對一道輕桿關聯物體試題的深度探討

摘 要：詳細探討了一道輕桿關聯物體試題情境和解析的自洽性，同時借助計算機數值模擬和仿真實驗等方式，對如何將繩桿關聯問題可視化進行了探索嘗試，以期為試題命制和教學備考提供參考。

關鍵詞：輕桿關聯；深度探討；可視化研究

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0068-4

１ 問題的提出

高中階段涉及繩桿關聯物體運動規律的問題，分析時常用到動力學、能量和動量等知識，綜合考查學生的必備知識和關鍵能力，因而是試題命制的熱點和教學的重難點。有關繩桿關聯物體的創新試題層出不窮，但這類問題復雜多樣且隱蔽抽象，導致試題容易出現情境或解析不自洽的情形，在教學備考中也經常陷入困惑或誤區。下面選取在教學中遇到的一道輕桿關聯物體試題，詳細探討情境和解析的自洽性，并嘗試將物體的運動規律進行可視化以方便直觀研究。

２ 輕桿關聯試題的深度探討

例１ 如圖１所示，Ａ、Ｂ兩小球質量均為ｍ。Ａ球穿過半徑為Ｒ的豎直光滑圓軌道，Ｂ球穿過光滑豎直長桿，桿和圓軌道均固定在同一豎直平面內，桿的延長線過軌道圓心Ｏ，兩球用輕質鉸鏈與長為ｌ（ｌ＞２Ｒ）的輕桿連接，連接兩球的輕桿能隨小球自由移動，其中Ｍ、Ｎ和Ｐ三點分別為圓軌道上最低點、圓心的等高點和最高點，重力加速度為ｇ。某時刻Ａ球在Ｍ點獲得水平向右的初速度，并能做完整的圓周運動，下列說法正確的是（ ）

Ａ．A球在Ｍ點的初速度大于5

Ｂ．當A球到達Ｐ點時，Ｂ球的加速度為０

Ｃ．A球運動到Ｐ點的過程中，Ａ球的速度一直減小

Ｄ．當A球經過桿與圓軌道相切的Ｑ點（圖中未畫出）時，Ｂ球的速度達到最大值

本題考查輕桿關聯問題，巧妙設計兩小球分別做圓周運動和直線運動，增強了情境的復雜性和考查的綜合性，類似本題情境的問題曾在筆者執教學校以及網絡上各大物理交流群引起熱烈討論。本題的參考答案為Ｂ、Ｄ選項，解析為：若Ａ球恰能過Ｐ點，則Ａ球在Ｐ點的速度須大于０，又此時Ｂ球的速度為０，根據機械能守恒定律有mv>2mg2R，聯立解得v0>2，Ａ選項錯誤；因為Ａ球在Ｐ點時Ｂ球的速度為０，此時Ｂ球受力平衡，故aB=0，Ｂ選9b1b1e7352054464c797d3ca470e7189項正確；在Ａ球從M運動到Ｐ的過程中，Ｂ球的速度先增后減，故Ａ球的速度也先增后減，Ｃ選項錯誤；A球運動到Ｑ點時，設輕桿與豎直方向的夾角為θ，有vA=vBcosθ，根據數學知識可知此時θ最大，即cosθ最小，vB最大，Ｄ選項正確。

我們不妨類比做豎直上拋的物體運動到最高點的情境，可知Ｂ選項認為Ｂ球的速度為０時其受力平衡并不嚴謹。有觀點認為，此時Ａ、Ｂ球加速度aA、aB沿桿分量應相等，因此aB=aA=，這種說法也不對，因為Ａ球也在繞Ｂ球做圓周運動，由加速度關聯有aA=-+aB，故應為aB=v（+）。而Ａ、Ｂ球的速度只是沿桿分量相等，不一定是正相關，Ｃ選項有待商榷。Ｄ選項中雖然cosθ最小，但由于vA也在變化，因此并不能確定是否vB在該處最小。

顯然，在討論本題時，需要關注Ａ、Ｂ球的速度和加速度隨Ａ球在圓軌道不同位置處的變化規律，可用Ａ球轉過的角度來描述位置，并做如下分析：設初始時Ａ球的速度為v0，ＡＯ連線轉過α角時，輕桿與豎直方向的夾角為θ，此時Ａ、Ｂ球的速度分別為vA和vB，整體位形如圖２所示。由幾何關系有

=（１）

在地面系中，Ｂ球的加速度aB=沿輕桿方向，Ａ球的加速度可分解為沿圓軌道切向aAt=和徑向a=，設輕桿對Ａ、Ｂ球的作用力大小為Ｔ，由動力學規律有

-mAaAt=mAgsinα+Tsin（α－θ）（２）

mBaB=-Tcosθ-mBg（３）

聯立（２）（３）式可得

-mAaAt=mAgsinα+mB（aB+g）（４）

根據運動關聯有

vBcosθ=vAsin（α-θ）（５）

由系統能量守恒得

mv=mv+mv+mgh+mgh（６）

其中，hA=R（1-cosα），hB=lcosθ+hA-l。聯立（５）（６）式可解得

vA=（７）

vB=（８）

接下來，分別將（１）（５）式兩邊對時間求導得

Rcosα=lcosθ（９）

acosθ-vsinθ=

asin（α-θ）+vcos（α-θ）（-）（１０）

其中，= （１１）

聯立（４）（９）（10）（１１）式，可解得

注意到（７）（８）（１２）（１３）式中的θ和α并不獨立，而是滿足（１）式的約束，若再將上述各式和（１）式聯立便可推出vA（α）、vB（α）、aAt（α）和aB（α）的表達式，由于表達式均較為冗長，故此處不列出，借助計算機軟件可視化可方便、直觀地研究各量隨α的變化規律。令l=2 m，R=0.5 m，g=9.8 m/s2，并依次令v0=４ ｍ/ｓ、６．２６１ ｍ/ｓ、８ m/ｓ和１２ ｍ/ｓ，借助Ｍａｔｌａｂ軟件分別繪制出vA、vB、aAt和aB隨α從０到2π變化的圖線如圖３所示，觀察圖３可得到以下規律和啟示。

（１）不論v0如何，初始時必有aAt=0，且若Ａ球能到達圓軌道最高點，則在該點必有aAt=0和vB=0。這是輕桿兩端受力必沿桿和此時vA沿桿分量為０的結果。但存在一個臨界初速度vc=2≈6.261 m/s，若v0≤vc，Ａ球到達最高點前將一直減速，且若v0=vc，Ａ球到達圓軌道最高點時的速度剛好為０，由aAn==0，可得在該點aB=aA=0；若v0<vc，Ａ球將不能到達圓軌道最高點，并在圓軌道上某處（如v0=4 m/s時對應α≈1.458 rad）折返，故Ａ、Ｂ球的速度圖線均在此處被截斷。

（２）若v0>vc，則Ａ球可通過圓軌道最高點，且并非一直減速，而是在圓軌道某處速度最小，該位置隨著v0增大而提前（如在v0=8 m/s和12 m/s下分別對應α≈2.222 rad和1.925 rad），此后Ａ球將加速并在最高點達到速度峰值，表明該階段輕桿對Ａ、Ｂ球的力指向桿中心，起到使Ｂ球減速和使Ａ球加速的作用。因此，若Ａ球能通過最高點，必有vA≠0，aB≠0，且aB隨著v0的增加而急劇增加，可見例1的Ｂ選項關于aB=0和Ｃ選項關于vA先增后減的表述錯誤，但在試題命制時可設置aB=0對應Ａ球恰能到達最高點的情形，在教學中也可引導學生分類討論，培養其嚴謹縝密的分析思維。

（３）由于Ｂ球一定先加速后減速，因此在Ａ球上升到最高點前，vB必有最大值，該位置隨v0的增大而延后。在v0=vc的情形下對應α0≈1.222 rad，而Ａ球經過桿與圓軌道相切處由幾何關系有tanθ=和α=θ+，即tanα=-=-4，顯然α≠α0，因此例１的Ｄ選項錯誤。雖然vB最大值的位置可由（１２）式令aB=0求得，但計算較為繁瑣，在試題命制時應避免類似討論。

３ 輕桿關聯問題仿真實驗可視化探討

通過對例１的探討可知，繩桿關聯問題由于是存在約束關系的多體多過程問題，如果缺乏嚴謹的理論分析則難以掌握其規律。但分析過程通常較為繁瑣，需借助數值模擬才能可視化。為方便直觀分析其規律，還可借助仿真實驗來實現，這里以仿真物理實驗室５．０軟件為例，對例１的情境進行可視化探究，其基本步驟如下。

（１）打開軟件，新建實驗區域并設置坐標比例，點擊上方工具欄的“設置”，選擇“考慮重力作用”，再在右側“器件欄”中依次選擇“圓軌道”和“直線軌道”，設置圓軌道的半徑Ｒ＝０．５ ｍ，初始坐標（２，２）；直線軌道的上下端坐標分別為（２，１０）和（２，１．７），在“器件欄”中依次新建“運動對象”（即小球Ａ和Ｂ）。分別放在“圓軌道”和“直線軌道”上，將“位置設定”選擇為“穿在軌道中間”；在“器件欄”中選擇“連接剛桿”連接小球Ａ和Ｂ；點擊“屬性”，分別設定小球Ａ和Ｂ的初始坐標為（２，０．５）和（２，２．５），且Ａ球的初速度為v0x=10 m/s，模擬例1的題設情境。

（２）在“屬性”的“動態顯示”中選擇“顯示速度矢量”和“顯示加速度矢量”，如圖４所示。畫面中的箭頭定性表示小球Ａ和Ｂ的速度和加速度，點擊“運行”，可發現當Ａ球運動到圓軌道的最高點時，小球Ａ和Ｂ均具有豎直向下且不等的加速度。

（３）為了更具體地觀察小球Ａ和Ｂ各物理量的變化，點擊“屬性”并選擇“實驗數據曲線”，可以選擇不同的運動參量進行繪圖。如果實驗進行太快，不方便觀察和采集數據，可以點擊“設置”，將“實驗最小掃描時間”修改得小一些即可。這里分別輸出Ａ球的v-t圖和Ｂ球的a-t圖，在合理設置坐標分度后得到圖５，可見vA-t圖與圖３中的vA-α圖相似，aB-t圖與圖３中的aB-α圖相似，實現了理論推導數值模擬和仿真實驗的相互驗證。

參考文獻

［１］彭芳麟．計算物理基礎［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００９：２１１－２１３．

［２］曾祥軍，黃致新．利用“減心法”處理加速度關聯問題［Ｊ］．物理教學，２０２４，４６（３）：６２－６５．

［３］蔣邦勇．可視化角度深度分析繩牽連物體的運動規律［Ｊ］．物理教學，２０２４，４６（５）：１５－１９．

（欄目編輯 蔣小平）