核心素養(yǎng)背景下基于“邏輯推理素養(yǎng)”發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)研究

[摘 要] 借助課堂教學(xué)培育學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)是當(dāng)前教育教學(xué)的核心目標(biāo). 邏輯推理素養(yǎng)，作為核心素養(yǎng)的關(guān)鍵組成部分，對學(xué)生長期的可持續(xù)發(fā)展起著至關(guān)重要的作用. 如何應(yīng)用不同的教學(xué)策略發(fā)展高中生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力與素養(yǎng)呢？研究者從邏輯推理能力的培養(yǎng)出發(fā)，針對邏輯推理素養(yǎng)三個水平層次的培育方法展開例析.

[關(guān)鍵詞] 邏輯推理;思維能力;水平層次

作者簡介：陳佳佳（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

推理屬于思維的一種基本形式，指由一個或多個已知前提推導(dǎo)出新結(jié)論的過程，包含從特殊到一般和從一般到特殊的推理. 從特殊到一般的推理方法以類比歸納為主，而從一般到特殊的推理方法則以演繹為主. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)建立在邏輯推理能力提升的基礎(chǔ)之上，并且將數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)根據(jù)學(xué)生的不同認(rèn)知結(jié)構(gòu)由淺入深地劃分為三個水平層次，以適應(yīng)他們各自的發(fā)展需求.

邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)措施

在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識和基本技能的過程中，學(xué)生會自然而然地培養(yǎng)出邏輯推理能力. 特別是在高中數(shù)學(xué)領(lǐng)域，由于其高度的抽象性，學(xué)生必須運用抽象邏輯思維進行思考和分析，這無形中促進了邏輯推理能力的增強. 相反，忽視基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)，邏輯能力的發(fā)展便無從談起. 因此，教師和學(xué)生都應(yīng)充分重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)和學(xué)習(xí)，特別是對基本技能的掌握，這對于促進邏輯推理能力的發(fā)展至關(guān)重要.

基于邏輯推理能力提升的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)設(shè)計，可以利用多樣化的情境或問題激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生主動思考和探索問題，從而促進學(xué)生在不同程度上實現(xiàn)個人發(fā)展.

【教學(xué)片段1】

為了在教學(xué)“等差數(shù)列通項公式”時培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)，最有效的方法是采用逐步引導(dǎo)的策略，通過一系列層次分明的問題來輔助學(xué)生深入理解等差數(shù)列通項公式的內(nèi)在本質(zhì). 通過這種方式，學(xué)生不僅能夠掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，還能在這一過程中實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，促進其學(xué)習(xí)能力的提升.

問題1 分析下列幾組數(shù)存在哪些共同點：①1，2，3，4，5，6，7;②2，5，8，11， 14，17;③5，10，15，20，25，30.

生1：每組的后一項數(shù)減掉前一項數(shù)得到的差均相等.

師：總結(jié)得不錯，關(guān)于“2，5，8，11， 14，17”這組數(shù)，若按照其規(guī)律繼續(xù)排列下去，第100項的數(shù)是多少？

生2：可以用字母符號來表示每個數(shù)，例如用a表示2，用a表示5，則a=3×1+2，以此類推，a=3×2+2，a=3×3+2，…，a=3×99+2=299.

師：邏輯清晰，分析得很好！根據(jù)生2的思維過程，我們應(yīng)該如何確定這組數(shù)的第n項的數(shù)呢？

生3：根據(jù)生2的思維過程，容易得到第n項的數(shù)為a=d（n-1）+a.

師：有沒有辦法證明這個式子是否準(zhǔn)確？

生4：基于等差數(shù)列的概念，可以發(fā)現(xiàn)a-a=d，a-a=d，…，a-a=d. 將上述等式的兩側(cè)分別相加，可得a-a=（n-1）d，即a=（n-1）d+a.

師：很好！是否有需要補充的？

生5：我認(rèn)為還要對n=1進行驗證.

師：如果a=3n+2是等差數(shù)列{a}的通項公式，那么這個數(shù)列的首項與公差分別是多少？第100項的數(shù)是多少？

生6：根據(jù)該數(shù)列的通項公式可知，第100項為a=3×100+2=302，首項為a=3×1+2=5，公差d=a-a=3.

從上述這一教學(xué)片段中可以看到教師如何通過一系列由淺入深的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，使其朝著預(yù)期的方向發(fā)展. 在三個具體數(shù)列的啟發(fā)下，學(xué)生逐步探索并發(fā)現(xiàn)了等差數(shù)列的規(guī)律. 他們借助問題構(gòu)建的階梯，逐層上升，最終領(lǐng)悟了等差數(shù)列的核心原理. 在這一教學(xué)片段中，教師提出的問題展現(xiàn)了從“具體到抽象”“特殊到一般”再到“一般到具體”的遞進過程. 學(xué)生在這個過程中獨立運用類比歸納法，提煉出了等差數(shù)列的通項公式，并在掌握該公式后，進一步應(yīng)用它來分析等差數(shù)列的公差以及具體的項.

學(xué)生在問題循序漸進的指引下，不僅逐個解決了問題，超越了既有的認(rèn)知界限，還掌握了基礎(chǔ)知識和基本技能，明確了等差數(shù)列公差的來龍去脈，此為鍛煉思維能力、認(rèn)知能力的過程. 當(dāng)然，這一過程還有效地培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，為提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)夯實了根基.

不同水平層次的邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

掌握基礎(chǔ)知識和基本技能可促進邏輯推理能力的提升，為邏輯推理素養(yǎng)的構(gòu)建奠定堅實的基礎(chǔ). 為了進一步鞏固學(xué)生的知識體系并提升其學(xué)習(xí)能力，最有效的策略是持續(xù)利用問題引導(dǎo)教學(xué). 這樣可以激發(fā)不同能力層次的學(xué)生積極參與課堂活動，確保他們在學(xué)習(xí)過程中實現(xiàn)最大程度的成長. 不同年齡段和認(rèn)知水平的學(xué)生擁有各自獨特的學(xué)習(xí)背景，因此，他們所設(shè)定的素養(yǎng)目標(biāo)也各不相同. 教師需要依據(jù)學(xué)生的個體特點來設(shè)計教學(xué)計劃，并采用具有明確針對性的教學(xué)策略——“因材施教”，以確保真正意義上促進每位學(xué)生的持續(xù)成長.

1. 低等層次邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

低等層次的邏輯推理素養(yǎng)一般以“水平一”來表示. 新課標(biāo)要求該層次的學(xué)生應(yīng)能在熟悉的情境中了解概念和定理，自主探索數(shù)學(xué)知識中的“數(shù)形”聯(lián)系，對知識的邏輯結(jié)構(gòu)有基本的理解，并能夠清晰地進行表述. 此外，他們還應(yīng)能運用所學(xué)知識解決實際問題. 該標(biāo)準(zhǔn)適用于大多數(shù)學(xué)生，只有當(dāng)學(xué)生達到“水平一”的邏輯推理素養(yǎng)時，他們才能進入下一個階段. 對于“水平一”的教學(xué)設(shè)計，可以從基礎(chǔ)知識和大多數(shù)學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗入手，依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)進行引導(dǎo).

【教學(xué)片段2】

問題2 若S為等差數(shù)列{a}的前n項和，請論證S，S-S，S-S是否為等差數(shù)列.

生7：由于（S-S）-S=（S-S）-（S-S）=100d，因此可以確定S，S-S，S-S成等差數(shù)列.

師：基于這一論證，我們能否推導(dǎo)出一個更為普遍的結(jié)論呢？

生8：我猜想的是，在k∈N*的情況下，S，S-S，S-S成等差數(shù)列.

師：通過比較上述特殊情況，我們?nèi)绾悟炞C這一猜想呢？

生9：由于S=a+a+a+…+a，S-S=a+a+a+…+a，S-S=a+a+a+…+a，因此（S-S）-S=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=kd+kd+kd+…+kd=k2d，（S-S）-（S-S）=（a-a）+（a-a）+（a-a）+…+（a-a）=kd+kd+kd+…+kd=k2d.所以，（S-S）-S=（S-S）-（S-S）=k2d. 由此可確定S，S-S，S-S成等差數(shù)列.

分析上述教學(xué)片段，注意到教師只提出了簡單的“小問題”，將整個探索過程完全交由學(xué)生自主完成，說明“小問題”功不可沒. 在“小問題”的引導(dǎo)下，學(xué)生的思維逐步深入，并在教師的適時點撥下，運用類比法驗證“S，S-S，S-S為等差數(shù)列”. 這種教學(xué)策略有效地推動了學(xué)生向前發(fā)展，通常需要在學(xué)生已經(jīng)熟悉的情境中實施.

實踐證明，這種教學(xué)方法非常適合那些邏輯推理能力尚處于初級發(fā)展階段的學(xué)生. 通過問題的逐步推進，學(xué)生的邏輯思維素養(yǎng)將被引導(dǎo)朝著既定方向發(fā)展，從而達到“水平一”的層次.

2. 中等層次邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

中等層次的邏輯推理素養(yǎng)被稱為“水平二”，要達到該層次，學(xué)生必須主動從熟悉的情境中跳脫出來，深入到知識的“關(guān)聯(lián)”之中. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需進一步理解并應(yīng)用概念與定理，探索出相應(yīng)的思路和結(jié)論，并能夠清晰地進行論證. 為了達到“水平二”，學(xué)生需要掌握多角度思考問題的技巧，能夠?qū)⒁延械闹R和經(jīng)驗與新知識連接起來，同時完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)并構(gòu)建網(wǎng)狀的知識體系，為解決問題打下堅實的基礎(chǔ).

當(dāng)學(xué)生達到“水平二”時，教師應(yīng)為學(xué)生創(chuàng)造解決問題的機會和環(huán)境，允許他們在一定區(qū)域內(nèi)獨立觀察和探究. 這樣，學(xué)生能夠更迅速、trY3QMFJEvqlAYH054v0wQ==更精確地識別問題、提出問題，并運用他們構(gòu)建的知識體系找到解決方案.

【教學(xué)片段3】

問題3 若等差數(shù)列{a}中，2n+m+p=2t+s+r，且n，m，p，t，s，r∈N*，則2a+a+a=2a+a+a. 與等差數(shù)列{a}進行類比，獲得等比數(shù)列的一個命題為：若2n+m+p=2t+s+r，且n，m，p，t，s，r∈N*，則______. 請求證.

師：從我們已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取相關(guān)信息，分析哪些知識可以被借鑒或類比以解決這個問題.

生10：可將等差中項的內(nèi)容與等比中項的內(nèi)容進行比較分析.例如，若a，A，b為等差數(shù)列，則A=;若a，G，b為等比數(shù)列，則G2=ab.

師：將這兩個知識點結(jié)合起來進行關(guān)聯(lián)分析，值得表揚. 通過類比上述過程，大致可以推斷出這個問題的結(jié)論是什么？

生11：我認(rèn)為本題的結(jié)論大致為（2b）bmbp=（2b）bsbr或者（b）2bmbp=（b）2bsbr.

師：觀察這兩個式子的形式，似乎各有其合理性. 那么，針對本題，我們應(yīng)該選擇哪一個式子來填寫呢？讓我們進行分析并加以驗證.

生12：若填寫第一個式子，則（2b）bmbp=2bqn+m+p-3，（2b）bsbr=2bqt+s+r-3. 當(dāng)2n+m+p=2t+s+r時，（2b）bmbp≠（2b）jrEm/tQpGRA6+C0M0bVP0A==bsbr，與題意不相符. 若填寫第二個式子，則（b）2bmbp=bq2n+m+p-4，（b）2bsbr=bq2t+s+r-4. 當(dāng)2n+m+p=2t+s+r時，（b）2bmbp=（b）2bsbr，與題意相符. 綜上所述，應(yīng)填寫第二個式子，即（b）2bmbp=（b）2bsbr.

在該教學(xué)片段中，教師未向?qū)W生提供明確的解題策略，而是促使學(xué)生利用他們已掌握的知識和經(jīng)驗，主動尋找相關(guān)知識點之間的聯(lián)系，并在限定的范圍內(nèi)獨立思考，以解決問題. 觀察師生之間的互動，可以發(fā)現(xiàn)，每當(dāng)學(xué)生主動提出假設(shè)時，教師都會鼓勵他們從條件和結(jié)論兩個方面進一步論證這些假設(shè)的準(zhǔn)確性.

將學(xué)生限定在一個范圍內(nèi)進行自主探索和研究，不僅有助于學(xué)生理解知識之間的聯(lián)系，還能激勵他們自主構(gòu)建一個完整的認(rèn)知體系. 這樣的過程能夠培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維，使他們獲得融會貫通的學(xué)習(xí)能力，從而有效地促進學(xué)生發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)“水平二”.

3. 高等層次邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)策略

此層次是邏輯推理素養(yǎng)的最高層次——水平三，要求學(xué)生在復(fù)雜且綜合的情境背景下獨立思考和探索問題，并提煉出高質(zhì)量的數(shù)學(xué)問題. 在這一層次，學(xué)生應(yīng)能夠運用假設(shè)、判斷與推理等方法自主解決一些綜合程度高的復(fù)雜問題，或運用跨學(xué)科的知識來分析和解決一些實際問題. 在這一過程中，學(xué)生需要運用論證與推理的方法來思考和分析問題，這對他們的思維能力提出了較高的要求. 因此，這也是區(qū)分學(xué)力，選拔高階人才的重要依據(jù).

在日常教學(xué)中，若要提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)至更高層次，可以鼓勵他們自主探索解決問題的知識和方法，并自行構(gòu)建解題策略或過渡性假設(shè)以實施解答. 這種教學(xué)策略亦稱作“引導(dǎo)式”教學(xué)法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效途徑之一.

【教學(xué)片段4】

問題4 若實數(shù)a，b，m滿足a2+b2=m2，m≠0，的取值范圍是什么？

師：在日常學(xué)習(xí)中，我們遇到的問題所待求解的未知數(shù)通常只有兩個，然而本題卻出現(xiàn)了三個未知數(shù)，該怎么辦呢？

生13：我打算將該問題構(gòu)建為含兩個未知數(shù)的問題，以便求解.

師：很好，如何構(gòu)建呢？

生14：結(jié)合題設(shè)條件得+=1. 假設(shè)=x，=y，即x2+y2=1，則==. 于是構(gòu)建出了一個新問題：已知x2+y2=1，則的取值范圍是什么？

師：非常好！這是化未知為已知的過程. 轉(zhuǎn)化后的問題對我們來說非常熟悉. 還有其他的想法嗎？

生15：我們通常應(yīng)用求導(dǎo)或解基本不等式的方法來探究含有兩個變量的問題. 然而，對于本題，采用這些傳統(tǒng)方法可能導(dǎo)致求解過程變得異常復(fù)雜. 因此，我認(rèn)為將本題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題，可能簡化求解過程.

師：哦？能否詳細說明一下呢？

生15：已知x2+y2=1為圓O的方程，則點（2，0）與圓O上的點的連接線的斜率的取值范圍是什么？

求解過程為：假設(shè)連接線的方程是y=k（x-2），即kx-y-2k=0. 根據(jù)d=r，可得=1，解得k=±. 所以，連接線的斜率k的取值范圍是

-

，，即的取值范圍是

-

，.

在上述教學(xué)片段中，教師未直接指導(dǎo)學(xué)生運用減元法解決問題，而是順應(yīng)學(xué)生的思維路徑，引導(dǎo)他們將三個未知數(shù)簡化為兩個，鼓勵學(xué)生依據(jù)自己的認(rèn)知經(jīng)驗獨立探索. 最終，學(xué)生利用解析幾何的知識完成了問題的解答. 整個教學(xué)活動以學(xué)生的思維為主導(dǎo)，教師的角色更多是作為“觀察者”，在關(guān)鍵時刻提供必要的引導(dǎo). 這種開放式的教學(xué)方法能有效促進學(xué)生發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)“水平三”.

綜上所述，在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)時，必須充分考慮學(xué)生的個體差異. 采用循序漸進的方法，“因地制宜、因材施教”地開展教學(xué)活動，不僅能夠有效地促進學(xué)生個人能力的發(fā)展，而且有助于實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的長遠目標(biāo).