單元整體教學背景下的數學教學實踐與探索

[摘 要] 隨著新課改的深入實施，單元整體教學的研究日益受到重視. 研究發現，單元整體教學能夠以知識與技能、學科素養、思想方法等為模塊進行設計. 文章以“圓錐曲線與方程”的教學為例，從舊知回顧、新知探索、知識應用以及課后拓展等方面，展開單元整體教學實踐與探索，旨在拋磚引玉.

[關鍵詞] 單元整體教學;圓錐曲線;探索

作者簡介：王丹（1992—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作，曾榮獲泰州優質課一等獎.

實施單元整體教學理念，主要遵循兩條主線：一是外顯的知識與技能，二是內蘊的思想方法或學科素養. 因此，單元整體教學被劃分為以知識與技能為主導的模塊和以思想方法或學科素養為主導的模塊. 本文以“圓錐曲線與方程”單元中的第二節課——橢圓的教學為例，從舊知回顧、新知探索、知識應用以及課后拓展等方面，展開單元整體教學實踐與探索.

單元整體教學的模塊設計

1. 以知識與技能為模塊的單元整體教學設計

新課標強調引導學生通過學習掌握適應發展的必需基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”）. 知識與技能雖然與數學學科核心素養之間存在顯著差異，但它們無疑是培養學生數學學科核心素養的關鍵媒介. 因此，教師應注重學生的“四基”情況，關注知識與技能對發展學生數學學科核心素養的作用.

圓錐曲線章節主要涵蓋了橢圓、拋物線和雙曲線等內容. 從知識與技能的角度分析，這三種曲線的知識結構彼此相近，它們之間存在著內在聯系，具有統一性的特征. 大多數教材采用“總—分—總”的結構，將這三個部分內容有效地融合在一起. 在教學設計時，教師應根據知識的特性和結構特征來構建教學框架（如圖1所示）.

2. 以思想方法或學科素養為模塊的單元整體教學設計

研究揭示，隨著時間的流逝，學生掌握的數學知識可能會逐漸模糊，然而，在學習過程中培養的思想方法和學科素養卻能為學生帶來持久的益處. 因此，數學教育的核心在于培養學生思想方法和核心素養. 在制定教學計劃時，教師應站在更高的視角，運用深刻的理論和思想來指導學生.

在圓錐曲線這一章節中，明線為知識的內在統一性，暗線為用代數法探索幾何問題以及數形的辯證統一. 因此，教師在授課過程中，可以從思想方法的角度出發，重新梳理教學內容，引導學生從宏觀的視角理解學科知識. 經過重新組織，本單元構建了逐步深入的教學目標（見圖2）.

教學分析

本節課是關于橢圓的第二課時，重點講解橢圓的四個基本幾何性質：范圍、對稱性、頂點和離心率. 這些性質是本單元乃至整個解析幾何領域不可或缺的基礎. 橢圓的研究源于對三種圓錐曲線的探討，通過方法的遷移，能夠探究雙曲線和拋物線的性質. 整個學習過程緊密圍繞橢圓的研究方法展開，凸顯了橢圓章節在數學學習中的基礎性和關鍵性. 它為深入研究曲線性質和提煉數學思想方法提供了重要支撐. 鑒于此，本節課的教學受到了筆者的特別關注. 接下來，筆者將向大家展示本節課的教學流程.

教學簡錄

1. 舊知回顧

師：大家一起回顧橢圓的定義與標準方程.

在學生口頭描述的基礎上，教師借助幾何畫板展示焦點分別位于x軸和y軸上的橢圓圖形. 邀請學生到黑板上板書：MF1｜+MF2｜=2a｜，｜F1F2｜=2c. 教師操作幾何畫板，將橢圓的兩個焦點重合于一點，使學生直觀感知橢圓是如何轉變為圓的.

設計意圖 建構主義理論認為，新知是在學生已有認知結構的基礎上逐步構建起來的. 依據這一理論，在課堂伊始，引導學生復習橢圓的標準方程及其圖形，有效地激活學生已有的認知結構，為他們理解并吸收新知打下堅實的基礎. 使用幾何畫板展示橢圓到圓的演變，幫助學生理解數學知識間的內在聯系. 這種教學設計體現了單元整體性的理念.

2. 新知探索

師：該怎樣研究橢圓的幾何性質呢？

生1：可從橢圓的圖形、標準方程等多個角度進行分析.

問題1 橢圓的大小由誰決定？

為了探索這個問題，教師指導學生利用幾何畫板繪制橢圓，并展示其特征三角形.

設計意圖 通過引導學生利用幾何畫板進行繪圖和分析，使他們在直觀的環境中更深刻地理解決定橢圓大小的因素. 這種教學設計不僅能揭示問題的結論，更關鍵的是它能培養學生的直觀想象能力. 學生將體驗到圖形的直觀性相較于代數方法更直接和易于理解，從而進一步促進他們發展數形結合思想方法.

師：通過操作幾何畫板并觀察橢圓圖形，分享一下你們的發現和收獲.

生2：橢圓一直處于矩形圈內，矩形的長就是橢圓長軸的長，矩形的寬則為橢圓短軸的長，由此可確定橢圓上點的橫坐標范圍為-a≤x≤a，橢圓上點的縱坐標范圍為-b≤y≤b.

師：這是通過肉眼觀察得出的結論，大家能否用代數方法來證明它呢？

設計意圖 此環節旨在引導學生從圖形出發，探索橢圓的范圍. 代數方法的應用意在驗證結論是否正確. 該證明并不復雜，通過簡單變形標準方程即可完成. 鼓勵學生合作交流并板演，旨在深化學生對這部分內容的理解，留下深刻的印象.

問題2 橢圓是不是對稱圖形？

通過幾何畫板的動態演示功能，學生可以觀察到橢圓圍繞x軸（見圖3）、y軸和原點旋轉（見圖4）的過程.

生3：觀察圖形的旋轉過程，發現橢圓關于x軸、y軸對稱，對稱軸為坐標軸，也關于原點對稱，對稱中心為原點.

設計意圖 通過對橢圓形狀及其旋轉的觀察，學生不僅確認橢圓是一個對稱圖形，而且還能理解其對稱性的本質，從而達到不僅知其然，而且知其所以然的深度理解.

師：幾何畫板所演示的圖形特性，能否利用代數方法加以證實？

設計意圖 當學生從“形”的角度對橢圓的對稱性有所了解后，再引導學生從“數”的角度分析橢圓的對稱性，旨在培養學生運用代數方法解決幾何問題，從而提煉出數形結合思想.

問題3 橢圓上存在哪些特殊的點？

學生獨立思考后合作交流，得出橢圓的頂點.

設計意圖 橢圓的頂點對學生而言，比較容易獲得與理解，此問意在激活學生的思維，引導學生客觀地表達自己的想法，教師僅需稍加點撥和整理即可.

生4：除了橢圓的頂點外，焦點也屬于特殊的點.

師：不錯！從橢圓的光學特性來看，當光線從一個焦點發射出來，經過橢圓的反射后，會匯聚于另一個焦點. 這是一個引人入勝的現象，有興趣的同學可以在課后進行探索并加以證明.

設計意圖 本節課不探討橢圓的光學特性，但會強調焦點的光學特性的重要性，并鼓勵學生課后進行研究，以培養他們的數學嚴謹性.

問題4 什么決定橢圓的扁平程度？

將學生依據學號的奇偶性分成兩組，指導學號為奇數的學生研究在相同坐標系中具有相同焦點但長軸長不同的橢圓;同時指導學號為偶數的學生研究在同一坐標系中長軸長相等但焦點位置不同的橢圓.

當學生自主完成指定任務后，教師借助幾何畫板動態演示以上兩類情況，并組織全班學生進行討論，獲得刻畫橢圓扁平程度的條件.

生5：如圖5所示，當c不變時，a越接近c，橢圓越扁平;如圖6所示，當a不變時，c越接近a，橢圓越扁平.

設計意圖 橢圓的離心率是一個相對抽象的概念，如果教師僅依靠講解來完成教學任務，可能會遇到一定的難度. 將課堂的主導權交給學生，鼓勵他們自主探究橢圓的扁平程度，可以進一步激發學生的學習興趣，并體現“以生為本”的教育理念，使學生對離心率有更深入的理解.

師：以上結論是大家結合圖象獲得的，有沒有哪位同學能用代數方法加以證明？

生6：利用a，c兩個基本量可以刻畫橢圓的扁平程度. 令橢圓的焦距與長軸長的比為e=，因為a>c>0，所以0<e<1. e越接近1，c越接近a，b就越小，橢圓就越扁平;反之，e越接近0，c越接近0，b越接近a，橢圓就越接近于圓.

設計意圖 該探究活動以學生為中心，旨在培養他們的探索精神. 通過積極參與探索過程，學生不僅體驗到了學習的成就感，還增強了自主發現新知的信心. 這種積極的體驗激發了他們對數學學習的濃厚興趣.

3. 知識應用

例1 求橢圓4x2+9y2=36的長軸長、短軸長，以及頂點坐標和離心率，同時畫出該橢圓.

設計意圖 本例題旨在讓學生理解將待求方程轉化為標準方程的重要性，這是解決相關問題的通用方法. 同時，本例題還旨在加深學生對橢圓知識的理解，為靈活應用提供基礎.

例2 分別求出滿足下列條件的橢圓的標準方程：①長軸長為12，焦點位于x軸上，離心率是;②橢圓過點Q（0，8）與P（-6，0）.

例3 分析橢圓8x2+y2=32和橢圓+=1的扁平程度，闡明理由.

設計意圖 前兩道例題展示了圓錐曲線的基本題型，旨在檢驗學生對橢圓幾何性質的理解程度;第三道例題旨在加深學生對離心率在描述橢圓扁平程度方面的認識，以鞏固知識基礎并構建一個完整的知識體系.

4. 課后延伸

學有余力的學生可以在課后進一步探究焦點的光學特性. 例如，設計并制作一個橢球形狀的鏡子，將其放置于日光下，仔細觀察焦點與橢球鏡之間的互動. 同時，可以在橢球鏡子的兩個焦點位置裝置發光的小燈泡，以便觀察產生的光學現象.

設計意圖 培養學生的創新意識是教師的重要職責，鼓勵有能力的學生探索光學特性，不僅能激發學生的學習興趣，還能提升他們的實踐和思維能力，對發展他們的探索能力至關重要，也是提升數學學科核心素養的關鍵途徑.

教學思考

單元整體教學是引導學生從宏觀視角審視問題的關鍵途徑，它對于揭示知識間的內在聯系，以及幫助學生構建全面的知識體系具有顯著的價值和深遠的意義. 以本節課為例，教師可以在課堂的最后階段，引導學生將所學內容按照知識模塊、方法模塊、數學思想模塊等進行系統化的梳理、總結和歸納（參見圖7），從而為深入研究其他曲線打下堅實的基礎.

通過研究橢圓，學生不僅學會了從方程與圖象的角度研究曲線性質的方法，還提升了自身的研究能力. 當然，每個知識點都有其獨特之處，這些需要在后續的學習中逐漸發掘. 總之，基于單元整體設計教學活動，教師必須始終將整體教學理念置于首位. 這樣，學生能夠自始至終體驗到新知與舊識之間的內在聯系，為構建一個完整的知識體系和培養數學學科核心素養

打下堅實的基礎.