基于培養思維能力的單元整體教學實踐研究

[摘 要] 數學教學的關鍵是提高學生的數學思維能力. 單元整體教學設計強調知識的系統性和內在聯系，為提升學生數學思維能力提供了機會. 在教學中，教師應激發學生的主體意識，引導他們自主探究，并運用數學思維思考問題，從而提高學生解決問題的能力，提升他們的數學素養.

[關鍵詞] 單元整體教學;思維能力;數學素養

作者簡介：李大志（1986—），本科學歷，一級教師，從事高中數學教學與研究工作.

目前，數學課堂的教學方法和手段經歷了顯著的變革，更加注重培養學生的自主學習能力和數學思維能力. 然而，在傳統教學中，普遍存在重視思維結果而忽視思維過程的問題，這限制了學生思維能力的發展. 在數學教學中，大多數教師會安排學生自主探究以掌握知識和技能，但這種探究通常在教師的引導下進行，限制了學生思維的自由，使得探究活動僅限于表面. 那么，應如何有效地提高學生的數學思維能力呢？筆者認為，采用單元整體教學法是一種行之有效的方式. 本文從單元整體教學的視角出發，探討如何促進學生數學思維能力的提升.

教學分析

在學習本節課之前，學生已經掌握了同角三角函數的基本關系、誘導公式以及平面向量等知識，這為他們學習本節課打下了堅實的基礎. 然而，學生的邏輯推理能力是有限的，他們獨立發現并證明數學公式存在一定難度. 因此，在實際教學過程中，教師不僅要為學生營造獨立思考和合作交流的機會與環境，還要設計有效的問題來引導學生持續地提出問題并解決問題. 這樣，學生才能學會運用數學思維來分析問題，從而提高他們的數學思維能力.

在本節課的教學中，教師應從宏觀視角出發，幫助學生整合各個課時的內容，構建知識體系. 這樣，學生不僅能夠掌握兩角和（或差）的余弦公式，還能理解一系列相關公式，從而優化他們的認知結構，并提升思維能力和思維品質.

教學過程

1. 新舊溝通，引入主題

問題1 前面我們學習了誘導公式，你能列舉一二嗎？

師生活動：學生表示，教師板書.

問題2 觀察這些誘導公式，你有什么發現？

師生活動：學生通過觀察發現，它們都與任意角α的正弦值和余弦值有一定的關系.

問題3 誘導公式中的角是特殊角與任意角α的和（或差），那么，根據你的經驗，你認為接下來我們應該探討什么問題呢？

師生活動：在上述問題的引導下，學生很容易聯想到當兩個角均為任意角時，這兩角和（或差）的三角函數具有怎樣的恒等關系.

問題4 如果我們將誘導公式中的π，等特殊角，換成任意角β，那么α與β的和（或差）的三角函數是否也可以用α，β的三角函數來表示呢？如果可以，如何表示呢？

師生活動：學生根據他們的經驗清楚地認識到，α與β的和（或差）的三角函數可以用α，β的三角函數來表示，但他們不知道該如何表示. 因此，教師順利地引入了本節課的研究主題：研究“sin（α±β）= ？”“cos（α±β）=？”“tan（α±β）=？”.

設計意圖 教師以學生已經理解并掌握的誘導公式為基礎，運用從特殊到一般的思想方法，直接引入本節課的研究主題，有效激發了學生的探究興趣.

2. 合作探究，證明公式

問題5 我們應該采用怎樣的方法來研究這些問題呢？

師生活動：學生通過互動交流一致認為，上述幾組公式的研究方法應當是相互關聯的. 因此，只要掌握了一組公式的研究方法，并運用聯系與變換的方法，便能夠推導出其他公式. 這樣，研究的范圍便可以有效地縮小至研究“sin（α±β）=？”或“cos（α±β）=？”. 在此基礎上，學生結合學習經驗，聯想到將問題置于單位圓的背景下，利用三角函數的定義來展開研究.

問題6 你認為，選擇研究哪一個比較好呢？是sin（α±β），還是cos（α±β）？你猜想的結果是什么？

師生活動：教師鼓勵學生獨立思考，并嘗試進行猜想. 大多數學生提出的猜想如下：sin（α±β）=sinα±sinβ. 然而，學生引入特殊值進行驗證后發現，該猜想不成立. 根據課堂生成，教師追問道：展開式只與sinα和sinβ有關嗎？學生通過誘導公式能夠輕松地聯想到，展開式還可能與cosα和cosβ有關. 然而，它們之間具體存在何種關系，卻難以明確.

問題7 如果將α，β放入單位圓中，如何利用α，β構造α±β？三角函數之間具有怎樣的聯系呢？

師生活動：教師鼓勵學生在單位圓中構造α±β. 學生通過動手操作易發現，角α-β更易于研究，由此將研究范圍進一步縮小. 通過圖形的輔助，學生發現研究“cos（α-β）=？”更加便捷. 教師鼓勵學生運用他們所掌握的知識推導公式.

問題8 cos（α-β）=cosαcosβ+sinα·sinβ中的角是否有限制？該公式對任意角均成立嗎？

師生活動：學生通過引入特殊值進行驗證，發現該公式對任意角均成立.

問題9 幾何證明過程可能稍顯復雜，但若結合式子的結構特性想一想，在我們之前所學的知識中，是否遇到過角度的余弦值呢？

師生活動：教師啟發學生利用向量法證明公式（證明過程略）.

設計意圖 通過逐步引導，學生的思維得以螺旋式上升，充分體驗向量方法的強大效用，并在此過程中培養出思維的嚴謹性.

問題10 如何推導“cos（α+β）=？”“sin（α±β）=？”“tan（α±β）=？”？如果這里的α=β，你又能得到怎樣的結果呢？

師生活動：教師激勵學生以團隊合作的方式進行研究，共同解決上述問題. 在學生遇到挑戰時，教師給予恰當的指導. 最終，各團隊分享他們的發現和成果.

設計意圖 教師激勵學生將獨立思考與合作交流相結合，共同推導出其他公式. 通過親身體驗公式的推導過程，學生能夠更深入地理解相關知識和研究方法，從而促進知識體系的全面構建. 這種做法旨在提升學生的自主探究能力，培養他們的合作精神和數學學科核心素養.

3. 課堂小結，深化認知

問題11 在本節課的學習過程中，你獲得了哪些成果？請從知識掌握、思維啟迪、技能提升等多個維度分享你的感悟和體會.

師生活動：學生先獨立思考和歸納總結，隨后相互交流.

設計意圖 教師安排時間供學生進行反思和回顧，引導學生將學習內容、學習目的、學習方法以及學習成果等有效地串聯起來. 這樣的做法有助于學生理清問題的脈絡，深化對相關知識的理解，并促進學生知識結構的優化以及數學思維能力的提升.

教學思考

1. 關注知識的整體性和關聯性，培養學生思維的廣闊性

數學是一個整體，不同的數學知識之間存在重要的聯系. 數學學習的目的不僅在于讓學生掌握數學知識，更在于讓他們理解并溝通這些知識之間的內在聯系. 因此，在數學教學中，教師應當注重知識之間的邏輯聯系，深入分析、重組和整合那些具有內在聯系的內容，從而構建出更加完整的單元模塊. 這有助于單元教學順利進行，并能顯著提升課堂教學效果與學習質量，同時有效增強學生的數學思維能力.

例如本節課教學，教師打破了課時教學的束縛，以單元教學的視角提出大問題：如何用α，β的三角函數來表示α±β的三角函數？揭示了兩角和與差的公式屬于同一系統，使學生更加深刻地理解了知識間的內在聯系，并促進了知識的融會貫通.

將單個知識點融入到整個知識體系中進行研究，不僅能夠凸顯知識間的內在聯系，而且有助于提升學生的自主探究能力，有效培養學生思維的廣闊性和靈活性.

2. 關注學生的思維過程，培養學生思維的深刻性

眾所周知，數學知識可以通過講授來掌握，但數學能力和數學素養的培養則需要在學習實踐中不斷積累和體驗. 因此，單元教學設計應以學生為中心，注重展示學生的思維過程，引導他們經歷知識的生成過程. 通過親身實踐，學生的思維品質才能得以錘煉，思維能力才能得以提升.

例如本節課教學，在發現和推導公式的階段，教師以生為本，通過構建問題鏈引導學生聯想、猜想、證明和反思，鼓勵學生恰當地重構教學內容，合理地進行調整，以充分激發他們的主動性和積極性，從而促進其思維能力的發展. 例如，教師并未直接引導學生研究兩角差的余弦公式，而是通過提問的方式，讓學生自己去感悟“為何要先探討cos（α-β）”和“怎樣研究cos（α-β）”的問題，從而在不知不覺中增強學生的學習能力和思維能力. 當然，在探索的過程中，學生難免會遭遇諸多難題. 教師應適時提供指導，通過“教”與“學”的相互促進，助力學生的思維能力得以提升.

總之，在日常教學過程中，教師應深入研究教學材料，并擅長從宏觀角度出發，對教學內容進行恰當而合理的整合. 這樣做不僅能夠展示知識的完整性和內在聯系，還能協助學生構建全面的知識架構，并增強他們綜合運用所學知識解決問題的能力. 此外，教師還應創造條件，讓學生全面參與新知的探索過程，從而促進學生思維能力的發展.