與三角形“四心”相關的向量內積問題

摘 要：文章通過對2019年人教版數學必修2教材一道拓廣探索題的拓展探究，分析了三角形中與外心、重心、內心、垂心有關的多種向量內積計算問題，以向量的內積研究了三角形“四心”之間的聯系.

關鍵詞：外心；重心；內心；垂心；向量內積

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0014-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：王道金（1971.2—），男，中學正高級教師，湖北省特級教師，從事高中數學教學研究.

三角形的重心、外心、內心和垂心簡稱為三角形的“四心”，“四心”之間的關系和性質，不僅在幾何學中有重要的應用，而且在向量中也有著廣泛的研究［1］.人教版教材高中數學必修2設計了一個與三角形外心有關的向量內積探索問題，非常經典.進一步探究與三角形四心相關的向量內積問題，可以從另外一個角度揭示它們之間的內在聯系和規律.

1 問題呈現

問題 （2019年人教A版高中數學必修2習題6.2“拓廣探索”24題）如圖1，在圓C中，是不是只需知道圓C的半徑或AB的長度，就可以求出AB·AC的值？

圖1 問題示意圖""""" 圖2 問題解析圖

解析 利用圓的幾何性質，如圖2，設M為AB的中點，連接CM，則CM⊥AB.

所以AB·AC=AB·（AM+MC）=AB·AM=12AB2，也即AB·AC的值只與AB的長度有關.2 拓展探究

2.1 與三角形外心有關的向量內積問題例1 已知ΔABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若O為ΔABC的外心，試求OA·OC+OA·OB+OB·OC，OA·OB以及

OA·BC.

解析 設△ABC外接圓的半徑為R，則

R=c2sinC，cosC=a2+b2-c22ab.

所以OA·OB=R2cos2C=c24sin2C（2cos2C-1）

=c24（1-cos2C）（2cos2C-1）

=c22［（a2+b2-c2）/（2ab）］2-141-［（a2+b2-c2）/（2ab）］2

=c2（a4+b4+c4-2a2c2-2b2c2）2（-a4-b4-c4+2a2c2+2b2c2+2a2b2），

OA·OB=OA·（OA+AB）=OA2+OA·AB

=R2-12AB2

=R2-12c2，

OA·OC=R2-12b2，

OA·OC+OA·OB+OB·OC

=R2-12a2+R2-12b2+R2-12c2

=3a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-12（a2+b2+c2），

OA·BC=OA·（OC-OB）

=OA·OC-OA·OB

=R2-12b2-（R2-12c2）

=12（c2-b2）.

2.2 與三角形重心有關的向量內積問題

例2 已知△ABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若G為△ABC的重心，試求GA·GB+GA·GC+GC·GB，GA·GB以及

GA·BC.

解析 由題知AG=13（AB+AC），

BG=13（BA+BC），

AB·AC=bccosA=12（b2+c2-a2），

GA·GB=AG·BG

=19（AB+AC）·（BA+BC）

=19（AB+AC）·（AC-2AB）

=19（AC2-2AB2-AB·AC）

=19（b2-2c2-12b2-12c2+12a2）

=118（a2+b2-5c2），

GA·GB+GA·GC+GC·GB

=118（a2+b2-5c2）+118（a2+c2-5b2）+118（c2+b2-5a2）

=-16（a2+b2+c2），

GA·BC=-13（AB+AC）·（AC-AB）

=13（AB2-AC2）

=13（c2-b2）.

2.3 與三角形內心有關的向量內積問題

例3 已知△ABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若I為△ABC的內心，試求IA·IB+IA·IC+IC·IB，IA·IB以及IA·BC.

解析 由于I為△ABC的內心，故

aIA+bIB+cIC=0.

由aIA+bIA+bAB+cIA+cAC=0，得

IA=-1a+b+c（bAB+cAC）.

同理IB=-1a+b+c（aBA+cBC）

=-1a+b+c［-（a+c）AB+cAC］.

所以IA·IB=（1a+b+c）2（bAB+cAC）·［-（a+c）AB+cAC］

=（1a+b+c）2［c2AC2

-（a+c）bAB2+

（bc-ac-c2）AB·AC］

=-（a+c-b）（b+c-a）c2（a+b+c）.

所以IA·IB+IA·IC+IC·IB

=-（a+c-b）（b+c-a）c2（a+b+c）-（a+b-c）（b+c-a）b2（a+b+c）-（a+c-b）（b+a-c）a2（a+b+c）

=a2（b+c）+b2（a+c）+c2（b+a）-6abc-a3-b3-c32（a+b+c），

IA·BC=-1a+b+c（bAB+cAC）·（AC-AB）

=-1a+b+c（-bAB2+cAC2+（b-c）AB·AC）

=-1a+b+c［-bc2+cb2+12（b-c）（b2+c2-a2）］

=12（c-b）（b+c-a）.

2.4 與三角形垂心有關的向量內積問題

例4 已知斜△ABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若H為△ABC的垂心，試求HA·HB以及HA·BC.

解析 由HA·BC=0，得HA·HB=HA·HC.

當A為銳角時，在△ABH中由正弦定理，得

HAsin（π/2-A）=ABsin（A+B）=csinC.

即HA=ccosAsinC.

當A為鈍角時，在△ABH中由正弦定理，得

HAsin（A-π/2）=ABsinC=csinC.

即HA=-ccosAsinC.

總之HA2=c2cos2Asin2C.

由H為△ABC的垂心得到

tanA·HA+tanB·HB+tanC·HC=0.

兩邊同時點乘HA，得

tanA·HA2+tanB·HA·HB+tanC·HA·HC=0.

即（tanB+tanC）HA·HB=-tanA·HA2.

即HA·HB=-tanA·HA2tanB+tanC

=-cosAcosBcosCsin2Cc2

=（a2+b2-c2）（a2+c2-b2）（c2+b2-a2）2（a4+b4+c4-2a2b2-2a2c2-2b2c2），

或者由OH=OA+OB+OC，得到

AH=OB+OC.

設△ABC外接圓的半徑為R，

AH2=OB2+OC2+2OB·OC

=2R2+2（R2-12a2）=4R2-a2，

BH=OA+OC，BH·AH=（OA+OC）·（OB+OC）

=OC2+OC·OA+OB·OA+OC·OB

=R2+R2-12a2+R2-12b2+R2-12c2

=4R2-12（a2+b2+c2）

=4a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-12（a2+b2+c2）.

2.5 三角形外心與垂心綜合問題

例5 已知△ABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若H為△ABC的垂心，O為△ABC的外心，試求OH2.

解析 設△ABC外接圓的半徑為R，

OH2=（OA+OB+OC）2

=OA2+OB2+OC2+2OA·OB+2OB·OC+2OA·OC

=3R2+2（R2-12a2+R2-12b2+R2-12c2）

=9R2-（a2+b2+c2）

=94（asinA）2-（a2+b2+c2）

=94·a21-［（b2+c2-a2）/（2bc）］2-（b2+c2+a2）

=9a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-（a2+b2+c2）.

2.6 三角形外心與內心綜合問題

例6 已知△ABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若I為△ABC的內心，O為△ABC的外心，試求OI2.

解析 若I為△ABC的內心，則

aIA+bIB+cIC=0.

由aIO+aOA+bIO+bOB+cIO+cOC=0，

得（a+b+c）OI=aOA+bOB+cOC.

平方，得

（a+b+c）2OI2=a2OA2+b2OB2+c2OC2+2abOA·OB+2acOA·OC+2bcOC·OB

=（a2+b2+c2）R2+2ab（R2-12c2）+2bc（R2-12a2）+2ac（R2-12b2）

=（a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac）R2-abc（a+b+c）

=（a+b+c）2R2-abc（a+b+c）.

所以OI2=R2-abca+b+c

=a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-abca+b+c

=abc［abc-（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）］（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（-a+b+c）.

2.7 三角形“四心”綜合內積問題

例7 已知△ABC中，與三內角A，B，C相對的三邊長依次為a，b，c，若I為△ABC的內心，O為△ABC的外心，H為△ABC的垂心，G為△ABC的重心，試求OG·OH和OH·OI.

解析 由OH=OA+OB+OC以及OG=13（OA+

OB+OC），

得到

OG·OH=13OH2=-13（a2+b2+c2）+

3a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）.

設△ABC外接圓的半徑為R，

若I為△ABC的內心，則

aIA+bIB+cIC=0.

由aIO+aOA+bIO+bOB+cIO+cOC=0，

得（a+b+c）OI=aOA+bOB+cOC.

所以（a+b+c）OI·OH

=（aOA+bOB+cOC）·（OA+OB+OC）

=aOA2+bOB2+cOC2+（a+b）OA·OB+（a+c）·OA·OC+（b+c）OC·OB

=（a+b+c）R2+（a+b）（R2-12c2）+（a+c）·

（R2-12b2）+（b+c）（R2-12a2）

=3（a+b+c）R2-12［（a+b）c2+（a+c）b2+（c+b）a2］

=3a2b2c2（a+b+c）2（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）

-12［a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）］.

故OI·OH=3a2b2c22（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）-12（a+b+c）［a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）］.

3 結束語

數學教材凝聚了諸多數學教育專家的集體智慧，是體現和落實課程標準基本理念和目標要求的科學范本，是組織數學教學的主要依據.要深入研究教材，充分挖掘教材的例題與習題內涵，利用一題多解或一題多變等形式開展研究性學習，夯實數學基礎，提升數學學科素養，提高高中學生在數學方面的自主學習能力和后續學習能力.上面針對三角形“四心”的多種形式的向量內積計算問題作了拓展探究，這對開闊學生的視野、培養學生的探究能力比較有參考價值.讀者還可以針對三角形“四心”內積的不等關系作進一步探討.

參考文獻：

［1］林國夫.三角形“四心”的向量特征及應用[J].數學通報，2010（12）：39-42.

［責任編輯：李 璟］