多維探究凸顯能力 有效提升運(yùn)算素養(yǎng)

摘 要：文章剖析上海市2022年春季高考數(shù)學(xué)第20題的解析幾何試題，重點剖析第（3）問，從多角度分析試題，淺談如何有效提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，并給出復(fù)習(xí)解析幾何的一些教學(xué)建議與思考.

關(guān)鍵詞：春考數(shù)學(xué)；解析幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0079-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：范廣哲（1989.11—），男，山東省兗州人，碩士，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

2022年是上海高考數(shù)學(xué)使用舊版教材的最后一年，其命題方向和試卷結(jié)構(gòu)特點備受關(guān)注.2022年上海春季高考數(shù)學(xué)試卷整體結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，層次分明，注重創(chuàng)新，有利于考查學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).作者剖析上海市2022年春季高考數(shù)學(xué)第20題，此題為次壓軸題.重點剖析第（3）問，從多角度分析試題，淺談如何有效提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，最后給出高三復(fù)習(xí)解析幾何的一些教學(xué)建議與思考.

1 試題呈現(xiàn)

題目 （2022年上海市春考數(shù)學(xué)第20題）橢圓Γ：x2a2+y2=1（agt;1），A，B分別為橢圓的左頂點和下頂點，且直線x=a上有兩個不相同的點C，D（C是第一象限的點）.

（1）設(shè)F是橢圓Γ的右焦點，且∠AFB=π6，求橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若C，D兩點的縱坐標(biāo)分別為2和1，判斷：直線BC與AD的交點是否在橢圓Γ上，并說明理由；

（3）設(shè)直線AD與直線BC交橢圓Γ于P，Q兩點，且P，Q關(guān)于原點對稱，求|CD|的最小值.

2 試題分析

2.1 第（1）問分析

由于∠AFB=π6，OB=1，因而OF=c=3，可得a=（3）2+1=2.

橢圓Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

2.2 第（2）問分析

由題意可知A（-a，0），B（0，-1），C（a，2），D（a，1），直線AD的方程：y=12ax+12，

直線BC的方程：y=3ax-1.

聯(lián)立y=12ax+12，y=3ax-1，解得x=35a，y=45.

代入可得（3a/5）2a2+（45）2=1.

因而直線BC與AD的交點在橢圓Γ上.

評析 第（1）問考查待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第（2）問是一道探究類試題，考查了《中國高考評價體系》中要求的邏輯思維與運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力[1]；第（3）問對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高，邏輯推理比較復(fù)雜，具有很好的區(qū)分度和選拔功能，也考查學(xué)生分析問題、解決問題和綜合思維能力.

2.3 第（3）問分析

視角1 利用題目中條件的對稱關(guān)系尋找目標(biāo)兩點的坐標(biāo)關(guān)系.

設(shè)C（a，m），D（a，n），其中mgt;0，即求|m-n|的最小值．

由題可設(shè)，直線AD方程為y=n2a（x+a），直線BC方程為y=m+1ax-1，

設(shè)AD與橢圓的交點為P，聯(lián)立方程組x2a2+y2=1，y=n2a（x+a），可得

x2a2+n24a2（x+a）2=1.

整理，得（1a2+n24a2）x2+n22ax+n24-1=0.

由韋達(dá)定理，得-a·xP=（n2/4）-11/a2+n2/（4a2）=a2n2-4a24+n2.

則xP=4a-an24+n2.

設(shè)BC與橢圓交點為Q，同理可得

xQ=2a（m+1）m2+2m+2.

由于P，Q關(guān)于原點對稱，因而

4a-an24+n2+2a（m+1）m2+2m+2=0.

故可得82n2=m2（m+2）2.

解得±2n=mm+2．

由于點Q在第一象限，則有點P在第三象限，因而nlt;0，進(jìn)一步得-2n=m+2m，解得n=-2m+4m.

故m-n=m+2m+4m=m+4m+2≥6，當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立，此時n=-4.

綜上，|CD|的最小值為6.

視角2 同一量表示目標(biāo)點的坐標(biāo)，進(jìn)而用函數(shù)方法求最值.

設(shè)直線AD：x+my+a=0與橢圓交于點P，聯(lián)立方程組x2a2+y2=1，x+my+a=0，整理，得（m2a2+1）y2+2may=0，解得yP=-2mam2+a2，xP=a（m2-a2）a2+m2.

在x+my+a=0中，令x=a，得D（a，-2am）.

由于點P在第三象限，則agt;mgt;0.設(shè)直線BC為y=kx-1，與橢圓交于點Q，同理可得，C（a，ka-1）.

由于點Q在第一象限，則kgt;1a.由于P，Q關(guān)于原點對稱，得a（m2-a2）m2+a2=-2a2k1+a2k2，即m2-a2m2+a2=-2ak1+a2k2，整理可得2a22m2=（1+ak）2（1-ak）2，因而1+ak1-ak=-am.

進(jìn)一步可得CD=ka-1-（-2am）=ak-1+4ak-1+2≥6，當(dāng)且僅當(dāng)ak-1=2時等號成立，即

k=-3a時取等號.

綜上，|CD|的最小值為6.

視角3 利用橢圓參數(shù)方程求最值，此方法運(yùn)算較為簡潔.

由題意可知，A（-a，0），B（0，-1），設(shè)P（acosθ，sinθ），Q（-acosθ，-sinθ），

直線BP：y=sinθ+1acosθx-1，可得C（a，sinθ+1cosθ-1）.

直線AQ：y=sinθacosθ-a（x+a），可得D（a，2sinθcosθ-1）.

因而|CD|=sinθ+1cosθ-1-2sinθcosθ-1.

令tanθ2=t，則

|CD|=1+2t/（1+t2）（1-t2）/（1+t2）+2［1+（1-t2）/（1+t2）］2t/（1+t2）-1

=［（1-t）+t］（21-t+2t）-2

=2+2（1-t）t+2t1-t≥6，

當(dāng)且僅當(dāng)t=12時等號成立，

綜上，|CD|的最小值為6.

視角4 設(shè)某點的未知量，以此出發(fā)，求解另一點的坐標(biāo)，進(jìn)而求解.

設(shè)點C（a，t），tgt;0，直線BC的方程為y=t+1ax-1.

聯(lián)立方程組x2a2+y2=1，y=t+1ax-1，整理，得

（t2+2t+2）x2-2a（t+1）x=0.

解得xP=2a（t+1）t2+2t+2，

代入直線BC，得yP=t（t+2）t2+2t+2.

則Q（-2a（t+1）t2+2t+2，-t（t+2）t2+2t+2）.

因而直線AD的方程為

y=-t（t+2）/（t2+2t+2）-0-2a（t+1）/（t2+2t+2）-（-a）（x+a）.

現(xiàn)令x=a，則yD=-4t-2.

故|CD|=|t-（-4t-2）|=t+4t+2≥6，當(dāng)且僅當(dāng)t=2時等號成立.

綜上，|CD|的最小值為6．

3 教學(xué)建議與思考

3.1 把握問題本質(zhì)

解析幾何的本質(zhì)是運(yùn)用代數(shù)的方法研究幾何圖形的性質(zhì).高三數(shù)學(xué)教師在平時的解析幾何教學(xué)中，一方面要讓學(xué)生掌握代數(shù)與幾何的雙重特征，有效尋找到解題的突破口；另一方面，要讓學(xué)生重視基礎(chǔ)知識，掌握解題的通性通法，揭示問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法.教師要幫助學(xué)生意識到算與思之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生算思結(jié)合，規(guī)劃最優(yōu)的解題方案，把握數(shù)學(xué)試題的本質(zhì).

3.2 發(fā)展運(yùn)算素養(yǎng)

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中最基本和最重要的能力之一.解析幾何試題對數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求較高，這要求教師需強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng).教師要讓學(xué)生明確運(yùn)算所需的基本概念和基本方法，同時在課堂教學(xué)過程中要注重示范運(yùn)算過程，研究典型試題的解法，分析比較不同解法的優(yōu)劣，讓學(xué)生能夠選擇適合自己的解題方法，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.3 把握命題規(guī)律

作為數(shù)學(xué)教師，要積極鉆研高考真題，總結(jié)命題規(guī)律和特點，明晰命題方向和脈絡(luò)，特別是在高三復(fù)習(xí)的后半程，不能過分挖掘偏難怪的試題，要注重訓(xùn)練基本方法.教師要對歷年高考試題進(jìn)行整體研究，總結(jié)其共性；對新舊高考試題進(jìn)行對比研究，尋找其變化的規(guī)律特點；對不同章節(jié)試題進(jìn)行分類研究，探索其差別與趨勢.對于高考命題來說，穩(wěn)定是永恒的主題，微調(diào)是不變的旋律，研究是應(yīng)對的法寶，教學(xué)是堅強(qiáng)的保障.作為教師，要一直保持研究的心態(tài)，才能應(yīng)對新課標(biāo)新高考帶來的機(jī)遇與挑戰(zhàn).

參考文獻(xiàn)：

［1］

中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［責(zé)任編輯：李 璟］