從認知到推理：“2、5倍數特征”的教學實踐與思考

［摘 要］2、5倍數特征與3的倍數特征存在顯著差異，導致學生難以將學習經驗直接遷移。在教學“2、5倍數特征”時，通過溯源定位、循證定標、構徑定向、聯通定法等方法，引導學生基于自然數的位值制理解倍數特征的內在規律，旨在幫助學生從簡單枚舉過渡到科學歸納推理，提升推理意識。

［關鍵詞］推理意識；倍數特征；科學歸納

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）32-0026-03

學生在探究2、5倍數特征時通?！绊橅樌?，但在探究3的倍數特征時卻常“磕磕絆絆”，甚至僅了解特征本身，而不知其背后的原理。對此，本文將闡述如何在教學“2、5倍數特征”時彌合兩課程間的知識斷層，引導學生從知其然走向知其所以然，從而實現核心素養的進一步提升。

一、溯源定位，明進階之本

（一）溯知識本位

倍數特征涉及整除性質的傳遞性和組合性，2、3、5的倍數特征與因數知識共同構成初等數論中整除內容的基礎，是小學階段學生深入理解整數性質的關鍵載體，也是培養學生推理能力的重要素材。

（二）溯核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出，要引導學生根據數的意義，用列舉、計算、歸納等方法探索2、3、5倍數的特征，形成推理意識。推理意識是對邏輯推理過程及其意義的初步理解。根據是否揭示對象與屬性間的因果聯系，不完全歸納推理可分為簡單枚舉歸納推理和科學歸納推理。

（三）溯教材編排

人教版教材在編排“2、5倍數特征”時，主要采用“舉例驗證”的方法，這屬于簡單枚舉歸納推理。在學生學習3的倍數特征后，教材通過練習引導學生探究4和9的倍數特征，并在“你知道嗎”欄目中用科學歸納推理解釋了2、3、5倍數特征的本質。

基于對知識本源、核心素養和教材編排的研究，筆者認為可以將2和5的倍數特征的學習從簡單枚舉歸納推理推進到探索因果關系的科學歸納推理，從而使學生實現從現象認識到本質理解的學習進階。

二、循證定標，明進階之能

（一）循知識之證

2和5的乘法口訣、統計中的“正字法”、單數和雙數的生活經驗，均有助于學生加深對2和5倍數特征的理解。至此，學生已構建起完整的自然數體系，并具備了利用位值制進一步探究整數性質的知識基礎。

（二）循經驗之證

人教版教材在三年級“長方形和正方形的面積”中，通過問題“其他長方形的面積是否也可這樣計算”引導學生以舉例驗證的方式驗證結論。在四年級上冊“積的變化規律”和“商的變化規律”中，使用“你能舉例說明嗎”或“你能舉例驗證嗎”等引導語促使學生進行推理。四年級下冊“運算定律”單元則集中運用簡單枚舉歸納推理來發現和驗證規律，至此，學生已積累了豐富的簡單枚舉歸納推理經驗。

（三）循困惑之證

筆者運用SOLO分類層次理論對學生在探究倍數特征時的思維層次結構進行分層。按照找倍數、寫倍數、說特征、明本質四個步驟，針對2和5的倍數特征，借助百數表來分別設計前測表。參與測評的149名學生的思維水平見表1。

大多數學生能夠找出百數表中2和5的倍數，并寫出至少3個百數表外的倍數。相較于5的倍數特征，學生更傾向于將2的倍數特征與偶數、雙數概念等同，但僅停留在描述性定義層面，未觸及本質。從表中可知，大多數學生對2、5倍數特征已有初步感悟，并能簡單說明背后的道理。本節課是一個良好契機，有助于學生從簡單枚舉歸納向科學歸納過渡。

三、構徑定向，行進階之勢

（一）尋5的倍數初構說理之徑

1.明特征

師：這三張蓋著的牌對應了一個三位數，翻哪張牌能快速判斷這個三位數是不是5的倍數？

生1：只要翻代表個位的牌。因為個位上是0或5時，這個數就是5的倍數。

【設計意圖：通過翻牌游戲引導學生從數位角度理解5的倍數的特征。】

2.探本質

（1）聚焦特定三位數說理

師：115是5的倍數嗎？為什么只用看個位呢？請圈一圈、算一算、寫一寫，說說你的想法。（有困難可以借助小錦囊）

生2：如圖1，1條格子是10個，5個5個地圈，都沒有剩余，只要看剩下的格子數是不是5的倍數，即看個位。

生3：10÷5=2，100÷5=20，說明十位和百位上的數都是5的倍數，只需要看個位是不是5的倍數。

生4：如圖2，一捆小棒是5的倍數，11捆小棒也是5的倍數，只需要看剩余的小棒數是不是5的倍數，就是看個位。

生5：1個十是5的倍數，11個十也是5的倍數，只需要看個位。

師：這些方法有什么相同點和不同點？

……

【設計意圖：聚焦特定的三位數，利用結構化的方格圖和小棒圖素材，促使學生能夠自然聯想到位值制，從而對數進行拆分，利用圖像、符號、語言三類表征和科學歸納推理的方法揭示了倍數特征背后的道理?！?/p>

（2）遷移一般三位數說理

師：對于任意三位數，怎么說明判斷它是不是5的倍數只需要看個位？

生5：我可以繼續用舉例子的方法說明。665中的6個百和6個十都是5的倍數，只需觀察個位。

生6：我認為不用再舉例子。十位上的數無論多少都是5的倍數，百位上的數無論多少都是5的倍數，因此只需觀察個位。

（3）應用任意自然數說理

師：如何判斷一個四位數是否為5的倍數？任意自然數呢？

生7：將任意自然數分為兩個部分，幾個十和幾個一，無論多少十都是5的倍數，只需觀察個位是否為5的倍數。

【設計意圖：學生完整經歷了從特殊到一般的研究歷程，揭示了特征背后的原理，初步運用了科學歸納推理方法。】

3.積經驗

師（出示圖3）：回顧研究過程，我們通過圈一圈、算一算，研究了從具體數字到所有三位數，再到所有自然數的5的倍數特征，還可以用這種方法繼續研究其他倍數特征。

【設計意圖：通過梳理方法，幫助學生積累探究倍數特征的經驗，為后續探究其他數的倍數特征打下基礎。】

（二）遷移2的倍數特征再構說理之徑

1.利用例子想特征

師：你還能想到哪個數的倍數特征只用看個位？（有需要可借助小錦囊）

生1：我以小錦囊中的115為例，通過逐個圈出2的倍數，發現百位和十位上的數均為2的倍數，因此判斷115是否為2的倍數，只需看個位。

生2：我認為10的倍數特征也僅需看個位，因為任何自然數都可以分解為幾個十和幾個一，若個位是0，則該數必定是10的倍數。

【設計意圖：本環節通過不同的學習素材，如115的方格圖直觀推理，以及直接觀察10的倍數特征進行類比推理，豐富學生的推理方法。】

2.反思結論助嚴密

師：是否只有2、5、10的倍數特征需要觀察個位？為什么？

生3：10的因數只有1、2、5、10，任何自然數都是1的倍數，因此1的倍數無須判斷。由此，只有2、5、10的倍數特征需要觀察個位。

【設計意圖：通過逆推法，讓學生根據5的倍數特征背后的原理推測其他數的倍數特征及其原理，從而積累更多探究倍數特征的經驗?！?/p>

3.根據特征再分類

師：2的倍數稱為偶數，不是2的倍數稱為奇數，因此自然數可分為偶數和奇數兩類。

【設計意圖：通過2的倍數特征對自然數進行分類，讓學生體會倍數特征在認識自然數中的重要性?！?/p>

（三）拓展4的倍數特征三構說理之徑

1.猜測4的倍數特征

師：若要判斷一個數是否為4的倍數，你認為需要觀察哪些數位？

生1：看個位。

生2：不能只看個位。例如，16、26、36這三個數的個位都是6，但只有16和36是4的倍數，26不是。因此，需要同時觀察個位和十位。

師：請說說理由。

2.說清4的倍數特征

生2：以5344為例，它可以分解為5個千、3個百和44個一。千位和百位上的數都是4的倍數，所以只需關注后兩位，即個位和十位。

生3：任何數都可以拆分為幾個百和幾個一，而幾個百總是4的倍數，因此只需判斷后兩位是否為4的倍數。

3.遷移至其他數的倍數特征

師（出示圖4）：觀察4的倍數特征背后的原理，你認為還有哪些數的倍數特征需要觀察后兩位？

生4：10的因數是1、2、5、10，這些數的倍數特征無須觀察十位。100的因數包括1、100、2、50、4、25、5、20、10，去掉1、2、5、10后，剩下的4、20、25、50的倍數的特征需要觀察后兩位。

師：回顧今天的課程，我們是如何學習的？你還想探究哪個數的倍數特征，以及如何研究它背后的原理？

【設計意圖：從猜測特征到解釋原理，學生再次體驗了倍數特征及其原理的探究過程，豐富了學生科學歸納推理的經驗。】

至此，有了基于位值制的科學歸納推理2、5倍數特征的數學活動經驗，學生在探究3的倍數特征時，就獲得了更扎實的知識、技能、方法和素養支持。

（責編 金 鈴）