關于圓錐曲線問題的易錯點的解析探究

[摘 要] 探究圓錐曲線問題的易錯點具有極高的教學意義，有助于學生深刻理解知識，規范解題思路，完善知識體系. 研究者對圓錐曲線問題的易錯點進行了深入分析，并結合具體實例進行了詳細探討，同時據此提出了針對性的教學建議.

[關鍵詞] 圓錐曲線;易錯點;討論;位置關系

作者簡介：陳其樓（1982—），本科學歷，高級教師，從事高中數學教學與研究工作.

探究綜述

圓錐曲線作為高中數學的重點知識之一，在歷年的高考試卷中均占有較高的分值，涵蓋的知識點眾多，既包括一般性的基礎知識點，也涉及選拔性的復雜知識點. 探究解析時需要教師引導學生全面總結歸納，關注其中的難點和易錯點. 建議結合實例開展易錯點的解析探究，引導學生清晰地識別易錯點的知識基礎，并掌握相應的處理技巧，以形成有效的解析策略.

圓錐曲線問題中存在眾多易錯點，導致解析錯誤的情況多種多樣，其中常見的有以下三類：

一是忽略了直線與雙曲線相交的特殊性. 例如，當直線與雙曲線相交時，雖然看似直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，但實際上，直線可能與雙曲線的同一支有兩個交點.

二是忽略了直線與拋物線特殊的位置關系. 在問題中，如果未明確指出兩者的位置關系，那么就需要依據給定的條件進行判斷.

三是忽略了對直線斜率是否存在的討論. 在處理圓錐曲線問題時，如果未明確指出直線斜率是否存在，那么必須考慮直線斜率不存在的情況，而不能直接假定其存在.

解讀指導

由于圓錐曲線問題中存在眾多易錯點，因此在探究復習時，教師應重點指導學生，詳細解讀這些易錯點，并指導他們掌握這些問題的解決方法.

易錯點1 忽略了直線與雙曲線相交的特殊性.

直線與雙曲線相交的特殊性容易被忽略.直線與雙曲線的綜合是數學中一個常見的問題類型，它們之間存在三種基本的位置關系：相交、相離和相切. 在解答這類問題時，學生往往會錯誤地判斷相交的情況，特別是當直線與雙曲線只有一個交點時，容易漏解或誤解.

根據直線方程與雙曲線方程聯立并整理所得的方程ax2+bx+c=0的判別式Δ的符號可以直接判斷直線與雙曲線的位置關系：若a≠0，Δ>0，直線與雙曲線相交，且有兩個交點;若a=0，Δ>0，則直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個交點;若a≠0，Δ=0，則直線與雙曲線相切，有且只有一個交點. 綜合上述情況，教師必須指導學生關注直線與雙曲線僅有一個交點的情形，即a=0，Δ>0或a≠0，Δ=0. 此外，在解題指導時，可以融入數形結合思想，借助直觀的圖形來輔助學生進行思考.

例1 過點（0，-1）且與雙曲線-=1有且只有一個公共點的直線有（ ）條.

A. 0 B. 2 C. 3 D. 4

易錯點分析 本題探究的是過點（0，-1）且與雙曲線-=1有且只有一個公共點的直線有幾條，解題時容易忽略與雙曲線漸近線平行的情形. 直線與雙曲線有且只有一個公共點，分為直線與雙曲線相切和與漸近線平行兩種情形.

過程解析 根據雙曲線-=1，可得其漸近線的方程為y=±x.

情形1：該直線過定點（0，-1），且與雙曲線的漸近線平行，則存在兩條直線，分別為y=x-1，y=-x-1.

情形2：該直線過定點（0，-1），且與雙曲線相切，可設直線方程為y=kx-1.聯立直線與雙曲線的方程，則有y=kx-1，

-

=1，整理可得（9-4k2）x2+8kx-40=0，Δ=（8k）2+4×40×（9-4k2）=0，解得k=±. 所以，切線方程為y=x-1或y=-x-1.

綜上可知，過點（0，-1）且與雙曲線-=1有且只有一個公共點的直線有4條，答案為D.

解后反思 在探討直線與雙曲線僅相交于一點的情況時，學生容易忽略a=0，Δ>0的情形，從而導致解題遺漏. 因此，在探究式教學中，教師應借助圖形輔助教學，引導學生深入理解特定情境，并在解題過程中重視對問題條件的分析，給予針對性的指導.

易錯點2 忽略了直線與拋物線特殊的位置關系.

在探討直線與拋物線的位置關系時，學生容易忽略一個特殊情形：當直線與拋物線的對稱軸平行時，它們僅有一個交點. 在解題過程中，教師應特別強調學生密切關注此類情形，并留意交點個數.

例2 已知直線y=（a+1）x-1與曲線y2=ax恰有一個公共點，則實數a的值為________.

易錯點分析 本題求的是在確定直線與曲線僅有一個交點時，實數a的值. 曲線的形狀依賴于a值，它可以是直線，也可以是拋物線. 在求解本題時，必須探討a的取值范圍，并特別留意直線與曲線對稱軸平行的情形，即當a=-1時.

過程解析 由于a值決定曲線的具體形狀，因此必須對其值進行詳細討論，具體如下.

當a=0時，曲線y2=ax為直線y=0，顯然兩直線不平行或重合，必然有唯一的公共點（1，0），滿足條件. 因此，a=0.

當a≠0時，聯立兩者的方程，有y=（a+1）x-1，

y2=ax，整理可得（a+1）2x2-（3a+2）x+1=0. 對于該方程，需要討論a值. 當a=-1時，解得x=-1，y=-1，直線y=-1與曲線y2=-x有唯一的公共點（-1，-1），滿足條件. 所以，a=-1. 當a≠-1時，可應用二次函數的判別式確定其交點個數. 即Δ=（3a+2）2-4（a+1）2=5a2+4a=0，則a=-. 此時直線y=x-1與曲線y2=-x相切，有唯一的公共點，滿足條件. 所以，a=-.

綜上可知，實數a的值有三個，分別為0，-1和-.

解后反思 在探討直線與曲線的位置關系時，需要注重兩個核心要素：①若參數a的值不確定，則需要對其進行討論;②解析過程中要重視思路的引導，即幫助學生清晰地理解不同情形下的構造方式，以及在這些情形下圖象之間的關系.

易錯點3 忽略了對直線斜率是否存在的討論.

解決直線與圓錐曲線位置關系問題的常規思路是：先設定直線的方程，然后通過聯立和整合方程，將其轉化為根與系數之間的關系問題，便于后續用“設而不求”和“整體代換”的方法求解. 但在求解之前，必須先探討直線的斜率是否存在.

例3 已知等軸雙曲線C：-=1（a>0）的左、右焦點分別為F，F. 現過F的直線l交C的右支于M，N兩點，且當l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4，試回答下列問題.

（1）求C的方程;

（2）若MN⊥FN，求MN.

易錯點分析 本題探討雙曲線與直線相交形成三角形的情形，題設兩問，其中第（2）問為垂直關系下求線段長的問題. 基本的解題思路是：根據題設條件繪制圖象，聯立直線與曲線的方程，通過“整體代換”求解. 容易618c544b823d7a0068dd4f4948978331忽略的一個情形為：直線l的斜率不存在.

過程解析 首先解讀題設條件，根據曲線與直線的位置關系繪制如圖1所示的圖象.

第（1）問（簡答）：C的方程為-=1.

第（2）問：先設直線l與C的右支的兩個交點分別為M（x，y），N（x，y），其中x>0，x>0. 由第（1）問可知，F（-2，0），F（2，0）. 現討論直線l的斜率是否存在.

當直線l⊥x軸時，此時直線l的斜率不存在，顯然不滿足MN⊥FN，因此這種情況不符合題意.

當直線l不與x軸垂直時，可設直線l的方程為y=k（x-2），與雙曲線的方程聯立后整理可得（1-k2）x2+4k2x-4k2-2=0，由韋達定理得x+x=，xx=. 因為=（x+2，y），=（x-2，y），MN⊥FN，所以·=x-4+y=（1+k2）x-4k2x+4k2-4=0①. 由xx=可得x=，將其代入x+x=，得x+x=+x=，整理可得（k2-1）x-4k2x+4k2+2=0②. 綜合①和②，可得k2=7+4，所以MN=

x

-x==.

解后反思 本題的第（2）問為核心之問——設定垂直條件，求線段的長. 面對此問，學生容易直接設定直線的方程來求解，忽略掉直線斜率不存在的情況. 這種解題習慣顯然是不正確的. 在教學過程中，教師應當引導學生掌握正確的解題步驟和規范的答題格式，以避免解答遺漏.

教學思考

探究圓錐曲線問題的易錯點具有極高的教學意義，有助于學生深刻理解知識，規范解題思路，完善知識體系. 盡管忽略一些易錯點可能不會影響后續的答案，但培養良好的解題習慣對學生思維的塑造極為有益. 以下是一些教學建議.

建議1 重視易錯點的解讀，加強知識理解.

圓錐曲線問題的易錯點較多，部分內容不易理解，教學中教師應針對性地引導學生深入探究易錯點背后的原理，以充分整合知識，確保學生能夠透徹理解. 以直線與雙曲線的相交為例，可以通過分析參數a的取值和Δ的符號，判斷交點情形.

建議2 重視易錯點的指導，強化思路分析.

在探究易錯點時，建議通過結合具體實例來加強指導和強化理解. 這意味著要針對易錯點精選問題，引導學生深入分析解題思路，并深刻理解這些易錯點，隨后再進行解題策略的指導. 這一過程一般分為以下三步：第一步，解析問題，剖析條件;第二步，關注易錯點，討論思考;第三步，把握易錯點，構建思路，轉化求解.

建議3 重視易錯點的反思總結，拓展發散思維.

在解題教學中，鑒于考題種類繁多且易錯情形各異，教學過程難以全面覆蓋所有細節，因此需要教師引導學生在解題后進行適度的反思與總結，以識別易錯點的根本原因. 通過合理拓展和變式探究，激發學生的思維發散，從而增強他們解題的靈活性.

寫在最后

圓錐曲線問題的易錯點應當成為復習備考時講解的重點. 為此，可以設立專門的易錯點探究專題，引導學生明確易錯點，深入挖掘錯誤的根源，整理出清晰的解題思路和正確的解題步驟，從而形成有效的解題策略.