，對演繹推理認知片面，認為演繹推理更多是初中階段的事，小學階段與演繹推理無關，教學往往以枚舉歸納推理為主，常常只揭示了是什么，不解釋為什么，造成學生“知其然，卻不知其所以然”。

（二）學生的認知障礙

小學高年級學生在推理時盡管能夠得出正確結論，卻難以清晰表述和說明推理過程，其表達多依賴于片段化、不連貫、高度依賴情境的內部語言。學生在推理的靈活性方面也有所欠缺，很少能主動采用多樣化的數學表征進行關聯和遷移。在創造性和合理性方面，學生在問題解決過程中觀察、比較、分析并發現共性的能力較弱，整體上未能形成完整的歸納或演繹推理模式，缺乏質疑和自我反思的能力。

三、教學分析

基于數學和認知兩個方面的分析，筆者將從底色、中流、高位三個方面闡述對培養學生推理意識的思考。

（一）構建底色：著重交流表達中的理解和條理把握

理解性和條理性是推理意識的基本屬性。理解性是將學生隱性的個體內部語言轉化為外顯的書面語言或口頭語言的過程，條理性是指學生的表達是清晰的、層次分明的，具備邏輯順序的。筆者為學生提供了表達推理的模式（如圖1），以幫助學生更有條理、層次地表達，使語言更加清晰簡潔，便于他人理解。

【教學案例】“三位數乘兩位數”練習課

對于題目“□□□×□□=（ ）。A.998 B.6660 C.99901 D.100000”，筆者以“可能等于多少？你會選哪個選項，不選哪個選項？說明你的理由”為課堂關鍵問題，引導學生展開推理表達：“我不選A。因為最小的三位數乘最小的兩位數（即100×10=1000）都比998大，A肯定不對?！薄拔也贿xD。因為999×99，全部估大了再計算，1000×100=100000，可見D不可能是正確答案?！薄瓕W生在表達過程中充分運用數學計算知識，尋找支持自己觀點的例證，無論是正例還是反例，都說明了選擇和不選擇的理由。

（二）鍛淬中流：側重科學歸納下的靈活和合理培育

靈活性與合理性是衡量學生思維廣度和深度的具體標準。靈活性指的是學生能夠運用多元表征方式實現知識的關聯與整合。在日常推理中，學生常采用枚舉法進行不完全歸納，這是一種有效的方法，在推理過程中適當引入科學歸納法，在不完全歸納的基礎上，引導學生體驗完全歸納的過程，通過分析、質疑、反思和應用，能讓學生的思維更加多樣化，更加嚴謹（如圖2）。

【教學案例1】稍復雜的組合問題

對于問題“每兩個小朋友握一次手，4個小朋友一共要握（ ）次手。（寫一寫、畫一畫、算一算，說明你的想法）”，讓學生選擇自己喜歡的方式記錄思考過程。學生通過對比和關聯，自然地將方法2與方法4、方法3與方法5聯系起來（如圖3）。進一步觀察對比后，學生發現這四種方法均與方法1相關，從而通過直觀的圖像表征和抽象的算式表征，深入理解組合問題的本質。

方法1： 方法2：

方法3：

方法4：3+2+1=6（種）

方法5：3×4÷2=6（種）

【教學案例2】“2、5的倍數的特征”

倍數是初等數論的基礎，傳統的學習更多借由百數表來發現2、5的倍數的特征，然后進行概括記憶。通過大量課前調研，筆者發現學生對2、5的倍數的特征有清晰的認識，但對于背后的原理，學生往往缺乏理解。于是筆者嘗試運用多元表征（如圈一圈、枚舉特例、舉反例）的方式，基于科學歸納，讓學生感悟整除的性質，并理解5的倍數的特征背后的原理。筆者還鼓勵學生通過舉一反三，遷移探索5的倍數的經驗，分析、質疑、反思并對2的倍數的特征進行猜想，驗證并說明理由。除了關注科學歸納，筆者還重視完全歸納，讓學生在無法舉出其他例子時，感受同余問題背后的合理性。

（三）追求高位：注重順逆互通里的創造及演繹體驗

推理的至高境界便是學生能夠進行創造性的思考，具體表現為學生有一定的思維直覺，具備一定的思維頓悟能力。在充足的時間和空間條件下，學生能在正向與反向的情境中簡潔而創新地展現問題解決的多樣性，彰顯思維的敏捷性。在驗證數學猜想時，學生可以運用演繹推理，或證實猜想的正確性，或通過反例來否定、修正猜想（如圖4）。只有經歷大量的演繹實踐，學生才能為推理和邏輯能力提升打下堅實的基礎。

【教學案例1】鴿巢問題

對于問題“把（ ）支筆放入100個筆筒里，總有一個筆筒里至少有2支筆。把（ ）支筆放入（ ）個筆筒里，總有一個筆筒里至少有2支筆”，學生習慣于順向思考，即給定筆和筆筒的數量，推斷至少有多少支筆在同一個筒中。而逆向問題情境可以啟發學生的思維。在課堂上，通過正向遷移解決鴿巢問題的經驗，學生能夠列舉出100和101支筆的情況，并逐步推廣到將200支筆放入100個筆筒的情況。通過分析201支筆的特殊情況，學生能夠理解筆與筆筒之間的關系，并推導出將（a+1）～2a支筆放入a個筆筒時，至少有一個筆筒有2支筆的規律。這種從正向到逆向的遷移，不僅豐富了學生的認知，也拓寬了他們的思考范圍。

【教學案例2】有趣的面積

對于問題“比較三個三角形BDF的面積大?。ㄈ鐖D5）”，學生發現不能簡單地使用常規方法計算三角形的面積?；谪S富的等積變形經驗，一些學生開始嘗試通過演繹推理來比較三個三角形的面積：三個三角形的底都是BD，且第三點F位于與BD平行的對角線CF上，三角形的高相等，因此面積也相等。通過等積變形的演繹推理，學生成功推理出三個三角形的面積相等。

學生推理意識的培養，不能“借位”更不能“越位”。未來的研究應關注教學內容的結構化，將散點式內容有機串聯，通過分層次的教學進階策略，滿足不同學生的個性需求，讓學生逐步提升推理意識，確保他們能在自己的學習路徑上有序前進。

（責編 金 鈴）