基于問題導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與思考

[摘 要] 問題導(dǎo)向教學(xué)，作為一種創(chuàng)新的教育方法，著重于通過提問激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí). 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師可以將教學(xué)內(nèi)容融入問題探究中，讓學(xué)生通過解決問題深化對知識的理解，提高學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 問題導(dǎo)向教學(xué);問題探究;學(xué)習(xí)效率

作者簡介：陳李志（1972—），本科學(xué)歷，一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.

隨著新課改的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷發(fā)生變化. 如何通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主動探索，并培養(yǎng)他們將知識應(yīng)用于實踐的能力，這不僅挑戰(zhàn)著教師對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱新課標(biāo)）的深刻理解，也考驗著教師在教學(xué)現(xiàn)場的實踐技巧. 筆者認(rèn)為，在實施新課標(biāo)的過程中，我們既要致力于將新課標(biāo)所規(guī)定的普通高中數(shù)學(xué)課程的核心要素與日常教學(xué)緊密融合，同時也要堅持保留傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中有價值的成分. 這樣，我們才能在繼承與創(chuàng)新的平衡中，有效地落實核心素養(yǎng). 筆者在研究過程中發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)非常注重問題的設(shè)計和提出，這種做法在教學(xué)實踐中具體體現(xiàn)為一種問題導(dǎo)向的教學(xué)模式. 與傳統(tǒng)的問題導(dǎo)向教學(xué)不同，新課標(biāo)背景下的問題導(dǎo)向教學(xué)著重強調(diào)“以生為本”的教學(xué)理念，通過問題優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂，確保問題在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高自主學(xué)習(xí)能力等方面發(fā)揮關(guān)鍵作用. 實際上，正是因為問題導(dǎo)向教學(xué)方法具有其獨特的優(yōu)勢，它在教學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用. 在教學(xué)“函數(shù)的單調(diào)性”時，可以采取問題導(dǎo)向教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生在概念形成階段發(fā)現(xiàn)、探究和解決數(shù)學(xué)問題的能力，進(jìn)而促進(jìn)其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展.

教學(xué)分析

1. 內(nèi)容分析與學(xué)情分析

函數(shù)的單調(diào)性，作為函數(shù)四大基本性質(zhì)之一，不僅是對函數(shù)概念等知識的延續(xù)和拓展，而且又是研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等各類函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ). 它在求解函數(shù)值域、最值以及比較數(shù)的大小等方面具有廣泛的應(yīng)用. 探究函數(shù)單調(diào)性的過程，展現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、歸納與轉(zhuǎn)化以及從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法. 這些思想方法對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有深遠(yuǎn)的影響. 通過本課程的學(xué)習(xí)，不僅可以加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解，而且能為深入研究函數(shù)的其他性質(zhì)打下基礎(chǔ).

在深入分析學(xué)情之前，先來探討學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解. 大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性時，常常會感到困惑. 他們難以理解為何函數(shù)的變化要用“單調(diào)性”這一術(shù)語來描述. 這表明，在教學(xué)過程中，恰當(dāng)?shù)匾牒瘮?shù)單調(diào)性概念的時機至關(guān)重要. 深入探究學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況揭示，面對函數(shù)圖象時，學(xué)生往往能夠運用其幾何直覺，辨識出函數(shù)圖象的變化特征，并且認(rèn)識到這些特征在不同區(qū)間具有差異性. 學(xué)生的這種直觀理解構(gòu)成了函數(shù)單調(diào)性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)通過問題激發(fā)學(xué)生的這些認(rèn)識，確保問題能夠有效地引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建思維和知識體系.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解并掌握函數(shù)單調(diào)性的概念，能夠運用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明函數(shù)的單調(diào)性.

（2）感悟數(shù)形結(jié)合、特殊與一般、歸納與轉(zhuǎn)化等思想方法的價值，提高觀察能力、分析歸納能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

3. 教學(xué)重點和難點

（1）掌握函數(shù)單調(diào)性的概念，深刻理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì);

（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義來證明函數(shù)的單調(diào)性.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

問題1 觀察圖1、圖2，它所反映的是相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律？

師生活動：在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下，學(xué)生通過觀察、交流提出“隨著x的增大，y隨之變化”.

設(shè)計意圖 借助圖象讓學(xué)生直觀感知隨著x的增大，y增大或減小，激發(fā)學(xué)生的探究熱情，為新課程的順利導(dǎo)入做好準(zhǔn)備. 該設(shè)計實際上是在前述學(xué)習(xí)分析的基礎(chǔ)上構(gòu)建的. 在這一階段，學(xué)生的直覺感知構(gòu)成了問題導(dǎo)向?qū)W習(xí)的基礎(chǔ). 提供兩個圖象的目的在于引導(dǎo)學(xué)生通過對比，理解函數(shù)圖象所展示的變化特性與自變量取值范圍之間的聯(lián)系. 通過構(gòu)建這樣的認(rèn)識，并在“觀察圖象”和“識別函數(shù)變化規(guī)律”等活動下提出問題，可以激發(fā)學(xué)生在問題驅(qū)動下激活思維，探究函數(shù)單調(diào)性.

問題2 請畫出函數(shù)y=x2的圖象，觀察圖象的變化規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言加以描述.

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生通過“列表—描點—連線”繪制函數(shù)圖象，并借助表格和圖象進(jìn)行分析. 學(xué)生通過互動交流達(dá)成共識：在（-∞，0）上，隨著x的增大，y減小;在（0，+∞）上，隨著x的增大，y增大.

設(shè)計意圖 通過動手實踐、動眼觀察和動腦思考，學(xué)生能夠深刻理解隨著x的增大，y增大或減小的特性，為理解增函數(shù)和減函數(shù)的概念打下基礎(chǔ). 之所以鼓勵學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言來闡述他們的發(fā)現(xiàn)，目的在于通過問題的引導(dǎo)，促使學(xué)生在問題的驅(qū)動下，將他們用日常語言表述的直覺理解，轉(zhuǎn)變?yōu)橛脭?shù)學(xué)語言精確表達(dá)的深刻認(rèn)識.

2. 觀察歸納，形成概念

問題3 構(gòu)成圖象的基本要素有哪些？它們與圖象的變化之間存在怎樣的聯(lián)系？

學(xué)生活動：學(xué)生通過交流，明確構(gòu)成函數(shù)圖象的基本要素是點，而觀察函數(shù)圖象的實質(zhì)，即觀察這些點的變化.

問題4 如何刻畫函數(shù)圖象的運動變化呢？

學(xué)生活動：有了問題3的鋪墊，學(xué)生很容易想到利用動點（x，y）來刻畫函數(shù)圖象的運動變化.

問題5 用幾個點來刻畫函數(shù)圖象最為合適？一個點？兩個點？三個點？……

師生活動：學(xué)生通過交流發(fā)現(xiàn)，若僅使用一個點，就缺乏對比，難以展現(xiàn)圖象變化的特性;而使用三個點，則它們之間的變化過于復(fù)雜. 因此，最終確定使用兩個點來刻畫圖象的運動變化.

設(shè)計意圖 通過環(huán)環(huán)相扣的問題引導(dǎo)學(xué)生分析引發(fā)函數(shù)圖象變化的實質(zhì)，由此明確利用動點刻畫圖象變化的合理性. 另外，教師引導(dǎo)學(xué)生對比分析，發(fā)現(xiàn)若選擇兩個點來刻畫圖象的運動變化，不僅可以比較，而且不會太復(fù)雜. 經(jīng)過上述分析過程，為接下來使用定義法來證明函數(shù)單調(diào)性奠定了基礎(chǔ).

問題6 動點（x，f（x））和（x，f（x））中，隨著x，x的變化，其縱坐標(biāo)f（x）和f（x）也隨之變化，這樣用數(shù)值來刻畫圖象的運動變化比較困難，如何解決呢？

師生活動：學(xué)生通過交流和爭論，一致認(rèn)為固定兩個動點的橫坐標(biāo)——固定x，x，即令xx，就可以比較f（x）和f（x）的大小，從而知曉函數(shù)圖象的變化趨勢.

設(shè)計意圖 從學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗出發(fā)，讓他們理解用變化的數(shù)值來刻畫圖象的運動變化比較困難，由此自然而然地引發(fā)學(xué)生思考如何將坐標(biāo)固定下來，以便更深入地掌握函數(shù)單調(diào)性的概念.

問題7 對于x，x的取值，除了令xx外，還有其他要求嗎？

學(xué)生回答道：x，x是定義域的元素，用字母D表示，即x，x∈D.

問題8 任取x，x∈D，且xx，其對應(yīng)的函數(shù)值存在怎樣的關(guān)系？又該如何刻畫呢？

師生活動：學(xué)生通過交流得知，若在區(qū)間范圍內(nèi)都有f（x）f（x），則說明在該區(qū)間范圍內(nèi)，隨著自變量x的增大，f（x）逐漸增大;反之，在該區(qū)間范圍內(nèi)都有f（x）f（x），則說明在該區(qū)間范圍內(nèi)，隨著自變量x的增大，f（x）逐漸減小. 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生學(xué)會利用數(shù)值來刻畫函數(shù)遞增或遞減的性質(zhì).

問題9 基于以上分析，你能否提供增函數(shù)的定義？

師生活動：學(xué)生負(fù)責(zé)整理和歸納知識點，而教師則在此基礎(chǔ)上進(jìn)行補充和完善. 隨后，教師利用PPT展示增函數(shù)的定義. （定義內(nèi)容略）

追問：根據(jù)增函數(shù)的概念，你能否提供減函數(shù)的定義？

學(xué)生活動：學(xué)生通過類比增函數(shù)的定義，輕松提出減函數(shù)的定義. （定義內(nèi)容略）

問題10 討論分析增函數(shù)和減函數(shù)的定義，說說定義中的關(guān)鍵詞有哪些.

師生活動：教師在PPT中呈現(xiàn)增函數(shù)和減函數(shù)的定義，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析和交流. 學(xué)生從中抽象出以下關(guān)鍵詞：定義域、區(qū)間、任意、都有.

追問：你是如何理解這些關(guān)鍵詞的？

師生活動：教師創(chuàng)造機會鼓勵學(xué)生積極表達(dá)自己的觀點，隨后師生共同參與討論，從而更深入地理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義.

設(shè)計意圖 通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究，幫助他們歸納并總結(jié)增函數(shù)和減函數(shù)的形式化定義，從而讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)的簡潔之美和嚴(yán)謹(jǐn)之美. 在此過程中，一旦學(xué)生掌握了定義，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)他們提煉并深入分析定義中的關(guān)鍵詞. 這樣的做法有助于學(xué)生準(zhǔn)確且深刻地理解增函數(shù)和減函數(shù)的定義，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深度，同時提升他們的數(shù)學(xué)抽象思維和歸納概括能力. 上述問題構(gòu)成了一個連貫的問題鏈，旨在逐步引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷深化. 在這一過程中，學(xué)生能夠從直觀感受出發(fā)，逐漸過渡到理性分析，即在數(shù)形結(jié)合的框架下，將通過函數(shù)圖象獲得的直觀感受轉(zhuǎn)化為用數(shù)學(xué)語言，特別是集合語言表達(dá)的理性理解. 這種認(rèn)識的提升過程表明，學(xué)生在經(jīng)驗積累的基礎(chǔ)上，形成了關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)智慧. 這種智慧不僅支撐了對函數(shù)單調(diào)性知識體系的構(gòu)建，而且為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).

3. 應(yīng)用舉例，深化概念

例1 圖3是函數(shù)y=f（x）在[-5，5]上的圖象. 請結(jié)合圖象分析函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，并闡述在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù).

學(xué)生活動：學(xué)生通過直觀觀察確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間為[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5]，其中，在[-5，-2]，[1，3]上是減函數(shù)，在[-2，1]，[3，5]上是增函數(shù).

設(shè)計意圖 通過直觀觀察，進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解，并鍛煉他們的數(shù)學(xué)表達(dá)技巧.

例2 判斷下列命題的真假：

（1）如果對于區(qū)間（0，+∞）上任意x，都有f（x）>f（0），那么函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù);

（2）x，x，x在區(qū)間（a，b）上，且當(dāng)xxx時，f（x）f（x）f（x），則函數(shù)f（x）在（a，b）上是增函數(shù).

師生活動：教師鼓勵學(xué)生利用畫圖或舉例的方式來闡釋. 對于第（1）問，忽視了“任意兩個”這一關(guān)鍵條件，在區(qū)間內(nèi)選取單一值是不足以進(jìn)行比較的，因此無法討論函數(shù)的單調(diào)性;對于第（2）問，忽視了“都有”這一關(guān)鍵條件，即便在區(qū)間內(nèi)取多個值，也無法確保函數(shù)的單調(diào)性.

設(shè)計意圖 通過深入的思考和辨析，加深學(xué)生對“任意兩個”和“都有”等關(guān)鍵條件的理解，從而深化他們對函數(shù)單調(diào)性概念的認(rèn)識，并提升他們的思辨能力.

例3 物理學(xué)中的玻意耳定律為P=（其中k為正常數(shù)），即對于一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，體積V減小，其壓強P增大. 請用函數(shù)的單調(diào)性加以證明[1].

師生活動：教師先安排時間讓學(xué)生獨立思考，隨后引導(dǎo)學(xué)生集體完成證明過程. 具體證明過程如下：

設(shè)V，V是定義域（0，+∞）上的任意兩個實數(shù)，且VV，則P（V）-P（V）=-=k·，V，V∈（0，+∞），VV>0. 由VV，得V-V0. 又k>0，所以P（V）-P（V）>0，即P（V）>P（V）. 所以，函數(shù)P=（V∈（0，+∞））是減函數(shù). 也就是說，對于一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，體積V減小，其壓強P增大.

設(shè)計意圖 通過例題的講解和方法步驟的歸納，進(jìn)一步加深學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解，提高學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力.

4. 總結(jié)反思，提高認(rèn)識

問題11 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？你有哪些收獲？還存在哪些問題？

師生活動：教師安排時間讓學(xué)生回顧、反思和交流，隨后鼓勵學(xué)生進(jìn)行互動和展示.

設(shè)計意圖 通過總結(jié)和反思，進(jìn)一步深化學(xué)生對相關(guān)知識和思想方法的理解，豐富其知識儲備，并優(yōu)化其認(rèn)知結(jié)構(gòu)，致力于提升學(xué)生的認(rèn)知水平.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在概念教學(xué)中，教師需認(rèn)真分析教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情，結(jié)合教學(xué)實際創(chuàng)設(shè)有效的問題，以充分激發(fā)學(xué)生的主體性，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生明白“學(xué)習(xí)的內(nèi)容”，掌握“學(xué)習(xí)的方法”以及“達(dá)到的學(xué)習(xí)深度”，從而提升他們的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1] 王征國.再談初高中數(shù)學(xué)的銜接教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：以高一《函數(shù)的單調(diào)性》教學(xué)為例[J].課程教育研究，2018（21）：150-151.