2024湖北高考第10題的多解、拓展與教學啟示

摘 要：以2024年湖北高考物理第10題為例，通過對試題的分析，從動量與能量觀念、圖像法、柯尼希定理、質心運動定理等多種解法出發，評析解法，研究高考，并對試題進行溯源式拓展，探討其中的物理教育價值，嘗試建立處理此類模型的方法體系，以期提升學生基于高觀點理念下的中學物理問題的解決能力。

關鍵詞：滑塊-木板模型；一題多解；溯源拓展；高觀點

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0041-5

2024年湖北省高考物理第10題是力學綜合題。試題以滑塊-木板模型為情境載體，通過對模型中典型的極值問題進行命題。題目著重考查學生的運動與相互作用觀念、守恒觀念，考查其推理演繹等科學思維，運用數學知識處理物理問題的關鍵能力。試題綜合度高，難度較大。從不同思考角度分析試題有多種解法，有很好的區分度。本文從不同視角出發進行分析，如運用動量與能量觀念，運用圖像法定量分析，同時考慮柯尼希定理、質心運動定理等多種思維角度處理此題，尤其是基于高觀點理念下的中學物理問題解決方法，能有效提升學生的多種學科素養，同時對試題進行溯源式拓展，嘗試建立處理此類模型的方法體系。

1 原題呈現

（2024年湖北省高考物理第10題） 如圖1所示，在光滑水平面上靜止放置一質量為M、長為L的木塊，質量為m的子彈水平射入木塊。設子彈在木塊內運動過程中受到的阻力不變，其大小f與射入初速度大小v0成正比，即f=kv0（k為已知常數）。改變子彈的初速度大小v0，若木塊獲得的速度最大，則（ ）

A.子彈的初速度大小為

B.子彈在木塊中運動的時間為

C.木塊和子彈損失的總動能為

D.木塊在加速過程中運動的距離為

2 試題多解探討

2.1 解法1：基本方法——基于動量和能量的觀念

解法展示：子彈和木塊相互作用過程中系統動量守恒。設子彈穿出木塊后，子彈和木塊的速度分別為v1、v2，則有mv0=mv1+Mv2。根據能量守恒定律，則有-fL=。

根據題目條件f=kv0，聯立上式可得v2=，繪制圖像如圖2所示，根據圖像可知v2隨v0單調遞減。在定義域內，當v0=2（+L=2，木塊的速度最大，所以A選項正確。則子彈穿過木塊時木塊的速度為v2=。

由運動學公式v2=a2t，可得t=，故B選項錯誤。由能量守恒可得子彈和木塊損失的能量轉化為系統摩擦生熱，即ΔE=Q=fL=，故C選項錯誤。木塊加速過程運動的距離為x2=t=，故D選項正確。故本題正確選項為A、D。

解法評析：本解法采用動量守恒定律與能量守恒定律，定量解出木塊速度的表達式。然后，通過函數圖像分析方法求出木塊速度最大值對應的子彈初速度的初始條件，得出A選項。進一步推理演繹，判斷另外三個選項。本解法屬于解決滑塊-木板模型的常規解法，運用運動與相互作用觀念、守恒觀念，通過科學推理、數學函數分析得出正確答案。但是，此方法運算量很大，花費時間長，不是考場上的最優解法。

2.2 解法2：物理臨界法

解法展示：對子彈和木塊系統，在相互作用過程中動量守恒，假設子彈未穿出木塊，則有mv0=（M+m）v，木塊的速度為：v=。設子彈相對木塊移動的距離為d，根據能量守恒定律，子彈在木塊中運動過程中產生的內能Q==fd。根據題目條件f=kv0，綜合推理可得=kv0d，數學化簡得出v0=kd。據此容易推出，d越大，v0越大，當d=L時，v0=達到最大，此時木塊速度v=最大，故A選項正確。以此為切入點，推理得出本題正確選項為A、D。

解法評析：此解法運用動量守恒定律建立方程，分析得出當二者共速時木塊速度最大。再根據能量守恒定律建立子彈在木塊中移動的距離d和子彈初速度的關聯。代入題給信息（f=kv0），經數學處理得出，當d=L時，若子彈剛要穿出木塊，恰好達到共速，從而確定A選項正確。此種方法運用物理臨界條件處理問題尋找極值，簡化了數學運算過程，提高了做題速度。此種方法是在假設子彈沒有射出木塊的前提下推導的，事實上通過計算也可以得出當子彈穿過木塊時該結論仍然成立。

2.3 解法3：圖像法

解法展示：分情境討論。

情境1：若子彈沒有穿出木塊，設子彈在木塊中運動的距離為d，子彈和木塊的v-t圖像如圖3所示，由圖像可知d=。子彈和木塊組成的系統動量守恒，得mv0=（M+m）v。以木塊為研究對象，根據牛頓運動定律f=kv0=Ma。木塊做勻變速直線運動，經時間t0二者達到共速，v=at0。綜合上述各式得d=，v=。分析可知，當d越大，v0越大，v越大。所以，當d=L時，木塊速度最大，此時v0=，故A選項正確，問題得以突破。

情境2：若子彈可以從木塊中射出，子彈和木塊的v-t圖像如圖4所示，根據v-t圖像可得L=t0。以木塊為研究對象，根據牛頓運動定律f=kv0=Ma2，木塊做勻變速直線運動，經時間t0，木塊的速度為v2=a2t0。以子彈為研究對象，根據牛頓運動定律f=kv0=ma1，子彈做勻變速直線運動，經時間t0子彈的速度為v1=v0-a1t0，綜合以上各式，可得（M+m）v-2mvv+=0。則v=，分析可得，當v=2（+）L=2時，木塊的速度最大，故A選項正確，問題得以突破。

解法評析：圖像法是解決滑塊-木板模型的常用方法。圖像法相比代數推導更直觀，同時圖像能夠展示滑塊-木板模型中多物體的相對運動過程，更容易找到物體間位移與速度的關系，判斷臨界條件，比解法2更科學，而且有化繁為簡、直觀可視的效果。

2.4 解法4：柯尼希定理

解題依據的論證建模：質點系的動能等于質心的動能加上質點系相對質心坐標系的動能，稱為柯尼希定理［１］。對子彈和木塊系統，外力矢量和為零，質心平動動能不變。在內力做功下質點系動能增量由柯尼希定理分析易得，即等于相對動能的增量。

解法展示：對子彈和木塊系統在相互作用過程中動量守恒，設子彈和木塊的速度分別為v1、v2，則有mv0=mv1+Mv2。根據柯尼希定理，系統動能變化量ΔEkr=（v-v）2-v=

-kv0d，然后分情境討論。

情境1：子彈未穿出木塊，即d≤L，則v1=v2，可得v=，v=kvd。

分析可知：當d=L時，木塊速度最大，此時v0=。

情境2：若子彈穿出木塊ΔEkr=（v-v）2-v=（-v2）2-

v=-kv0L

化簡后得v=

得出的結論與方法1一致。故A選項正確，問題突破。

解法評析：柯尼希定理是理論力學中的一個重要定理，通常用于解決多物體的相對運動問題，尤其是兩體問題。利用柯尼希定理，能夠很快地找到木塊速度的表達式，再利用函數分析求出對應的極值，屬于基于高觀點處理中學物理問題的方法。物理學意義上的高觀點指的是一切物理觀念、科學思維、現代教育學理論、認知心理學知識和物理教育學的基本理論。“高觀點”下的物理問題，是指與大學物理甚至理論物理相聯系的高中物理問題或者說含有大學物理背景或思想的中學物理問題［２］。這種處理方式，可以開拓學生視野，提升學習的上位意識，讓學生站在更好的角度去看待中學物理問題。

2.5 解法5： 質心運動定理

解題依據的論證建模：如果一個質點組的質心原來是運動的，那么在無外力作用的條件下，它的質心將以原來的速度做勻速直線運動［３］，此為質心運動定理的推論。

解法展示：質心速度為vc=，系統外力為0，根據質心運動定理的推論，整個過程中質心速度vc不變，則子彈的速度v1越小，木塊速度v2就越大。由于子彈和木塊的相互作用，子彈做減速運動，木塊做加速運動，當二者速度相等時，木塊的速度最大，即木塊的最大速度v2=。再根據能量守恒定律，有Q=v=fd。所以當d=L時，木塊速度最大，此時v0=，故A選項正確，問題得以突破。

解法評析：利用質心運動定理，能夠迅速找到木塊速度的最大值對應的臨界條件，可以在一個較短時間內解出答案，體現出基于高觀點處理中學物理問題的方法的強大優勢。

3?; 試題溯源式拓展

３．１ 拓展試題［3］呈現

質量為m1的小墊圈放在質量為m2的長板左端，板上涂有潤滑油（圖5）。墊圈與板之間的摩擦是黏性的（作用在墊圈上的摩擦力f=-αv，式中v為墊圈相對板的速度）。系統位于光滑的水平面上，使墊圈以初速度v0向右運動。經過足夠長的時間，墊圈和板將達到多大的速度？求墊圈離開板左端的距離Ｌ。

３．２ 試題解析［3］

設墊圈和板的速度分別為v1和v2，那么u=v1-v2表示它們的相對速度，求。根據牛頓第二定律，m1=-α（v1-v2），m2=+α（v1-v2）。由此得到=-α（+）u=-，式中=，=（+）。恒量τ具有時間量綱，μ具有質量量綱。由此可見，相對速度u的變化規律，如同質量為μ的質點在阻力為αu的黏性介質中運動速度的變化規律。該質點的速度隨著時間減慢，穩定速度值u將等于０，即墊圈和板的速度變為相同。根據動量守恒定律：m1v0=（m1+m2）v。可得v=。用ｒ表示連接墊圈和板左端的矢量，因為u=，故Δr=uΔt=-τΔu。當速度u從v0變化到０時（Δu=-v0），墊圈與板左端的距離變化Δr=v0τ。由此可見，在穩定條件下，墊圈和板將以速度v=運動，墊圈遠離板左端的距離為L=v0τ=v0=·，試題得解。

３．3 拓展評析

本題運動情境和湖北高考物理第１０題高度相似，尤其是墊圈與板之間摩擦的特性以及問題的設計（都聚焦于臨界極值），故為同源試題，此為溯源。本題墊圈與板之間摩擦的特性中指出u是相對速度，較之更真實科學。解答上使用到了微分方程，是基于高觀點的理念，是為拓展。本題也可以通過高考試題解法求解。

４ 教學啟示

滑塊-木板模型是中學物理中的常見模型，是很好的教學問題情境。其從必修一的摩擦力教學中開始出現，經歷牛頓第二定律、機械能守恒定律單元的功能原理，再到動量守恒定律單元，甚至再到電場、磁場中復合疊加場問題。滑塊-木板模型問題是高考中的常客，很多時候以選擇題、計算題的壓軸身份出現。這啟示我們重視這一模型，以歷屆高考真題、教材、生產生活中的原型為情境，建立滑塊－木板模型問題情境體系，培養學生的建模能力、多題歸一的概括能力和總結習慣以及建立體系（知識結構體系、模型情境體系）的高階思維能力。

知識結構體系、模型情境體系中必然有思維方法體系，我們可以嘗試建立方法體系。首先，涉及到的規律主要有：動力學規律——兩物體的加速度大小與質量成反比，方向相反，運動學規律——是兩個做勻變速運動物體的追及問題或是一個相對運動問題，動量規律——系統的總動量守恒，能量規律——單體動能定理，系統功能原理還可用圖像描述。在大學專業物理中涉及到的主要規律有：質點系牛頓第二定律、質點系運動定理、質點系動能定理等，建構方法體系如圖6所示。

中學物理階段，滑動摩擦因數當定值處理。湖北高考物理第１０題和溯源拓展試題中滑動摩擦因數均為變量，由恒到變，由單質點、兩質點到多質點系是中學物理到大學物理的過渡。其實，我們將大學物理與高中物理銜接緊密的部分原理、定理，以中學生可接受的方式滲透給學生，拓展視野，培養高觀點理念，以高階思維方式和強化問題意識、進階意識，期望學生能獲得高位視角、核心思維和關鍵能力。這也未嘗不是一件很有意義的教學探索。

參考文獻：

［１］賈書惠．理論力學教程［Ｍ］．北京：清華大學出版社，２００４：１８０－１８１．

［２］楊海青，李承煜．２０２２年高考理綜甲卷物理２５題溯源與高觀點研究［Ｊ］．中學物理教學參考，２０２２，51（9）：５３－５７．

［３］劉海生，汪楠．全國高中物理競賽新培訓教程［Ｍ］．杭州：浙江大學出版社，２０１８：８２．

（欄目編輯 陳 潔）