為什么“透明介質(zhì)的折射率隨光的頻率增大而增大”

摘 要：２０２４年全國高考新課標卷物理第１７題以與２０２３年諾貝爾化學獎相關(guān)的不同尺寸量子點發(fā)光的顏色不同為情境，考查了學生對能量量子化、光的波粒二象性及光的折射和光的色散等知識的理解和推理論證能力。采用阻尼諧振子模型推導介質(zhì)折射率隨光的頻率變化的定量關(guān)系，揭示試題背后的物理思維和圖像，豐富試題本身的物理內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：高考物理試題；量子點發(fā)光；光的色散；阻尼諧振子

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）11-0060-3

２０２４年全國高考新課標卷物理第１７題依據(jù)中國高考評價體系，利用與２０２３年諾貝爾化學獎相關(guān)的不同尺寸量子點發(fā)光的顏色不同這一情境為載體，考查學生對能量量子化、光的波粒二象性及光的折射和光的色散等知識的理解和推理論證能力。試題情境新穎，設計巧妙，注重深化基礎，既讓基礎扎實的學生容易“得分”，又讓學有余力的學生有很大的拓展空間，真正體現(xiàn)了基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查要求，對中學物理教學有很好的引導作用。下面對該題進行深度剖析，試圖揭示其背后的物理內(nèi)涵。

１ 原題呈現(xiàn)與解析

原題 （２０２４年新課標卷物理第１７題）三位科學家由于在發(fā)現(xiàn)和合成量子點方面的突出貢獻，榮獲了２０２３年諾貝爾化學獎。不同尺寸的量子點會發(fā)出不同顏色的光。現(xiàn)有兩種量子點分別發(fā)出藍光和紅光，下列說法正確的是（ ）

Ａ．藍光光子的能量大于紅光光子的能量

Ｂ．藍光光子的動量小于紅光光子的動量

Ｃ．在玻璃中傳播時，藍光的速度大于紅光的速度

Ｄ．藍光在玻璃中傳播時的頻率小于它在空氣中傳播時的頻率

解析 試題解析如圖1所示。

試題以與２０２３年諾貝爾化學獎相關(guān)的不同尺寸量子點發(fā)光的顏色不同為情境，考查學生對能量量子化、光的波粒二象性及光的折射和光的色散等知識的理解和推理論證能力。

試題設計的四個選項難度均不大，學生較容易得到正確答案為Ａ選項。但對于Ｃ選項中需用到的必備知識“玻璃磚對紅光的折射率小于對藍光的折射率”，學生對此的認知可能主要來源于教材中三棱鏡對白光的色散實驗或彩虹的形成，但不理解其原因，而很多教師可能也不知其物理內(nèi)涵。

２ 現(xiàn)行各種版本教材對光的色散的描述

選取２０１９年人民教育出版社（以下簡稱“２０１９人教版”）、２０１９年教育科學出版社（以下簡稱“２０１９教科版”）、２０１９年山東科學技術(shù)出版社（以下簡稱“２０１９魯科版”）、２０１９年廣東教育出版社（以下簡稱“粵教版”）、２０１９年上海科技教育出版社（以下簡稱“２０１９滬科版”）及２０２０年上海科技教育出版社（以下簡稱“２０２０滬科版”）出版的高中物理教材，“光及其應用”相關(guān)內(nèi)容位于選擇性必修第一冊，其中“光的色散”相關(guān)描述如表１所示。

從表1可以看出，２０１９人教版和２０２０滬科版均無光的色散的相關(guān)內(nèi)容，２０１９粵教版以自主查閱資料的形式提及雨后彩虹，但未給出不同色光在同一種介質(zhì)中的折射率的結(jié)論。從另外三版教材均可看出折射率與光的頻率的關(guān)系，尤其是２０１９滬科版明確提出了“同一介質(zhì)折射率隨光的頻率的增大而增大”，但未說明折射率隨光的頻率變化的原因，導致學生只知其然而不知其所以然。

３ 折射率隨光子頻率變化的深入分析

在經(jīng)典電磁理論范圍內(nèi)，可以用阻尼諧振子作為原子內(nèi)束縛電子的模型［１－３］，設振子的固有圓頻率為ω0，阻尼系數(shù)為γ，則在入射光波電場=0 e-iωt作用下的振子運動方程為

+γ+ωx=e（1）

解bh6IzxtminlBkR+lWmyjDw==該方程可得諧振子在光波作用下的位移為

=e-iωt（2）

介質(zhì)（非鐵磁質(zhì)）的宏觀電磁性質(zhì)由電極化強度決定，設介質(zhì)中單位體積內(nèi)的電子數(shù)為Ｎ，則介質(zhì)的電極化強度為

=Ne=（3）

根據(jù) = ε0（εr-1），得介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr為

εr=1+（4）

相對介電常數(shù)的實部ε1和虛部ε2分別為

ε1=1+（5）

ε2=（6）

它們隨光子能量（E=hυ=？攸ω）的變化曲線如圖2所示。實部ε1對？攸ω的依賴關(guān)系稱為色散，虛部ε2是由于電磁波的吸收引起的。如圖2所示，ε2在？攸ω=？攸ω0處有尖銳的極大值，表示一種共振狀態(tài)，離？攸ω0較遠處ε2≈0。

能量的變化關(guān)系（圖中取=100，？攸ω0=4，γ=0.2）

介質(zhì)的復折射率n+ik與相對介電常數(shù)ε的關(guān)系為n+ik=，可得

n=（7）

復折射率的實部ｎ就是通常測定的折射率，虛部ｋ稱為消光系數(shù)。圖3為介質(zhì)的折射率ｎ隨光子能量的變化關(guān)系。從圖中可以看出，當介質(zhì)在可見光（波長范圍為７６０ nm～ ４００ ｎｍ［４］，對應的光子能量為１．６３ eV～３．１０ ｅＶ）區(qū)域內(nèi)透明，即介質(zhì)的固有頻率ω0大于紫光的頻率，且入射光子的頻率ω小于介質(zhì)的固有頻率ω0時，介質(zhì)對光的色散為正常色散，即介質(zhì)的折射率隨入射光的頻率的增大而增大。此即２０１９滬科版提出的“折射率隨光的頻率的增大而增大”，其隱含的前提條件是該介質(zhì)在可見光區(qū)域內(nèi)透明。其物理內(nèi)涵為：在可見光區(qū)域內(nèi)，入射光子的頻率越大，越接近介質(zhì)的固有頻率，越容易達到共振，因而諧振子的位移越大，由（3）式知在同種介質(zhì)中諧振子引起的電極化強度越大，由（4）式知介電常數(shù)越大；在非共振區(qū)，ε2≈0，則由（7）式知n≈≈，因此入射光子頻率越大，折射率越大。

從圖3中還可以看出，當入射光子的頻率大于介質(zhì)的固有頻率時，折射率ｎ隨光子能量的增大而減小，即反常色散；當入射光子的能量繼續(xù)增大，介質(zhì)的折射率幾乎為０，在此頻域內(nèi)，光不能在介質(zhì)中傳播；若繼續(xù)增大入射光子的頻率，折射率隨頻率的變化又轉(zhuǎn)為正常色散。

４ 總 結(jié)

本文基于２０２４年新課標卷物理第１７題對不同尺寸量子點發(fā)出的不同顏色的光的折射率隨光子頻率變化進行深入分析，采用阻尼諧振子模型詳細推導了介質(zhì)的折射率隨光子能量的變化關(guān)系，發(fā)現(xiàn)只有在正常色散頻域內(nèi)才滿足“介質(zhì)的折射率隨光的頻率的增大而增大”。本研究可以為學有余力的學生拓展視野，幫助其理解光的色散的物理本質(zhì)，輔助一線教學。

參考文獻：

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［４］人民教育出版社，課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標準實驗教科書物理（選修３－４）［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２００３：５６．

（欄目編輯 蔣小平）