立足學(xué)生發(fā)展 提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[摘 要] 新課標(biāo)強調(diào)學(xué)生的全面發(fā)展及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實. 基于這一目標(biāo)，教師需及時更新教學(xué)理念，以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)機制，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)知識的形成過程，充分挖掘?qū)W生的主體潛能，以促進其長期發(fā)展. 在講授等比數(shù)列的定義及其通項公式時，教師應(yīng)以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)，以學(xué)生發(fā)展為重心，精心策劃教學(xué)流程，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方式進行分析、探索和歸納，從而逐步增強學(xué)生的綜合能力和素養(yǎng)，提升教學(xué)有效性.

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);等比數(shù)列;類比

作者簡介：包洪乾（1981—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標(biāo)）的發(fā)布，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)已成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的核心任務(wù). 對于每位數(shù)學(xué)教師來說，如何在繼承數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)的同時，為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展探索新的路徑，是一個需要在教學(xué)實踐中不斷學(xué)習(xí)、思考和反思的問題. 作者認為，鑒于新課標(biāo)已經(jīng)明確指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)，當(dāng)前的教學(xué)活動應(yīng)以此目標(biāo)為導(dǎo)向. 同時，必須認識到學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展是學(xué)生個人的事情，教師的所有努力最終都應(yīng)服務(wù)于學(xué)生的實際需求. 因此，只有堅持以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對知識積累和核心素養(yǎng)發(fā)展的內(nèi)在動力，才能確保核心素養(yǎng)的真正落實.

等比數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，同時也是高考中的關(guān)鍵考查點. 在講授等比數(shù)列時，筆者依據(jù)學(xué)生的已有知識和經(jīng)驗，精心設(shè)計了一系列探究性問題，旨在引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識的形成過程. 現(xiàn)將教學(xué)設(shè)計過程分享給大家，供參考. 若有不足，請指正.

教學(xué)分析

1. 教材分析與學(xué)情分析

等比數(shù)列是緊隨等差數(shù)列之后，又一基礎(chǔ)且普遍的數(shù)列類型，它標(biāo)志著對數(shù)列知識的進一步深入探究與拓展. 等比數(shù)列與等差數(shù)列雖共享諸多相似性質(zhì)，但二者間亦存在顯著差異. 在對等比數(shù)列進行研究時，可將其與等差數(shù)列進行類比，以此歸納等比數(shù)列的概念，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

從學(xué)生的知識基礎(chǔ)出發(fā)，他們在學(xué)習(xí)等比數(shù)列時，不僅可能喚醒大腦中與等比數(shù)列相關(guān)的、但尚未用專業(yè)數(shù)學(xué)語言表述的直覺經(jīng)驗，還可能激發(fā)基于等比數(shù)列規(guī)律的規(guī)律性思維. 對于高中生而言，掌握基本的等比數(shù)列通常不是難題，他們往往能夠迅速識別其中的規(guī)律，并用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進行描述. 因此，在教學(xué)過程中，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的這一實際能力，采取循序漸進的教學(xué)策略，以促進學(xué)生在等比數(shù)列知識構(gòu)建上的優(yōu)秀表現(xiàn). 這不僅有助于數(shù)學(xué)知識的積累，而且對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，具有重要的積極影響.

2. 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解和掌握等比數(shù)列的定義，了解公比、中項的概念;

（2）精通等比數(shù)列的通項公式及其推導(dǎo)過程，并能夠運用該公式解決實際問題;

（3）通過類比探究，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理的能力，以提升其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

3. 教學(xué)重點和難點

（1）掌握等比數(shù)列的定義及其通項公式;

（2）應(yīng)用等比數(shù)列的定義及其通項公式.

教學(xué)過程

1. 回顧舊知，引出主題

問題1 我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的哪些內(nèi)容？當(dāng)時我們是如何研究的？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生歸納總結(jié).

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的相關(guān)知識，為掌握等比數(shù)列的定義及其通項公式提供必要的知識準(zhǔn)備.

情境1 曾有一位數(shù)學(xué)家說過，如果將一張紙對折38次，他就可以順著紙爬到月球上去. 那么，每次對折后紙張的層數(shù)是多少？真的有那么長嗎？

師生活動：學(xué)生動手操作，思考交流.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生動手操作，發(fā)現(xiàn)蘊含其中的規(guī)律，為等比數(shù)列的引入積累感性素材. 同時借助情境讓學(xué)生感受數(shù)列在生活中的實際應(yīng)用，為后續(xù)等比數(shù)列求和埋下伏筆.

2. 自主探究，提升能力

問題2 觀察下列數(shù)列，看看它們有何共同特點. 結(jié)合等差數(shù)列的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能用數(shù)學(xué)語言來表示共同特點嗎？

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

設(shè)計意圖 借助實例引導(dǎo)學(xué)生對比觀察、歸納總結(jié)，自然引出新課程——等比數(shù)列.

問題3 對比等差數(shù)列和等比數(shù)列，請說一說，兩者有何異同呢？

師生活動：問題給出后，學(xué)生積極互動交流，明確兩個數(shù)列的后項與前項存在某種數(shù)量關(guān)系，在等差數(shù)列中，這個數(shù)量關(guān)系是通過作差來呈現(xiàn)的，而在等比數(shù)列中，則是通過作商來呈現(xiàn)的.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生對比等差數(shù)列和等比數(shù)列的異同，有效溝通新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，為引出等比數(shù)列的定義做鋪墊.

問題4 類比等差數(shù)列的定義，你能給等比數(shù)列下定義嗎？

師生活動：教師在課堂上點名，要求學(xué)生闡述等差數(shù)列的概念，并通過PPT展示其定義. 隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方式進行推理和總結(jié). 最終，教師對學(xué)生的歸納進行點評，并正式給出等比數(shù)列的定義.

設(shè)計意圖 通過類比讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、分析問題的能力. 同時，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷思考、交流、歸納等學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生突破本節(jié)課的重難點問題，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力[1]. 另外，教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言進行歸納總結(jié)，讓學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)謹(jǐn)性和簡潔性. 這樣不僅能夠提高學(xué)生的歸納概括能力，還能增強他們的語言表達能力，進而提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

問題5 對于下列三個等比數(shù)列，請分別說一說它們的首項是什么、公比是什么. （教師又給出問題2中的三個數(shù)列讓學(xué)生進一步觀察、分析）

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

師生活動：問題提出后，教師點名讓基礎(chǔ)稍顯薄弱的學(xué)生來回答.

設(shè)計意圖 借助練習(xí)了解學(xué)生對等比數(shù)列首項、公比等概念的掌握情況，從而為接下來研究等比數(shù)列的通項公式提供知識準(zhǔn)備.

問題6 下列數(shù)列是否為等比數(shù)列？如果是，請給出它的首項和公比;如果不是，請說一說你的理由.

（1）243，81，27，9，…;

（2）1，-，，-，…;

（3）1，0，1，0，…;

（4）2，2，2，2，….

師生活動：教師先讓學(xué)生獨立辨析，然后組織學(xué)生集中討論，最后總結(jié)歸納出如下結(jié)論. ①在等比數(shù)列中，每一項和公比q都不為0;②求公比q必須是后一項除以前一項;③若數(shù)列{a}的公比q=1，則{a}不僅是等比數(shù)列，還是等差數(shù)列和常數(shù)數(shù)列.

設(shè)計意圖 通過實例進行思考和辨析，進一步加深學(xué)生對等比數(shù)列定義的理解. 同時，在此過程中，教師通過特例引導(dǎo)學(xué)生進行歸納總結(jié)，明確一個數(shù)列是等比數(shù)列的限定條件，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，并培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和深刻性.

情境2 年初，小明的媽媽在一家銀行存入了一萬元人民幣作為定期存款，存款期限定為一年，年利率為1.9%. 請問當(dāng)存款期滿時，小明的媽媽可以提取多少錢？如果次年本金和利息自動續(xù)存（年利率不變），那么10年后，小明的媽媽能夠提取多少錢？（只列式子不計算）

設(shè)計意圖 以生活情境為背景，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)與日常生活的緊密聯(lián)系，引導(dǎo)他們利用新知解決問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，并提高他們分析和解決問題的能力.

3. 深入探究，應(yīng)用鞏固

問題7 試猜想下列等比數(shù)列的通項公式.

（1）2，4，8，16，…;

（2），，，，…;

（3）0.1×2，0.1×22，0.1×23，…，0.1×227.

師生活動：教師先讓學(xué)生猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程，以此引發(fā)學(xué)生推導(dǎo)等比數(shù)列通項公式的熱情. 學(xué)生通過合作探究，得到以下推導(dǎo)過程：=q，=q，=q，…，將各式左右相乘，得···…·=qn-1，所以等比數(shù)列的通項公式為a=aqn-1. 在推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項公式之后，教師指導(dǎo)學(xué)生運用該公式表達上述等比數(shù)列的通項，并鼓勵他們對比自己的解答與先前的假設(shè). 該過程旨在讓學(xué)生深刻體驗數(shù)學(xué)建模的實際優(yōu)勢，并激發(fā)他們對數(shù)學(xué)建模的興趣和意識.

設(shè)計意圖 引導(dǎo)學(xué)生親歷觀察、猜想、類比等過程，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項公式，從而培養(yǎng)他們的推理能力和合作意識.

問題8 類比等差數(shù)列的中項及其公式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動：教師利用特例引導(dǎo)學(xué)生觀察、交流和歸納，使學(xué)生得到等比數(shù)列中項的定義及其公式.

設(shè)計意圖 通過類比探究，培養(yǎng)學(xué)生的推理與總結(jié)歸納能力，引導(dǎo)他們以發(fā)展的眼光分析問題，從而增強其數(shù)學(xué)思維能力.

4. 課堂練習(xí)，加深理解

為了進一步加深學(xué)生對等比數(shù)列及其通項公式的理解，教師從教學(xué)實際出發(fā)，設(shè)計以下練習(xí)：

（1）已知等比數(shù)列的第3項是12，第4項是18，求該數(shù)列的第1項和第2項;

（2）已知等比數(shù)列的首項是1，公比是3，求該數(shù)列的第6項及通項;

（3）在等比數(shù)列{a}中，已知a=3，q=2，a=24，求n;

（4）在等比數(shù)列{a}中，已知a=6，a=48，求a，q和a;

（5）對于情境2，請問第15年可取多少錢？你能寫出它的通項公式嗎？

師生活動：教師鼓勵學(xué)生獨立完成問題解答，并展示他們的思考過程. 解答完畢后，教師指導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，明確通項公式中各個變量的含義，并體會方程思想方法的實際應(yīng)用.

設(shè)計意圖 指導(dǎo)學(xué)生運用等比數(shù)列的通項公式來解決實際問題，深化他們對等比數(shù)列通項公式的掌握，體會方程思想方法的重要性，從而提高學(xué)生的思維品質(zhì).

5. 課堂小結(jié)，升華認知

問題9 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

設(shè)計意圖 教師激勵學(xué)生以小組合作的形式進行探索性學(xué)習(xí)，整理相關(guān)知識和思維策略，以此培養(yǎng)他們的表達技巧和總結(jié)概括能力.

教學(xué)思考

1. 精心設(shè)計，落實素養(yǎng)

新課標(biāo)強調(diào)，高中數(shù)學(xué)教師不僅要關(guān)注學(xué)生對知識和技能的掌握情況，更要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和思維能力的發(fā)展情況;不僅要讓學(xué)生學(xué)會知識，更重要的是要讓學(xué)生會學(xué)知識，促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落實[2]. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識生成的過程，從而落實“四基”、發(fā)展“四能”，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng). 實際上，從數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素的視角來審視等比數(shù)列知識的教學(xué)，我們可以發(fā)現(xiàn)，在問題驅(qū)動下，學(xué)生進行思考時，往往伴隨著對等比數(shù)列相關(guān)知識的關(guān)注. 這些知識中許多與現(xiàn)實生活緊密相連，因此，它們可以作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效載體. 在構(gòu)建和理解等比數(shù)列的過程中，學(xué)生的思維參與至關(guān)重要，這自然促進邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展. 當(dāng)學(xué)生借助數(shù)學(xué)語言去理解、表達和應(yīng)用等比數(shù)列時，他們的數(shù)學(xué)建模能力能得到有效的提升. 此外，等比數(shù)列的學(xué)習(xí)和應(yīng)用所涉及的數(shù)學(xué)運算，為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的實踐提供了堅實的基礎(chǔ).

2. 以生為主，提升能力

學(xué)生是課堂教學(xué)的主體，因此教學(xué)中需要預(yù)留充足的時間讓學(xué)生獨立思考和合作探究，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高他們的數(shù)學(xué)能力. 在本節(jié)課教學(xué)中，教師從學(xué)生現(xiàn)有認知水平出發(fā)，精心設(shè)計問題，充分調(diào)動學(xué)生參與課堂的積極性，讓學(xué)生在解決問題的過程中獲得知識、提升技能、發(fā)展素養(yǎng). 在多個教學(xué)案例研究的過程中，筆者均發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)必須以學(xué)生為中心，確保學(xué)生真正成為教學(xué)的主體. 只有當(dāng)教學(xué)以學(xué)生為主體時，才能清晰地梳理教學(xué)邏輯，并確保教師精心準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容有效地轉(zhuǎn)化為學(xué)生的素養(yǎng)和能力. 因此，堅持“以生為主”去提升能力，就可以奠定核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ).

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)學(xué)會從學(xué)生的角度思考和提出問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、交流、歸納等過程，鼓勵學(xué)生類比探究，讓學(xué)生在獲得知識的同時，建構(gòu)知識體系，提高邏輯推理、歸納概括、數(shù)學(xué)遷移等能力和素養(yǎng)，從而促進全面發(fā)展.

參考文獻：

[1] 李永永.將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透于概念教學(xué)中：以“排列”的概念教學(xué)為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（18）：31-32.

[2] 繆勇. 提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)有效性的方法[J]. 試題與研究，2022（24）：23-25.