SOLO分類理論指導下的高中數學深度學習的實踐

[摘 要] SOLO分類理論指導下的深度學習是一種聚焦于學習主體思維的批判性，強調學生認知的主動性，基于高階思維參與深加工教學內容，抽象出相應的數學模型的教學模式.文章以“SOLO分類理論、深度學習以及深度學習與SOLO分類理論的關系”為起點，通過“指數函數的性質”這一教學案例，從基礎訓練、變式訓練與例題應用三個層面由淺入深地設計問題，旨在引導學生在SOLO分類理論的指導下，實現深度學習的提升.

[關鍵詞] SOLO分類理論;深度學習;指數函數

作者簡介：陳慧玲（1982—），本科學歷，一級教師，從事高中數學教學工作.

傳統的數學教學存在“全活動”與“滿堂問”的現象，這種教學模式的單一性無法滿足學生日益增長的思維發展需求，導致學生的表達能力和思維深度顯得過于單薄. SOLO分類理論指導下的深度學習可讓學生在豐富的教學活動中主動參與并體驗教學活動，積累學習經驗，錘煉數學思維，促進核心素養的形成與發展.

核心概念概述

1. SOLO分類理論

瑞士著名兒童心理學家皮亞杰按照學生的年齡段提出認知發展學說，澳大利亞著名教育心理學家比格斯（Biggs）和卡利斯（Collis）在此基礎上按照學生學習的結果創設了SOLO分類理論[1]. 此為一種描述等級與性質的學業評價方式. 該理論主要以皮亞杰的認知發展理論為基礎，認為各個年齡階段學生的認知發展水平有著各自的特點. SOLO分類理論主要從思維方式與反應水平兩個方面對評價方式進行劃分. 其中，思維方式由出生后的感覺運動方式→2歲后的形象方式→6，7歲后的具體符號方式→15，16歲后的形式方式→22歲左右的后形式方式. 而按照反應水平分類，則為：無學習→低層次的淺層學習→高層次的淺層學習→深度學習.

2. 深度學習

深度學習主要關注學生在知識體系、數學語言、符號抽象以及思想方法等方面的掌握情況. 即引導學生積極主動地參與知識的形成與發展過程，讓學生切身體會活動內涵，感悟數學本質，從真正意義上實現對知識、技能、思想方法、能力素養的提升，從源頭上杜絕“題海戰術”帶來的負面影響，達到“減負增效”“融會貫通”“立德樹人”的目的. 從本質上而言，深度學習是知識結構的完善，是思維的提升，亦是解決問題與創新意識發展的基礎.

3. 深度學習與SOLO分類理論的關系

從學生思維發展的角度來看，主要經歷五種SOLO結構水平變化過程. 在這些過程中，學生的思維結構從簡單思維逐漸發展到復雜思維，再從具體思維逐步演變為抽象思維，同時SOLO結構水平也隨著思維的發展而提升. 如圖1，當學生的SOLO結構水平處于關聯與抽象拓展這兩個層次時，學生進入深度學習狀態[2].

教學分析

本節課旨在為高三學生提供復習指導，考慮到學生已經積累了一定的知識和經驗，教學目標是深化他們對基礎知識點和方法的理解，完善他們的認知結構，并提升他們的思維層次，培養他們能夠觸類旁通的解題技巧. 為了實現這些目標，可從以下幾個方面來設計教學策略：①通過構建基于整體視角的問題鏈，激發學生對指數函數特性的認識，并借助數形結合思想，促進深入學習;②增加學生在課堂上的參與機會，確保深度學習的實現;③依據SOLO分類理論，逐步推進教學過程，讓學生在對比和歸納中提升思維能力，提煉出思想方法，并發展核心素養.

教學簡錄

1. 基礎訓練

問題1 函數y=ax-3+1（a>0，a≠1）必過哪個點？

設計意圖 關于函數性質的探索，就是對函數的“變”與“不變”的分析. 從指數函數的性質來看，其值域、定義域與定點均具有“不變”的特點.

問題2 已知指數函數f（x）=（m2-1）x是R內的減函數，那么該函數中的實數m的取值范圍是什么？

設計意圖 指數函數底數的取值范圍決定著它的圖象與單調性，反之，根據指數函數的單調性可獲得指數函數底數的取值范圍，此為探索指數函數的“變”的關鍵路徑.

問題3 分析函數y=的定義域.

設計意圖 先將“8-4x”視為一個整體，獲得“4x≤8”這個不等式，再結合函數的圖象與單調性，確定x的取值范圍. 本題旨在深入貫徹數形結合思想方法，進一步鞏固學生的認知基礎.

問題4 若函數y=mx（m>0，m≠1）在區間[-1，1]上的最大值與最小值之間的差為，則實數m的值是什么？

設計意圖 求函數的值域與最值是不少學生的易錯點. 設計本問題，一方面強化學生對函數基礎知識及其常見題型的認識，另一方面提升學生的實際應用能力. 該問題要求學生運用分類討論的方法，結合圖象應用綜合分析技巧，以促進知識基礎與思維方法的融合，為提升思維層次和深化學習奠定基礎.

2. 變式訓練

變式題1 已知函數y=m2x+2mx-1（m>0，m≠1）在區間[-1，1]上的最大值為14，則實數m的值是什么？

解析 令mx=t，則y=m2x+2mx-1=t2+2t-1=（t+1）2-2. 在m>1的情況下，x∈[-1，1]，t∈

，m

，y=（t+1）2-2在區間

，m

上單調遞增，因此y=（m+1）2-2=14，解得m=3（舍掉負值）;在0<m<1的情況下，因為x∈[-1，1]，所以t∈

m，

，y=（t+1）2-2在區間

m，

上單調遞增，y=

+1

-2=14，解得m=（舍掉負值）.

綜上分析，m=或3.

設計意圖 整體換元法將陌生的函數轉化成學生熟悉的二次函數，再根據二次函數的圖象以及指數函數的性質獲得答案. 該變式題能夠進一步鞏固學生的數形結合思想，為培養學生的數學邏輯推理能力和數學轉化思維打下基礎.

變式題2 已知函數y=2x的圖象與過原點O的直線分別于點A，B處相交，過點B作縱軸的垂線與函數y=4x相交于點C，如果AC與縱軸為平行的關系，那么點A的坐標是什么？

解析 假設點C（m，4m），則點A（m，2m），B（2m，4m）. 又點A，B，O處于同一條直線上，所以=，即4m=2×2m，即2m=2或2m=0（舍去），解得m=1. 所以，點A的坐標為（1，2）.

設計意圖 本題設計主要考慮了兩個方面：首先，通過結合圖形的特征，從多個維度分析其中的關系，并利用這些特征來構建方程;其次，對函數y=2x與y=4x的圖象進行分辨時，需要從底數入手. 這透露出了一個重要的信息，即數形結合是“數”與“形”的雙向互動，既可以是“以形助數”，也可以是“以數定形”.

變式題3 已知關于x的方程

mx-1

=2m（m>0，m≠1）有兩個不相等的實根，則m的取值范圍是什么？

解法1 將關于x的方程mx-1=2m的兩個實根轉化成函數y=2m與y=mx-1的兩個交點的橫坐標. ①如圖2所示，在0<m<1的情況下，0<2m<1，也就是0<m<;②如圖3所示，在m>1的情況下，y=2m>1，與題設要求不相符，舍去. 所以，m的取值范圍為

解法2 根據mx-1=2m，易得mx=1±2m. 又mx=1±2m存在兩個不相等的實根，根據y=mx的圖象，易得0<1-2m. 因此，m的取值范圍為

解法3 根據mx-1=2m，易得mx=1±2m，在兩邊取對數，可得x=log（1+2m），x=log（1-2m）. 根據對數函數的性質，易得2m+1>0，1-2m>0. 因此，m的取值范圍為

設計意圖 由動到靜、化繁為簡的過程可有效提升學生的識圖與用圖能力. 本題融入了轉化與化歸、數形結合等思想，促進了學生的認知逐步深化，突顯了應用SOLO理論的關鍵性，引領學生的思維進入深度學習的境界.

3. 例題應用

分析函數f（x）=的單調性、奇偶性以及值域.

解析 因為R為函數f（x）的定義域，同時f（-x）==-f（x），所以f（x）為奇函數. 因為f′（x）=≥0，所以函數f（x）在R上為增函數. 因為f（x）==1-，令t=ex，則y=1-（t>0），所以y∈（-1，1）.

設計意圖 本題意在引導學生自主回顧分析函數奇偶性與單調性的一般方法. 當學生分析出該函數的單調性與值域后，教師鼓勵學生將函數f（x）=的大致圖象作出來，再次強化“以數定形”的重要性，為后續靈活應用做鋪墊.

4. 課堂小練

已知函數f（x）=kmx-m-x（m>0，m≠1）為一個奇函數，定義域為R，且f（1）=.

（1）不等式f（x2+2x）+f（x-4）>0的解集是什么？

（2）如果g（x）=m2x+m-2x-4f（x），那么g（x）在區間[1，+∞）上的最小值是什么？

解析 因為R為f（x）的定義域，且該函數為奇函數，所以f（0）=0，k-1=0，即k=1. 所以，f（x）=mx-m-x. 因為f（1）=，所以m-=，即2m2-3m-2=0，解得m=2或m=-（舍去）. 所以，f（x）=2x-2-x.

（1）因為f（x）在R上為奇函數，所以可將f（x2+2x）+f（x-4）>0轉化成f（x2+2x）>f（4-x）. 又f（x）在R上為增函數，所以x2+2x>4-x，即x2+3x-4>0，解得x>1或x<-4. 所以，所求的解集為{xx<-4或x>1}.

（2）g（x）=22x-4（2x-2-x）+2-2x=（2x-2-x）2-4（2x-2-x）+2. 令t（x）=2x-2-x（x≥1），則t（x）在區間（1，+∞）上是增函數，即t（x）≥t（1）=. 由此可確定函數ω（t）=t2+2-4t=（t-2）2-2在t=2時取得最小值-2（此時x=log（+1））. 也就是說，g（x）在x=log（+1）時取得最小值-2.

設計意圖 引導學生從解不等式、求最值、恒成立等維度思考問題，不僅能夠鞏固他們的基礎知識，還能進一步加強他們的轉化與化歸思想.

教學反思

1. 反思教學內容

指數函數在數學學習中具有承前啟后的關鍵作用，它是高中生學完函數的概念和性質后首次接觸的函數模型. 因此，對指數函數的掌握程度將直接影響學生對后續其他函數的研究. 本節課采用SOLO分類理論，依據學生的認知發展規律設計問題鏈，旨在幫助學生鞏固研究函數的一般方法，并親身體驗數學深度學習的過程. 從教學內容的角度來看，本節課的復習不僅具有基礎性，而且起到了提綱挈領的作用.

2. 反思教學過程

指向深度學習的課堂，不僅要夯實學生的知識基礎，還要發展學生的創新意識. 這就要求教師深刻理解傳統教學模式的局限性，并基于SOLO分類理論構建創新的教學策略. 在本節課中，教師基于學情與教情，以問題為導向，通過經典問題的應用，激發學生的思維潛能，促使學生自主領略解題思想方法，感知指數函數性質的實際應用，讓學生在自主探究中形成了良好的解題能力.

3. 反思思想方法

數形結合思想、分類討論思想、整體思想和轉化思想貫穿了本節課的始終，學生在思考和解決每個問題的過程中，得益于這些思想方法的輔助，效率得到了顯著提升. 縱觀課堂教學，可以發現各種思想方法的應用并非孤立無援，它們之間存在著緊密的內在聯系. 這一點清晰地表明，數學思想方法是推動深度學習的關鍵路徑.

總之，基于SOLO分類理論的深度學習是值得深入研究的話題，這種教學方式具有操作簡單、層次清晰等特點，對發展學生的數學學科核心素養具有指導意義.

參考文獻：

[1] 周瑩，陸宥伊，吳曉紅. 基于SOLO分類理論的中考數學試題比較研究：以2017—2019年南寧市中考試卷為例[J]. 數學通報，2020，59（3）：41-46+60.

[2] 龔妍靜. 基于SOLO分類理論的初中數學深度學習評價研究[D]. 云南師范大學，2020.