深度學習理念下的函數概念教學實踐與思考

[摘 要] 知己知彼，百戰不殆. 深入了解學生認知的障礙點，并結合學情與教情設計具有明確針對性的教學方案，能夠顯著提升教學效率，推動學生進行深度學習. 研究者以“函數的概念”教學為例，具體從“理解對應關系”“判斷函數是否相同”以及“抽象函數表達式的方法”三個方面，詳細探討學生在認知上可能遇到的障礙及其相應的解決策略.

[關鍵詞] 深度學習;函數;概念教學

作者簡介：趙洋（1982—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.

核心素養導向下的數學教學更注重深度學習理念的落實. 一線數學教師應從深度挖掘教材、深度內化理念、深刻理解知識內涵、深度開發潛能等方面著手踐行深度學習理念，以從真正意義上發展學生的數學學科核心素養. 本文以“函數的概念”教學為例，結合學生客觀存在的認知障礙展開教學與分析，與同行交流.

理解對應關系

1. 存在的問題

不少學生在理解f（x）和初中階段所接觸的因變量y上存在疑惑，不明白為什么要應用這些符號;也有學生對f（x）中的f和括號等具體表達的意義缺乏理解. 究其主要原因，在于學生在構建概念時，未能將認知中的“y”與新知中的“f（x）”建立聯系，因此無法區分兩者，更無法理解使用符號f（x）來表示函數的必要性.

2. 應對措施

師：大家在初中階段接觸過哪些函數？

生1：初中時學過一次函數、二次函數與反比例函數.

師：關于函數變化的過程，如何判斷因變量y是關于自變量x的函數？

生2：每個自變量x均有唯一確定的y與它相對應.

師：之前我們接觸的函數，均是通過函數解析式來描述一個變化過程，現在讓我們一起探索以下幾個例題.

例1 某列車在車速達到360 km/h后勻速行駛半小時，在這半小時內，列車行駛的路程S（單位：km）與行駛時間t（單位：h）的關系式為S=360t.

思考：S是不是t的函數？若該列車以360 km/h的速度勻速行駛1 h，行駛的路程是多少？t的變化范圍和對應的S的變化范圍分別是多少？嘗試用集合表示兩者的變化范圍.

探索所得的結論為：該函數實則為t與S的變化范圍之間的對應關系.

例2 某公司要求維修工每周工作至少1天，最多不超過6天. 該公司確定的工資標準是每人每天360元，而且每周付一次工資. 如果你是財務人員，那么如何確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是其工作天數d的函數嗎？如果是，請寫出w關于d的解析式，并思考根據解析式是否可以計算出任何d所對應的w. 如果不是，請說明理由.

在探討這類問題時，著重從集合的角度分析d與w的變化范圍，明確w是否為d的函數.

例3 圖1是某市某天的空氣質量指數（AQI）變化圖. 如何根據該圖確定這一天內任意時刻t h的空氣質量指數的值I？

思考：I，t的變化范圍存在對應關系嗎？I是t的函數嗎？若是，你能寫出兩者的解析式嗎？若不是，請說明理由.

學生在探尋這個例題時，雖然無法用解析式明確I，t的對應關系，卻可用直觀的曲線所給的對應關系說明I是t的函數.

例4 國際上常用恩格爾系數r（r=×100%）反映一個地區人民生活質量的高低，r值越低，代表生活質量越高. 如表1所示，此為我國某省城鎮居民在這些年份的恩格爾系數變化情況，請大家思考年份y與恩格爾系數r之間是否為函數關系，可否用集合描述.

（探索過程略）

上述幾個例題揭示了函數表達形式的多樣性，包括解析式、圖象和表格. 教師要求學生分析這些表達形式的共性，并嘗試重新定義函數. 在定義時，教師著重強調函數的書寫必須規范，需將自變量x置于f（x）的括號內，然后等于因變量y. 其中字母f為function（函數）的首字母.

在定義函數的同時，還需關注函數的值域與定義域. 可將函數比作一臺運行中的機器，它在接收到輸入指令后，會遵循一個程序產生唯一的輸出. 在這個過程中，輸入指令的范圍對應于“定義域”，而輸出結果的范圍則對應于“值域”. 以f（x）=+1為例，其運算過程是“取算術平方根后加1”，因為輸入范圍為x∈[0，+∞），所以[0，+∞）為該函數的定義域;因為輸出范圍為f（x）∈[1，+∞），所以[1，+∞）為該函數的值域.

分析 新知必須建立在現有的認知結構之上. 在上述教學片段中，通過使用四個貼近學生生活的實例，激發學生認知沖突，從而幫助他們進一步完善對函數的理解. 同時，通過類比機器工作原理與函數的值域和定義域，使學生深入理解函數的概念，并實現新舊知識的深度融合.

判斷函數是否相同

1. 常見的問題

對于“兩個函數表達式能否表示同一個函數”的判斷，一些學生存在一定的困難. 例如，函數f（x）=和函數g（t）=是不是同一函數？學生所犯的錯誤主要有兩類：①不是，因為f與g不是同一個符號;②不是，因為自變量x與t不是同一個符號. 再如，函數f（x）=和g（x）=x是不是同一函數？學生所犯的錯誤主要有兩類：①不是，因為兩個表達式不一樣;②是，因為兩個函數解析式經化簡后是一樣的.

形成上述錯誤的主要原因在于學生未能深入理解函數的三要素（定義域、值域和對應關系）. 要判斷兩個函數是否相同，必須探究這三要素是否一致. 從函數概念的本質來看，值域是由對應關系和定義域決定的，因此，根據對應關系與定義域是否相同，即可判斷兩個函數是否相同.

2. 應對措施

師：判斷兩個函數相同的條件是什么？

生：函數的三要素（定義域、值域、對應關系）均相同.

接下來，教師提出一個問題：當兩個函數在某個單一要素上相同時，是否可以斷定這兩個函數完全相同？在學生得出否定的答案后，問題被進一步擴展：如果兩個函數在兩個要素上相同，我們能否確定它們是相同的函數？隨著探索的深入，學生自發地制作了表2，以明確在不同條件下兩個函數是否相同.

師：通過上述探討，我們可以得出結論：判斷兩個函數是否相同，從函數的定義域和對應關系來看，就像比較兩臺功能相同的機器. 如果它們的操作程序相同，并且接收到相同的輸入指令，那么它們的輸出結果必然一致. 例如函數f（x）=和函數g（t）=，從本質上來看均為算術平方根，不論它們的名稱如何變化，其本質都不會改變. 它們的操作對象均為[0，+∞）上的所有數，不論在括號內放入x或t，對本質均不會產生影響.

基于上述探索，教師提供相應的練習（略）供學生鞏固所學知識，幫助他們從根本上掌握判斷兩個函數是否相同的準則.

分析 人腦對知識的吸收是一個主動選擇和推導的過程，絕非被動地接受. 為了防止學生在判斷兩個函數是否相同時犯下各種錯誤，教師設計了這一教學環節. 該環節包含三個核心點：①以學生的自主探索為主，讓學生明確判斷兩個函數相同的充分必要條件為對應關系與定義域均相等;②任何字母只是符號，只要問題的本質不變，不論用哪個字母，都不會影響對比結論;③練習訓練，讓學生通過實例操作充分感知對應關系與定義域兩個關鍵條件的應用.

抽象函數表達式的方法

1. 存在的問題

關于抽象函數的表達式，不少學生在認知方面存在障礙，致使解題的正確率偏低. 例如，已知函數f（+1）=2+x，求f（x）. 常見的錯誤解法為：令+1=t，經整理得x=（t-1）2，因此f（t）=（t-1）2+2（t-1）=t2-1，即f（x）=x2-1.

從學生所犯的錯誤來看，他們對于此類題型考查的重點并不理解，當無法通過拼湊法解題時，選擇換元法來求解，然而，對于變量之間的替換關系卻感到困惑，一些學生甚至忽略了定義域的重要性. 之所以會出現這樣的問題，主要是因為學生未能真正理解函數的概念，同時對復合函數的理解也存在不足. 當遇到f（g（x））類型的函數時，他們便無從下手.

2. 應對措施

基于上述分析，可以看出學生對函數概念的理解尚淺，存在多種認知障礙. 為了解決這一問題，教師在深度學習理念的指導下，引導學生主動構建新知，克服各種障礙，實現深刻理解和靈活應用的目標.

問題1 已知函數f（x）=x2，求f（x-1）.

本題難度系數較低，求f（x-1），用x-1替換x即可（過程略）.

問題2 已知函數f（x+1）=x2+2x+1，求f（x）.

生1：結合題設條件可知f為平方運算，即f（x+1）=x2+2x+1=（x+1）2，所以f（x）=x2.

師：此為拼湊法，具體是怎么拼湊的？

生1：先結合條件拼湊出x+1，再用x進行替換.

師：如果無法直接拼湊出答案，該怎么辦呢？例如，已知函數f（x+1）=x2+4x+3，求f（x）.

生2：也可以先拼湊出x+1，再用x進行替換，如令x=x+1，但表達式中存在兩個x，容易造成混淆.

師：有什么辦法可以解決這個問題呢？

生3：可以將“求f（x）”改成“求f（t）”.

師：經過這樣的修改，我們求解的還是同一個函數嗎？

生4：是同一個函數，因為其本質并沒有發生變化，只是用不同字母表示而已.

師：很好！令t=x+1，用含t的式子來表示x，即x=t-1. 將該式代入原式，可得f（t）=（t-1）2+4（t-1）+3，經整理得f（t）=2t+t2. 題目求的是f（x），該如何處理呢？

生5：f（t）=2t+t2與f（x）=2x+x2是相同的函數，直接轉化即可.

師：不錯，解決這一類問題的關鍵在于拼湊法與換元法的應用. 現在，請大家自行整理換元法的應用思路.

學生通過思考和交流，得到換元法的應用思路：①用含t的式子表示x，并獲得t的取值范圍;②將含t的式子代入原式并整理得到關于t的函數;③將關于t的函數轉換為關于x的函數.

問題3 已知函數f（+1）=2+x，求f（x）.

這是一道拓展題，目的在于引導學生關注判斷函數相同的條件——除了對應關系之外，還需分析定義域. 只有當兩者完全一致時，才能確定兩個函數相同.

分析 該教學環節主要包含以下三個核心內容：①利用拼湊法引出換元法，引導學生抽象出函數關系式的轉換步驟，提升學生對函數概念應用理解的深度;②針對學生的認知障礙點設計問題，引導學生在求解的同時進行自我糾錯，以不斷完善其認知結構;③將所學知識串聯起來，對學習內容進行系統性的整理與歸納.

綜上所述，高中生所接觸的函數概念本身極為抽象，受限于思維水平，他們在理解和應用這些概念時，不可避免地會遇到各種認知障礙. 因此，在深度學習理念的指導下設計教學活動變得至關重要，這是克服學生認知障礙、梳理知識結構、完善認知體系的有效途徑.

在教學中，教師應關注以下幾點：①加深學生對知識本質的理解，深入了解初中與高中階段函數之間的聯系，為有效教學打下堅實基礎;②構建教學支架，運用與學生認知發展規律相適應的信息，激發學生認知沖突，使他們理解函數的對應關系;③采用整體觀進行課堂教學，協助學生構建全面的知識結構;④針對學生的錯誤，深入探究其根本原因，并設計有針對性的問題.

總之，函數作為高中階段的核心教學內容之一，許多學生在理解和應用方面面臨挑戰. 將深度學習理念有效地融入到函數概念的教學中，可以幫助學生從根本上理解錯誤的根源，從而為靈活應用函數概念和發展核心素養打下堅實的基礎.