構建自主探究課堂 促進學生思維進階

[摘 要] 數學教學是數學思維教學，課堂教學應立足學生數學思維的發展，為學生提供獨立思考和合作探究的時間和空間，引導學生主動參與知識建構，培養學生的理性思維，讓學生習得終身受益的關鍵能力. 在具體實施過程中，教師應從學生的角度出發，精心構建由淺入深、逐步精細化的思維框架，鼓勵學生積極主動探究新知，從而實現深度學習，提高學生的思維能力，落實數學學科核心素養.

[關鍵詞] 自主探究;數學思維;理性思維;數學學科核心素養

作者簡介：徐金蘭（1975—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作.

高中數學教學的重要任務之一，就是促進學生的思維發展. 站在學生的角度看思維發展，也就意味著思維從低階走向高階. 擺在數學教師面前的重要課題之一，是如何促進學生的思維進階. 顯而易見，學生的思維發展主要在課堂上進行，而課堂教學設計的質量直接決定學生思維境界的高度. 思維進階是學生自己的事情，學生只有在充分體驗、主動學習的過程中才能實現思維進階，這就需要教師構建能夠保障學生自主定位、能夠讓學生主動探究的課堂. 因此，自主探究課堂的構建與學生思維能力的提升之間存在著直接的因果聯系. 教師必須設計出具有鮮明自主性和探究性的課堂環境，以便為學生的思維能力提升奠定堅實的基礎. 接下來，從解決問題的角度出發，探討筆者的一些實際操作和思考.

問題提出

高中數學中的問題常常以習題的形式出現，習題解答的過程很大程度上對應著問題解決的過程. 解析幾何以其鮮明的數形結合思想和對數學知識方法的廣泛包容性，成為反映學生思維水平的有效工具. 相應地，其教學活動能夠成為推動學生思維能力提升的關鍵途徑. 在解析幾何的學習過程中，學生應被賦予自主探索的空間，這同樣為教師在教學設計與執行方面提供了重要的指導思路.

例題 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，且過點

，

，點P為橢圓上一點， 且點P在第四象限，點A，B分別為橢圓的左頂點和上頂點，連接PA，PB，分別交坐標軸于點C，D.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）求△PCD面積的最大值.

例題是一道典型的解析幾何題，此類題目在平時教學中重點講解并練習過，但是從模擬考試效果來看，未達到預期效果. 考試后統計本班學生的得分結果，發現大約60%的學生在第（1）問中得到了滿分，而第（2）問的得分情況并不理想，幾乎沒有人能夠拿到滿分. 認真分析學生的試卷，并與部分學生進行訪談，發現學生在解題過程中存在以下幾個問題.

第（1）問，大多數學生能根據已知條件構建關于a，b，c的方程組，不過在解方程組的過程中，部分學生因為運算錯誤而沒有得到答案. 當然，也有學生對離心率及a，b，c之間的對應關系的理解不夠深刻，沒有形成正確的解題思路.

第（2）問是一個動點問題，部分基礎較為薄弱的學生看到動點問題就出現了畏難情緒，所以直接放棄解答;也有部分學生選擇引入點P的坐標，但是引入后卻不知道如何表示△PCD的面積（即使表示出來也不知道如何轉化為代數式求最值），從而半途而廢;還有學生在解題時選擇設直線PB的斜率為k，試圖通過與橢圓方程聯立，從而求出點P的坐標，但是因為感覺運算煩瑣，未能進行到底.

從上述反饋來看，學生在解決此類問題時沒有形成適度模式化操作的經驗模塊，解題思路單一，數學運算能力不高，邏輯推理能力低下，缺乏轉化與化歸和數形結合思想. 因此，教學中有必要“借題發揮”，充分挖掘題目背后的價值，助力學生提升解題能力，發展高階思維能力，促進學生數學學科核心素養的自然生成.

問題解決

師：題設信息中出現了離心率、對于這一條件，我們在解題時一般如何處理？

生1：由于離心率e=，因此可以得到a，c之間的關系.

生2：也可以由=1-e2得到a，b之間的關系.

生3：橢圓的離心率可以轉化為a，c或a，b的比值，也可以將其看成直角三角形中一個銳角的三角函數值.

師：說得非常好，至于最終轉化為何種形式，需要結合題設中的其他信息做進一步的選擇. 對于例題，你們認為如何轉化可以達到簡化運算的效果呢？

教師預留時間供學生復習，最終明確：對于本題而言，將離心率轉化為a，b之間的關系，顯然比建構關于a，b，c的方程組更高效，可以有效降低運算成本，提高解題效率.

教學說明 對于第（1）問，部分學生之所以沒有得到正確的答案，一是學生的計算能力較弱，二是在理解及處理離心率方面有所不足. 基于此，在講解第（1）問的過程中，教師通過創設開放性問題引導學生回顧離心率的處理方法，以此激活學生已有的認知經驗，幫助學生構建完善的思維體系，提高學生分析和解決問題的能力. 另外，學生得到多種轉化方法后，教師預留時間供學生思考最優方式，以此培養學生的最優意識，有效提升解題效率，促進學生高階思維的發展.

師：你們認為解決第（2）問的關鍵點在哪里？

生4：把△PCD的面積表示出來.

師：很好. 那么，應如何表示呢？

（教師預留時間供學生思考，并交流自己的想法，以便學生通過再探究找到解題的突破口. ）

生5：最初我是這樣想的：先求出線段CD的長，再求出點P到CD的距離，最后表示出△PCD的面積. 不過沒有成功.

生6：我想分別求出線段PC，PD，CD的長，然后利用海倫公式表示出△PCD的面積，但感覺用這種方法運算比較煩瑣.

生7：能不能求出PC，PD的長以及∠P，用PC·PDsinP表示△PCD的面積呢？

師：看來△PCD面積的表示方法真是多種多樣，不過，不同的表示方法的運算量有所不同. 解題時不要急于動筆，應該先合理預判解題方法，以免誤入歧途，影響解題效率. 在解決該題時，我們先要考慮如何簡約表示△PCD的面積，以便合理引入參數，高效解決問題. 你們認為如何表示△PCD的面積更簡約呢？

生8：點P是一個動點，點C，D隨著點P的運動而運動，因此不妨設點P的坐標，將△PCD的面積用點P的坐標表示出來.

師：具體如何表示呢？

生8：已知橢圓的標準方程為+y2=1，易求點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（0，1）. 設P（x，y），C（0，m），D（n，0），又P，A，C三點共線，所以=. 同理，點P，B，D三點共線，所以=. 所以，m=，n=. 所以，S=S-S=·AD·

y-AD·

y=

+2

·

-y

. 我做到這里就沒有繼續下去了，感覺運算太復雜了，很難求出其最值.

師：生8雖然沒有得到最終結果，但是在求C，D坐標時用到了“三點共線”這個定理，非常精彩. 在考試過程中，也有許多同學采用了與生8同樣的思路，不過在處理二元分式時遇到了困難，最終半途而廢. 難道該方法真的行不通嗎？

生9：通分后可得

=·.觀察這個分式不難發現，它是由x-2y+2和-xy組成的. 如果能夠找到它們之間的聯系就好了.

師：很好，它們之間會有怎樣的聯系呢？結合橢圓方程的結構特征，看看可以如何轉化呢？

（教師預留時間供學生思考，很快就有學生有了新的發現.）

生10：（x0-2y0+2）2=（x+4y+4）+4（x0-2y0）-4x0y0=4（x0-2y0+2）-4x0y0，令t=x0-2y0+2≤+2=2+2，則-x0y0=-t，S=·=·=·（t-4）≤（2+2-4）=-1，當且僅當x=，y=-時取等號. 所以，△PCD面積的最大值為-1.

師：非常好，從整體出發，通過換元、消元等運算，構造單元函數，順利地解決了問題. 整個過程思路清晰、運算嚴謹，展現了較強的分析和推理能力.

教學說明 數學課堂是學生的舞臺，只有當學生積極參與時，課堂才能發揮最大的效用. 在教學中，若教師直接將自己所理解的“最優答案”拋給學生，學生或許能夠理解這個“最優答案”，但由于缺乏思考和探索的過程，他們很難形成深刻的印象. 這很容易導致“懂而不會”情況的發生. 基于此，教師應從學生的視角出發，重視呈現學生的思考過程，順應學生的思維進行適度的啟發和點撥，以此幫助學生突破思維障礙，重拾解題信心，提升教學有效性.

師：以上方法雖然能夠順利地解決問題，但是雙變量最值問題處理起來過于復雜，對運算能力的要求較高，很容易陷入思維瓶頸. 那么，有沒有其他方法呢？

生11：結合已知條件，不妨設直線PB的方程為y=kx+1

. 這樣便轉化成了單變量最值問題，但是其結構比較復雜，我不知道接下來該如何計算.

師：思路非常清晰，在解題時充分考慮了隱含條件k<-，可見生11考慮問題非常周到. 這里一定要設直線PB的斜率嗎？是否可以設直線PA的斜率呢？（學生積極思考）

生12：可設直線PA的斜率為k，不過將其與橢圓方程聯立，所得方程不缺常數項，這樣在求點P的坐標時需要因式分解，顯然比設直線PB的斜率更復雜.

師：很好，通過對比分析易于發現，生11所用的方法是一個優秀的方法，不過，為什么在最后化簡時會遇到困難呢？是否可以簡化呢？

生13：m=可以進一步化簡，得到m=. 將其代入面積表達式可得S= -2·. 令t=1+2k<0，則f（t）=2≤2×=-1，當且僅當k=時取等號. 所以，△PCD面積的最大值為-1.

師：很好，看來運算時要多觀察、多分析，這樣能達到優化運算的效果.

教學說明 在明確目標的指引下引導學生積極參與解題過程，有利于培養學生的理性思維習慣，促進學生的思維向高層次進階.

問題解決后，教師預留時間讓學生將以上兩種方法進行對比分析，進一步體會兩種方法的優勢和不足，通過有效反思和歸納，幫助學生形成解決此類問題的一般思路，提高學生分析和解決問題的能力. 當然，對于本題，其解法并不局限于以上兩種，教師還可以啟發運用化動為靜、數形結合、化歸與轉化等思想方法來探索問題，以此通過多角度探索，幫助學生突破思維障礙，提升學生的解題能力，增強學生的解題信心.

教學思考

在解析幾何問題面前，學生常常會有這樣的感受：一聽就會，一做就錯. 那么，在學習過程中，為什么會出現這種現象呢？其實這與教師的教學方式和學生的學習方式息息相關. 從“教”的角度來看，部分教師習慣以自己的主觀意識為出發點，將自己認為的最優解題方法“灌輸”給學生，導致學生缺乏獨立思考和自主探究的經歷，難以達到深刻的理解，使得學生在遇到相似的問題情境時依然一籌莫展. 從“學”的視角分析，受傳統講授式教學模式的影響，學生容易對教師產生依賴. 在教師的帶領下，學生能夠很漂亮地解決問題，但是獨立求解時卻束手無策. 另外，師生為了追求解題速度，常常在形成解題思路后便急于探索后面的問題，而忽略了對運算能力的有效訓練，使得學生在運算過程中漏洞百出，直接影響解題效果. 因此，在實際教學中，教師要改變傳統的教學模式，給學生更多的時間展示自己，讓學生在探究中逐漸完善自己，切實提升學生的解題能力，發展學生的數學學科核心素養.

總之，在高中數學教學中，教師不要急于求成，應關注學生的認知起點，合理創設問題進行適度的啟發和指導，充分發揮學生的主體價值，這是學生在課堂上具有自主性的保障;讓學生親歷問題發現、分析、解決等過程，以此幫助學生積累豐富的活動經驗，這是學生在課堂上具有探究性的保障. 在確保學生數學學習的自主性和探究性的同時，他們便能在學習過程中有效地克服思維障礙，進而推動自己的思維向更高層次發展.