安培力做功的微觀和宏觀過(guò)程及能量轉(zhuǎn)化探究

摘 要：由磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)電梯的實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，從微觀上探究了兩個(gè)洛倫茲力做的功及總功為零的原因，揭示了能量轉(zhuǎn)化的微觀機(jī)制；在地面參考系中從宏觀分析一對(duì)安培力和一對(duì)非靜電力所做的功，找出了它們的大小關(guān)系及能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程，并對(duì)一些特殊情況進(jìn)行了剖析。

關(guān)鍵詞：安培力；洛倫茲力；微觀；宏觀；功；能量轉(zhuǎn)化

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2024）11-0066-3

１ 問(wèn)題的提出

本地某校高三的一次模考中出現(xiàn)了這樣一道物理試題：

一種無(wú)繩電梯依靠電磁驅(qū)動(dòng)原理運(yùn)行，如圖１所示，質(zhì)量為ｍ、寬度為ｌ的電梯轎廂一端處于方向垂直轎廂平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為Ｂ的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。某次向上啟動(dòng)電梯時(shí)，磁場(chǎng)以速度ｖ勻速向上移動(dòng)，轎廂一端始終處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)，整個(gè)轎廂的電阻為Ｒ，重力加速度為ｇ，阻力不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

Ａ．轎廂向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

Ｂ．轎廂向上運(yùn)動(dòng)的速度可能為v-

Ｃ．安培力對(duì)轎廂做的功大于轎廂機(jī)械能的增量

Ｄ．安培力對(duì)轎廂做的功可能小于回路中產(chǎn)生的熱量

考后，大家對(duì)Ａ、Ｂ選項(xiàng)都沒(méi)有異議，認(rèn)為Ａ選項(xiàng)錯(cuò)誤，Ｂ選項(xiàng)正確，但是對(duì)Ｃ、Ｄ選項(xiàng)形成了不同的觀點(diǎn)，在當(dāng)?shù)氐闹袑W(xué)物理教師之間以及師生之間，甚至波及到大學(xué)教師之間，進(jìn)行了一場(chǎng)激烈的討論。一種觀點(diǎn)認(rèn)為，從能量轉(zhuǎn)化守恒的角度，轎廂受到向上的安培力做的功就應(yīng)等于回路產(chǎn)生的電能和轎廂增加的機(jī)械能，然后產(chǎn)生的電能在回路中再全部生1Vs+y/DBomemdGjTp0B9kKa8m4eQdgp+Q/kpxvkc95U=成熱能，因此應(yīng)選Ｃ選項(xiàng)。但另一種觀點(diǎn)認(rèn)為，從對(duì)轎廂用功能原理知，安培力的功就是除重力、彈力之外的其他力的功，就應(yīng)等于轎廂機(jī)械能的增量，因此不能選Ｃ選項(xiàng)，由于表達(dá)式不能確定數(shù)量的大小關(guān)系，因此應(yīng)選Ｄ選項(xiàng)。

這是一種平常見(jiàn)得較少的磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的發(fā)電機(jī)模型。隨著討論的深入，可以發(fā)現(xiàn)大家對(duì)安培力的微觀、宏觀產(chǎn)生過(guò)程以及能量的轉(zhuǎn)化情況都或多或少存在過(guò)程不清或認(rèn)識(shí)不全面等問(wèn)題，下面進(jìn)行詳細(xì)探究。

２ 微觀上洛倫茲力及其做功的分析

由于導(dǎo)體切割磁感線是相對(duì)于磁場(chǎng)而言的，或者洛倫茲力是帶電粒子相對(duì)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的，因此，以速度v向上勻速運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)為參考系分析。如圖２所示，假設(shè)轎廂已被驅(qū)動(dòng)，某時(shí)刻向上的速度設(shè)為v1，二者間的相對(duì)速度為v-v1。對(duì)轎廂上端處于磁場(chǎng)中的導(dǎo)體來(lái)說(shuō)，為了分析方便，設(shè)其中的自由電荷為正電荷，電荷量為q，因?yàn)槠湎鄬?duì)于磁場(chǎng)向下以v-v1的速度運(yùn)動(dòng)，由左手定則知其受到向右的洛倫茲力f1=q（v-v1）B，其作為非靜電力推動(dòng)自由電荷在導(dǎo)體中做定向移動(dòng)形成感應(yīng)電流，產(chǎn)生電能。同時(shí)，自由電荷沿導(dǎo)體定向移動(dòng)（設(shè)此時(shí)相對(duì)于磁場(chǎng)向右的速度為v2）在磁場(chǎng)中又將受洛倫茲力f2=qv2B，由左手定則知其方向豎直向上。

以向上運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)為參考系，轎廂相對(duì)于磁場(chǎng)速度向下，大小為v-v1，該時(shí)刻兩個(gè)洛倫茲力的功率分別為

P1=f1v2=q（v-v1）Bv2

P2=-f2（v-v1）=-qv2B（v-v1）

故P1+P2=0。可見(jiàn)，洛倫茲力始終不做功，但兩個(gè)分力要做功。其中， f1做正功，是非靜電力做功，使回路中產(chǎn)生電能； f2做負(fù)功，阻礙轎廂相對(duì)于磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)，使轎廂相對(duì)磁場(chǎng)的機(jī)械能減小。由于總功為零，說(shuō)明是兩個(gè)洛倫茲力在微觀上實(shí)現(xiàn)兩種能量的等量轉(zhuǎn)化，這里是將轎廂相對(duì)磁場(chǎng)的機(jī)械能轉(zhuǎn)化成回路中的電能。

３ 宏觀上各力做功及能量轉(zhuǎn)化分析

從地面參考系來(lái)看，如圖３所示，該時(shí)刻，上面兩個(gè)洛倫茲力f1、f2在宏觀上可分別記為F=∑q（v-v）B，F(xiàn)=∑qvB（可以證明∑qvB=nSLqv2B=BIL，其中Ｓ、Ｌ為上端導(dǎo)體的橫截面積和長(zhǎng)度，ｎ為單位體積的自由電荷數(shù)），磁場(chǎng)的反作用力分別為F'=∑q（v-v）B（水平向左），F(xiàn)'=∑qvB（豎直向下）。在該時(shí)刻各力的功率分別為：

P=Fv2=∑q（v-v）Bv2，表示回路中單位時(shí)間產(chǎn)生的電能；

P=Fv1=∑qvBv，表示轎廂在單位時(shí)間內(nèi)增加的機(jī)械能。

P'=F'vcos90°=0

P'=-F'v=-∑qvBv，表示運(yùn)動(dòng)的磁場(chǎng)裝置單位時(shí)間消耗的機(jī)械能。

由上可見(jiàn)，P+P=|P'|，或|P+P'|=P。

從地面參考系看，能量是由F'做負(fù)功將外界機(jī)械能轉(zhuǎn)化為轎廂通過(guò)F做功增加的機(jī)械能和通過(guò)非靜電力做功而產(chǎn)生的回路電能。也可以說(shuō)是一對(duì)安培力的總功為負(fù)，阻礙磁場(chǎng)與轎廂之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其大小表示系統(tǒng)減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為回路中的電能，這與前面的兩個(gè)洛倫茲力做功的微觀機(jī)制相吻合。因此，前面題目中安培力對(duì)轎廂做的功只等于轎廂機(jī)械能的增量，其反作用力F'對(duì)磁場(chǎng)做的負(fù)功的大小才等于轎廂增加的機(jī)械能和回路增加的電能，所以Ｃ選項(xiàng)錯(cuò)誤，由于P=∑q（v-v）Bv2與P=∑qvBv1的大小無(wú)法比較，故Ｄ選項(xiàng)正確。

４ 對(duì)其他情況的分析

該題中，如果安培力小于轎廂的重力，轎廂不動(dòng)時(shí)，由于回路中自由電荷與磁場(chǎng)間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，仍將產(chǎn)生沿回路方向的洛倫茲力，并作為非靜電力在回路中產(chǎn)生電能。在圖３中，v1=0，F(xiàn)=F'=∑q（v-v）B=∑qvB，F(xiàn)=F'=∑qvB，在圖示時(shí)刻P=Fv2=∑qvBv，P=0，P'=0，P'=-F'v=

-∑qvBv。可見(jiàn)，通過(guò)F'做負(fù)功，將外界機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化為通過(guò)非靜電力做正功在回路中產(chǎn)生的電能，安培力即使對(duì)轎廂不做功，但這一對(duì)安培力的總功的大小仍等于回路中產(chǎn)生的電能。

平常我們見(jiàn)得最多的問(wèn)題是磁場(chǎng)不動(dòng)，即在上圖中v=0。如圖4所示，外界拉力使閉合回路的部分導(dǎo)體在磁場(chǎng)中相對(duì)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度仍為v1，則回路中的自由電荷受到的洛倫茲力方向向左，大小為f1=qv1B，此力作為非靜電力推動(dòng)自由電荷在回路中做定向移動(dòng)形成感應(yīng)電流。設(shè)某一時(shí)刻自由電荷定向移動(dòng)的速度（下轉(zhuǎn)第71頁(yè)）（上接第67頁(yè)）為v2，這一相對(duì)磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)又將產(chǎn)生一個(gè)方向豎直向下的洛倫茲力，其大小為f2=qv2B，這兩個(gè)力的宏觀力分別記為F=F'=∑qvB，F(xiàn)=F'=∑qvB，其中F'對(duì)磁場(chǎng)不做功，F(xiàn)'對(duì)磁場(chǎng)仍不做功，只有F和F兩個(gè)力做功，在該時(shí)刻這兩個(gè)力的功率分別為P=Fv2=∑qvBv2，P=-Fv1=-∑qvBv。可見(jiàn)，此時(shí)是通過(guò)F（而不是通過(guò)F'）做負(fù)功將運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為通過(guò)非靜電力做正功在回路中產(chǎn)生的電能。

５ 結(jié) 語(yǔ)

綜上所述，不管是磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)還是回路中部分導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)或者是二者都運(yùn)動(dòng)，在沒(méi)有外界供電的發(fā)電機(jī)模型中，只要磁場(chǎng)與導(dǎo)體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)體中的自由電荷一定會(huì)受到一個(gè)洛倫茲力來(lái)推動(dòng)其沿導(dǎo)體定向移動(dòng)形成感應(yīng)電流，由于導(dǎo)體中自由電荷相對(duì)磁場(chǎng)的定向移動(dòng)，又將受到另一個(gè)洛倫茲力去阻礙導(dǎo)體與磁場(chǎng)間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)洛倫茲力的總功一定為零，表示通過(guò)這兩個(gè)力做功實(shí)現(xiàn)能量的等量轉(zhuǎn)化。這兩個(gè)洛倫茲力都是磁場(chǎng)作用在自由電荷上的，其反作用力作用在磁場(chǎng)上，在宏觀上表現(xiàn)為磁場(chǎng)與導(dǎo)體間存在一對(duì)非靜電力和一對(duì)安培力，由于磁場(chǎng)與導(dǎo)體間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，使一對(duì)非靜電力的總功為正，其大小等于導(dǎo)體回路中產(chǎn)生的電能，一對(duì)安培力的總功為負(fù)，其大小等于因阻礙導(dǎo)體與磁場(chǎng)之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)而導(dǎo)致系統(tǒng)減少的機(jī)械能，從等量轉(zhuǎn)化的微觀機(jī)制可知，系統(tǒng)機(jī)械能的減少量一定等于回路產(chǎn)生的電能。

參考文獻(xiàn)：

［１］閆來(lái)貴．正確認(rèn)識(shí)動(dòng)生電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的功能關(guān)系成立的參考系［Ｊ］．物理教師，２０２１，42（５）：５８－６０．

［２］鮑永新，蘇明義．遷移研究方法 深化模型理解——以“霍爾效應(yīng)、發(fā)電機(jī)模型、電動(dòng)機(jī)模型”教學(xué)為例［Ｊ］．中學(xué)物理教學(xué)參考，２０２２，51（28）：２０－２２．

（欄目編輯 蔣小平）