啟發引領思考 探究提升能力

[摘 要] 探究性學習是培養學生創新能力，激發學生學習興趣，提高教學效率的有效途徑. 在實際教學中，教師應以學生為主體，根據學生的實際學情有目的、有針對性地進行啟發和引導，讓學生在由無到有的探究中學會思考、學會提問、學會學習，從而提升學生的數學綜合能力和綜合素養.

[關鍵詞] 探究性學習;啟發;指導

作者簡介：葛占軍（1972—），本科學歷，中學高級教師，從事高中數學教學與研究工作.

探究性學習是一種創新的學習模式，其核心在于，在教師的引導下，學生通過自主探索，尋找解決問題的策略，掌握學習技能. 在高中數學課堂中實施探究性學習，有助于學生更深入地掌握所學知識，并且更有效地推進學生對相關概念的理解，進而顯著提升教學品質和成效. 在教學中，若教師直接將知識灌輸給學生，未能為學生提供充足的時間和空間以獨立思考和合作探究，則學生的“學”只能停留在淺層次的理解和識記上. 這種做法無法有效提升學生的自主學習能力，也無法促進其思維能力的發展. 因此，在高中數學教學中，教師應具備從學生角度出發的思想，為學生提供充足的時間和空間，以便他們能夠自主地進行探索和研究. 這種做法有助于提升學生的自主理解能力，并確保他們的學習能力得到持續的發展. 那么，在高中數學課堂中如何實施探究性學習呢？筆者以“三角函數的化簡與求值”為例，探討如何借助啟發式和引導式教學方法，激發學生進行探索性學習.

教學片段

三角函數的化簡與求值是學生在學習三角函數之后，通過具體的習題來檢驗其應用能力的重要內容. 從復雜的三角函數到簡潔的結果表征，其間需要的是學生嚴謹的邏輯推理，而學生的邏輯推理思路之所以能夠被激活，很大程度上又取決于對三角函數各種存在形式的基本判斷. 在對三角函數進行化簡并求值的過程中，雖然表面上看似僅是從函數表達式到數值結果的轉換，但實際上這一過程要求學生具備扎實的數學運算能力. 它不同于簡單的四則運算，后者往往可以通過思維自動化來完成. 相反，三角函數的化簡與求值往往需要依賴直覺思維和邏輯思維的雙重支持. 因此，針對三角函數的化簡與求值這一教學內容，教師應當重視培養學生思考能力的重要性. 通過科學且有效的引導，激發學生的思維潛能，使他們經歷深入的探究活動，從而培養出對三角函數的深刻理解和計算直覺. 具體過程如下：

1. 巧設例題，探尋基本解決方法

例1 求sin50°（1+tan10°）的值.

例題給出后，教師讓學生獨立求解. 大多數學生能夠順利解決例題，然而，有少數學生遇到了障礙. 在這種情況下，教師并未直接提供答案，而是啟發學生思考.

師：我們首先需要解決什么問題？

生1：通過切化弦或弦化切實現三角函數的恒等變形.

師：對于例1，你認為選擇哪種方法最佳呢？說說你的理由.

生2：原式是非齊次的，所以選擇切化弦最佳.

師：原式由此會變成什么？

生（眾）：sin50°

1+

.

師：這里的

1+

是“整式+分式”的形式，我們該如何處理？

教師啟發學生結合已有知識和經驗，通過通分的方式將分式化簡.

師：通分后，式子會變成什么？（教師讓學生動手化簡）

生3：sin50°·.

師：結合式子的特點，你能將它進一步化簡嗎？

生4：可以利用輔助角公式進一步化簡，得sin50°·=sin50°·=2sin50°.

師：非常好. 根據角之間的聯系，能否消除部分角度呢？

學生通過觀察易于發現，50°和40°互余，這樣式子就可以進一步簡化為2sin50°，由此減少了角的數量. 經過上述分析，借助二倍角公式和誘導公式，問題便能迎刃而解.

師：回顧以上求解過程，在處理問題時，我們應用了哪些策略或方法？你有何心得體會？

教師安排時間讓學生思考、交流.

生5：在簡化包含正弦和正切的表達式時，通常采用切化弦或弦化切的方法來處理. 因為本題涉及一個非齊次式，所以采用切化弦的方法.

生6：在處理“整式+分式”的表達式時，可以通過通分操作來簡化式子.

生7：在遇到“asinx+bcosx”的形式時，可以通過輔助角公式來簡化式子.

生8：如果式子中涉及多個角，應依據它們的特點，運用角之間的關系進行轉換. 例如，這里的50°和40°互余.

生9：掌握倍角公式和誘導公式對于靈活運用數學表達式并簡化計算過程至關重要.

在上述教學過程中，教師以學生已有的知識和經驗為基礎，通過創設“問題串”啟發學生思考，引導他們逐步接近學習目標. 這種方法旨在培養學生的理性思維能力，并推動他們向更高層次的認知發展. 同時，教師在啟發和引導學生的過程中，幫助他們形成正確的解題策略，并在成功解決問題后引導學生進行總結和歸納，使學生能夠更深入地理解此類問題的解決策略，從而增強學生的解題信心.

例2 求的值.

師：式子具有怎樣的特點呢？

生10：它是一個齊次式.

生11：有兩個未知角.

師：這兩個未知角具有怎樣的關系呢？如何減少角的數量呢？

學生通過觀察，發現了兩個等量關系：20°=2·10°，30°=10°+20°.

師：對于該題，你認為是選擇20°=2·10°這一等量關系，還是30°=10°+20°這一等量關系更佳呢？（學生積極思考）

生12：利用30°=10°+20°消除角度的差異時，需要注意一個關鍵問題：盡量讓式子簡單.

師：消除哪個角可使式子更簡單呢？

教師鼓勵學生獨立思考并動手操作，學生決定消除10°，得到====.

在教學中，一旦學生構建起基本的解題框架，教師便引導他們親自實踐操作. 一方面培養學生的運算能力，另一方面讓學生充分體驗成功，增強學生的學習信心.

師：當以后遇到需要解決角度差異的問題時，我們還要關注哪些要點？

通過追問讓學生知道消除角度并不是隨意而為之，而是盡量使式子更簡單.

例1和例2的解決，避免了機械性的灌輸和簡單的模仿，而是通過啟發和引導，使學生逐步掌握了解決“三角函數求值問題”的基本方法. 在這一過程中，學生不僅明白了如何操作解法，還理解了解法背后的原理. 這有助于使學生的思維變得有序，并促進知識的內化.

分析上述兩個案例可以發現，問題的設計以及解題方法和技巧的把握，實際上貫穿了三角函數化簡與求值的整個過程. 進一步分析還可以發現，問題的設計主要針對教師（盡管在學習過程中，學生有時也會提出有價值的問題），而解題方法和技巧的把握則更多面向學生（盡管需要教師的指導）. 因此，緊密圍繞“問題”和“解題策略”這兩個核心要素來開展三角函數簡化和求值的教學，是確保教學關系得以建立，確保學生在學習過程中提升能力和素養的關鍵. 實際上，在上述案例中，通過教師精心設計的問題和教學過程中的逐步引導，學生確實在掌握了三角函數的基礎知識后，能夠迅速培養出關于三角函數簡化與求值的基本直覺，這為后續進一步提升解題技巧打下了堅實的基礎.

2. 自問自答，開發自身潛能

在研究上述兩個例題時，通過教師的啟發和引導，學生建立了解決此類問題的通用思路框架. 在此基礎上，教師可以鼓勵學生主動提出問題，以此培養他們的問題意識，并提升他們的自主學習能力.

例3 計算2sin20°+cos10°+tan20°·sin10°值.

在教學中，教師激勵學生通過自我提問和自我回答的方式，開啟探索的旅程. 這種方法旨在讓學生體驗解決此類問題的思維過程，從而提升他們發現、分析和解決問題的能力. 學生獨立思考，教師則在旁巡視指導，隨后邀請學生分享他們的思考和見解.

教師鼓勵學生充當“小老師”，學生于是提出了以下問題：

問題1 例3是一個什么問題？具有怎樣的特點？該如何處理？

通過提示語，學生了解到這是一道涉及三角函數變換和化簡求值的題目. 題目中既有正弦、余弦，還有正切. 對于此類問題，可以采用切化弦的方法來解決.

問題2 這里的角有什么特點？它們之間存在怎樣的等量關系？

學生結合已有知識和經驗，得到如下等量關系：①20°=2·10°;②10°=30°-20°;③20°=30°-10°.

問題3 利用哪個等量關系消除角度更方便？

學生從式子的結構特征入手，認為使用“10°=30°-20°”來消除角度可使化簡后的式子相對簡單. 在形成解題思路后，教師安排時間引導學生親身實踐. 在實踐過程中，學生又提出了問題. 例如，在化簡得到式子3sin20°+·cos20°-·后，學生主動提出了疑問：對于含有整式和分式的式子，該如何處理呢？通過通分得到后，又該如何處理呢？根據式子的特點，不難想到使用倍角公式可以進一步簡化原式，得到，再利用輔助角公式得到. 因此，答案為.

在本環節中，教師采用“自問自答”的策略，鼓勵學生自主發現、探索和領悟，以充分激發他們的潛能，并增強他們持續學習的能力. 面對這類問題，解決方法并非一成不變. 教師在教學過程中應激發學生思考，引導他們從多角度分析和解決問題，并安排時間讓學生進行互動交流，從而加深對相關知識和方法的理解. 這有助于學生找到適合自己的解題策略，進而提高解題技巧.

值得注意的是，鼓勵學生“自問自答”旨在激發他們的內在學習動力. 這一點在數學學習中尤為關鍵. 在傳統數學教學中，教師主導課堂的情況較為普遍，這可能削弱學生的主體地位. 而讓學生“自問自答”則是一種有效手段，能幫助學生重新確立在課堂上的主體地位. 與其他教學策略相比，“自問自答”并不需要額外的時間和空間資源，它僅僅要求教師在角色上做出適當的轉換. 三角函數作為數學的基礎知識點，學生在學習和應用過程中往往會產生許多自主思考. 因此，“自問自答”能夠滿足學生思考的需求，并為他們提供充足的時間去整理和表達自己的問題. 這不僅符合數學學科核心素養中對數學語言應用的要求，也是培養學生數學學科核心素養的重要途徑.

教學感悟

在目前高中數學教學過程中，大多數學生在探索和自我驅動學習方面顯得不足，對教材內容的理解往往不夠深入和全面，導致他們在應用所學知識解決具體問題時顯得不夠靈活. 因此，教師在教學過程中應當提供更多的機會，引導學生進行獨立的探索性學習，以此來提高課堂的教學質量和效率，同時也有助于學生在數學邏輯和推理能力上的成長，以及學習技巧的增強.

1. 學會思考

數學學習的目的不僅在于掌握知識和方法，更在于培養思維方式. 在教學過程中，教師應從教學內容出發，結合實際情況，精心設計“問題串”，以引導和激發學生積極思考，從而改變學生被動跟隨教師思路的局面，提高教學效果. 然而，在高中數學教學中，部分教師往往傾向于使用傳統的講授法，導致思考和探究活動缺乏，使得學生的學習僅停在模仿階段，這不利于學生學習能力的提升. 鑒于此，教師在實際教學中應當引導學生通過自主探究，從無到有地發現并解決問題，使學生能夠學會獨立思考和學習.

2. 學會提問

眾所周知，單純依靠機械式的訓練，難以真正提升學生的解題能力. 在教學中，教師要充分發揮啟發者的作用，在關鍵節點提出問題，引導學生思考與探究. 例如，在探究例1時，部分學生因為不知道如何處理tan10°而陷入迷茫. 教師則從學生的最近發展區出發，適時地提出問題，引導他們運用切化弦的方法找到了解決問題的關鍵點. 又例如，在探究例2的過程中，在消除角度時，學生給出了“20°=2·10°”和“30°=10°+20°”這兩個等量關系. 這時，教師提出了一個問題，引導學生思考如何轉化才能達到最優解. 這樣做旨在讓學生認識到，消除角度的同時，還必須保證次數整齊，從而培養學生的整體意識. 在研究例3的過程中，教師鼓勵學生采用“自問自答”的方法來解決問題，旨在通過提問激發深層次的思考，并通過回答來鞏固和加強基礎技能.

綜上所述，在日常教學中，教師應充分尊重學生的主體地位，并引導他們通過自身的努力來彰顯這一地位. 這種努力主要表現在對數學知識的深入理解和實際應用，以及在形成、分析和解決數學問題的過程中. 在實際教學中，教師應避免急于向學生透露答案，而應設計一系列合理的問題，引導學生運用自己的方法解決問題，促使學生學會提問、思考，并掌握學習的技巧.