聚焦分物差異 打通模型內核

［摘 要］學生在日常分物時有按份數分和按每份個數分兩種活動經驗，這兩種方法的本質相同，均是將一個整體平均分成若干相同部分。教學“分蘋果”時沿用“分物游戲”的練習情境，讓學生經歷兩種不同分法的學習過程，幫助學生理解平均分的數學本質，構建解題模型。

［關鍵詞］平均分；解決問題；模型

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2024）32-0064-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，數學課程要培養學生的核心素養，其中之一就是模型意識。模型意識的概念、內容和作用見表1。

數學通過研究現實世界的數量關系與空間形式，提煉出具有普遍意義的模式，進而形成各類數學模型。常見的數量關系模型之一就是“乘法模型”，如“總價=單價×數量”“路程=速度×時間”，其變式可用除法表示。這些模型均可視為總數、份數、每份數三者關系的表達。這三者關系的除法變式出現在北師大版教材二年級上冊“分一分與除法”單元，該單元的學習目標是理解平均分的意義，掌握平均分的兩種情況。筆者將從本單元第二課時“分蘋果”入手，探討如何通過教學實踐幫助學生構建兩種問題解決模型，并深入理解平均分的意義。

一、課前思考

（一）教材分析

小學階段的除法學習是逐步深入的，從整數除法到小數除法，再到分數除法，教材圍繞兩條主線展開：一是通過等分除來解釋算式的含義，二是通過包含除來解釋算式的含義。對平均分的理解，是學生掌握除法意義的入門課程。

教材在“分一分與除法”單元編排了三次分物活動（見表2），以“分一分”為活動主線，引導學生通過實踐理解除法。學生通過實際操作，解決生活中的平均分問題，積累經驗，從而理解平均分的概念。

“分物游戲”和“分糖果”主要引導學生通過分的過程理解平均分，“分蘋果”一課是構建平均分意義的核心。平均分的兩種意義對應著兩種問題解決模型，模型的建立過程包括“感知—抽象—建構—鞏固”四個階段。北師大版教材編排的內容是利用12個蘋果開展兩次分物活動，并通過問題“說一說，兩次分蘋果有什么相同的地方？”引導學生發現差異，讓學生理解“按份數分”和“按每份個數分”兩種平均分的意義，同時感受兩種平均分方法的不同之處，理解每份個數、份數和總數之間的關系，這一過程主要停留在感知階段。

在教學中，就是要利用結構化材料，讓學生整體感知平均分的兩種情況，架構起聯系的橋梁，形成對平均分意義的一致性認知。

（二）學生認知水平分析

為了把握教學起點、厘清教學順序，筆者對本校二年級學生進行了前測。前測單如圖1所示。

對于第1題，95.6%的學生能夠用畫圖的方法得出兩種分法的結果，并清楚地解釋自己的畫法。對于第2題，86.7%的學生發現填的數字相同，43.8%的學生發現盡管分法不同，但任意一種分法中每份的數量相同，11.2%的學生注意到兩種分法的表達順序不同，右邊的分法將“每包幾顆”放在了前面。

可見，在學習“分蘋果”之前，學生已經有了一定的分物經驗，知道平均分的含義，能夠有序地對具體物體進行平均分，并用語言、圖形表達分物過程。對于平均分的兩種情況，學生在生活中有所接觸，但未系統比較其差異和聯系。因此，本節課的重點是建立平均分兩種意義之間的聯系，實現概念上的互通。

二、教學實踐

通過對教材內容的深入分析，結合學生的認知水平，筆者選擇從前一節課的練習入手，著重探討不同分法之間的聯系，尋找共通之處，以幫助學生深入理解平均分的概念，從而構建模型。

（一）依托單元結構，初步感知差異

【教學片段1】

師：在之前的學習中我們已經探討了平均分的概念，今天我們將嘗試分配18個橘子。

出示問題：請在任務單中寫一寫、畫一畫。每袋裝3個，可以裝（ ）袋；每袋裝9個，可以裝（ ）袋。

生1：題目要求每袋裝3個，所以我可以用圓圈出3個橘子，表示1袋，然后繼續圈，直到不能再圈為止。

生2：每袋裝9個，就意味著1袋里有9個橘子。我先拿出9個裝成1袋，剩下的9個再裝成1袋，正好裝2袋。

【設計意圖】學生在前一節課中已通過將小數目物品平均分的練習，對“已知總數和份數，求每份的個數”這一數學模型有了深入的理解和操作經驗。本環節旨在從學生的現有認知水平出發，激活他們的先前學習經歷，進而引入新的教學內容。在新的分配物品練習中，學生將更容易比較兩種不同的分法，從而初步感知它們之間的差異。

（二）對比分物過程，抽象除法模型

【教學片段2】

師（出示圖2）：對比以下分法，它們有什么相似之處？

生1：每種分法中，每份的數量都是相同的。

師：為什么每份的數量都相同？

生2：因為都是平均分。

師：在左邊的分法中，“平均分”這個詞告訴我們每份數量相同，那么右邊的分法中哪個字告訴我們每份數量相同？

生3：“每”這個字。

師：兩種分法還有什么相同的地方？

生4：兩邊數字都是一樣的，都是3和6，9和2。

師：數字一樣，那表示的意思一樣嗎？左邊的“3”表示什么意思，“9”表示什么意思？右邊的“3”和“9”又表示什么意思？

生5：左邊的“3”表示“有3袋”，“9”表示“有9袋”；右邊的“3”表示“1個袋子里有3個”，“9”表示“1個袋子里有9個”。

師：兩邊的“6”和“2”又分別表示什么意思？

（學生回答略）

師：雖然這兩組數字相同，但含義完全不同。不過，在分的過程中有一點是不變的，那就是分完后每份數量相同。左邊的分法告訴我們“平均分成幾份，每份幾個”，而右邊的分法告訴我們“每份幾個，求可以分成幾份”。

【設計意圖】首先通過對比直觀的圖示和數據，引導學生探討平均分的兩種情況。學生觀察到盡管分配方法各異，但對每種方法來說每份的數量相同，均符合平均分的定義。進一步提出問題“相同的數字是否代表相同的意義？”，讓學生明確每個數字背后的實際含義：雖然兩種情況都屬于平均分，但它們的問題結構不同，一種是“已知總數和份數，求每份數”，另一種是“已知總數和每份數，求份數”。

（三）強化模型結構特征，打通知識內核

【教學片段3】

師（出示圖3）：下面的幾個問題，你會解決嗎？試一試。

師：它們分別與前面的哪種分法相似？你們是如何判斷的？

生1：①與圖2左邊的分法相似，都是“平均分成幾份，求每份數”，都有“平均分”這幾個字。

生2：②③與圖2右邊的分法相似，是“每份幾個，求份數”，都有“每”這個字。

師（出示圖4）：比較圖中兩種不同的分法，有什么發現？

生3：這兩個問題把信息和問題顛倒了。前面是“平均分給3人”，求“每人分得幾個”，后面是“每人分4個”，求“可以分給幾人”。

師：原來同一張圖可以提出兩個不同的問題。

【設計意圖】學生在前期學習中已深入理解“等分除”與“包含除”兩種分法的差異，然而這兩種方法的本質均指向“平均分”。因此，在學習過程中，學生不僅應認識到它們之間的區別，還應理解它們內在的統一性。通過比較題組，學生能夠發現“盡管分法不同，但圖形表示相同，同一圖形可引出兩種問題”，從而構建知識結構，從“平均分”的角度統一思考這兩類問題。

（四）鞏固內化提升練習，夯實模型應用

【教學片段4】

師（出示圖5）：看到這張圖，你們會提出什么問題？

生1：24個小朋友，平均排成2行，每行幾人？

生2：12個小朋友站成一排，可以站幾排？

師：要把信息和問題說完整。

生2：24個小朋友，12個小朋友站成一排，可以站幾排？

師：仍然是這24個小朋友，還可以怎么排隊？

……

【設計意圖】學生已深入理解平均分的兩種含義，并據此構建了相應的解決問題模型。通過整體視角，讓學生基于一張圖自主設計題目，就能檢驗學生是否能夠將平均分的概念與兩種問題解決模型緊密聯系起來。

三、課后反思

（一）建立新舊聯結，促進知識結構化

結構化教學強調知識間的內在聯系，引導學生體驗知識結構化的過程，鼓勵學生依托現有學習經驗，通過比較、觀察、遷移、轉化和抽象歸納等方法，實現新舊知識的融會貫通，促進知識結構化。

在教學中，為使學生深刻理解平均分的雙重含義，有些教師可能會過分突出“等分除”與“包含除”的區別。盡管這兩種分法表面上看是不同的，但本質上它們是一致的，都是將一個整體平均劃分為若干相同部分，均屬于平均分。因此，在教學中，應引導學生發現兩者之間的內在聯系，了解它們的差異，同時認識到它們的共同點，進而從理解平均分的意義出發，建立新舊知識的聯結，將其歸納為統一的定義，即“將整體劃分為若干相同部分即為平均分”。

（二）滲透模型思想，培養建模能力

學生在五年級學習完分數的意義及分數的四則運算后，會遇到這樣一類題目“軍軍 [2/5] 小時行 [5/4] 千米，他平均每小時行（ ）千米，行1千米需要（ ）小時”。許多學生在此類題目上出錯，原因通常有兩方面：一是對分數意義的理解不牢固；二是未能厘清數量關系，沒有構建相應的解題模型。在解決這一類問題時，應幫助學生從具體情境中抽象出總數、份數、每份數這三個數量，并理解這三個數量之間的關系，從而感悟模型思想，提升建模能力。

數學學習是一個不斷優化和構建的過程，教師應提供支架，幫助學生建立新舊知識之間的聯系。例如在本課的教學中，既要關注新知識“包含除”，也要與“等分除”建立聯系，幫助學生完善對平均分意義的理解，構建解題模型。如此一來，學生才能形成網狀聯結的知識體系。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 張育紅.在問題解決中滲透模型思想：以“總數、每份數、份數之間關系”問題為例[J].教育研究與評論（課堂觀察），2018（6）：71-73.

[2] 孫娜.把握本質深度關聯意義建構：《平均分》教學設計與思考[J].小學教學設計，2023（Z2）：93-96.

[3] 任存金.經歷過程明確含義掌握方法：“平均分的認識”教學設計與說明[J].小學數學教育，2023（18）：62-63.

[4] 李君，汪秋霞，沈小青.基于均分過程構建除法模型：人教版教材二年級下冊“等分除”教學實踐研究[J].教學月刊小學版（數學），2023（4）：20-22.

（責編 楊偲培）