把握函數圖象對稱本質 提高解題效率

摘 要：函數圖象的對稱性是函數的重要性質，是理解函數知識的關鍵，也是理解和感悟數學“對稱美”的載體，更是數學美的具體表現形式.近幾年高考數學試題中經常出現靈活性、創新性、綜合性、區分性極強的函數圖象對稱題，對學生數學思維能力要求較高.文章以2024年全國新課標Ⅰ卷和Ⅱ卷的函數大題為切入點，總結函數圖象對稱性的有關結論，并強化其在解決函數問題中的應用.

關鍵詞：函數圖象對稱性；解題方法；高考數學

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0091-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：王秋雨（2001.6—），女，江蘇省泰州人，碩士研究生，從事中學數學教學研究.

函數作為高中數學課程內容的主線之一，是高中數學的基礎和重點，在高中數學課程中占據中心地位，研究函數相關內容的學習情況對了解高中生數學的整體水平具有十分重要的意義.函數圖象的對稱性作為函數性質的重要部分，是函數奇偶性的推廣.函數圖象的對稱性包括一個函數圖象的對稱性，也包括兩個函數圖象或多個函數圖象之間的對稱性.本文主要研究一個函數圖象的對稱性，包括軸對稱性和中心對稱性.研究函數圖象對稱性的本質其實就是研究點的對稱，所以在求證函數圖象的對稱性時，可以通過描點畫出函數的圖象判斷是否是對稱圖形，也可以通過計算函數相關數值之間的關系判斷是否為對稱圖形.

1 真題呈現

例1 （2024年全國新課標Ⅰ卷第18題（2））已知函數f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3.

證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形.

分析 本題考查函數圖象的中心對稱性，求證本題的關鍵就是要抓住中心對稱圖形的概念，即圖象上任意一點都關于對稱中心有對應的對稱點.又由于本題有定義域的限制，可先取定義域中間段上的函數點為特殊點.第一種解決方法是通過計算發現滿足中心對稱的定義，從而得證該曲線是中心對稱圖形，并且得到此特殊點就是對稱中心點；第二種解決方法是取函數上某些特殊點，計算它們函數值之間的關系進行求證.

解法1 f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3的定義域為（0，2），不妨取函數上的一點M，考慮到定義域的對稱性，令x=1，可得f（1）=a，點M的坐標為（1，a）.

設P（m，n）為y=f（x）圖象上任意一點，P（m，n）關于點M的對稱點為Q（2-m，2a-n），因為

P（m，n）在y=f（x）圖象上，所以m，n滿足函數y=f（x）代數式，即n=lnm2-m+am+b（m-1）3.

而f（2-m）=ln2-mm+a（2-m）+b（2-m-1）3=-［lnm2-m+am+b（m-1）3］+2a=2a-n，

所以Q（2-m，2a-n）也在y=f（x）圖象上.

由于點P的任意性，可知y=f（x）圖象上任意一點都關于點M（1，a）中心對稱，即可知曲線y=

f（x）是中心對稱圖形，且對稱中心為（1，a）.

解法2

f（x）+f（2-x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3+ln2-xx+a（2-x）+b（1-x）3=2a=2f（1），

且定義域也關于x=1對稱，因此y=f（x）是以

（1，a）為對稱點的中心對稱圖形.

例2 （2024年全國新課標Ⅱ卷第11題）設函數f（x）=2x3-3ax2+1，則（" ）.

A.當a＞1時，f（x）有三個零點

B.當a＜0時，x=0是f（x）的極大值點

C.存在a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸

D.存在a，使得點（1，f（1））為曲線y=f（x）的對稱中心

分析 本道題中C，D選項考查對函數圖象對稱性的研究，C選項考查函數圖象的軸對稱性，D選項考查函數圖象的中心對稱性，兩選項均可以通過求函數特殊點的函數值之間的關系求解正確結論.除此之外，由于本題中的函數是三次函數，也可以利用拐點結論解決D選項中函數圖象中心對稱性的問題.

解析 針對C選項：假設存在這樣的a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸，即存在這樣的a，b，使得f（x）=f（2b-x）.

即2x3-3ax2+1=2（2b-x）3-3a（2b-x）2+1.

由于此式子中有三次項，直接計算會加大學生的計算量，可通過二項式定理進行簡便求解.根據二項式結論，等式右邊（2b-x）3展開式含有x3的項為2C33（2b）0（-x）3=-2x3，可見等式左右兩邊x3的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對稱軸，C選項錯誤.

針對D選項：

解法1 利用對稱中心的表達式化簡.

令x=1，可得f（1）=3-3a.

若存在這樣的a，使得（1，3-3a）為f（x）的對稱中心，則f（x）+f（2-x）=6-6a.

但事實上，f（x）+f（2-x）=2x3-3ax2+1+

2（2-x）3-3a（2-x）2+1=（12-6a）x2+（12a-24）x+18-12a，于是就有6-6a=（12-6a）x2+（12a-24）x+18-12a.

即12-6a=0，12a-24=0，18-12a=6-6a，解得a=2.

即存在a=2，使得（1，3-3a）為f（x）的對稱中心，D選項正確.

解法2 利用拐點定理求解.

任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，對原式f（x）=2x3-3ax2+1進行求導得到，f ′（x）=6x2-6ax，f ″（x）=12x-6a.

由f ″（x）=0x=a2，于是該三次函數的對稱中心為（a2，f（a2））.

由題意（1，f（1））也是對稱中心，故a2=1a=2，即存在a=2，使得（1，3-3a）為f（x）的對稱中心，D選項正確.

2 關于函數圖象對稱性的相關結論

結論1 如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=f（a+x），那么函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱；

如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有

f（a-x）=-f（a+x），那么函數f（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱.

結論2 如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=f（2a-x），那么函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱；如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=-f（2a-x），那么函數f（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱；

如果對于函數

f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=-f（2a-x）+2f（a），那么函數f（x）的圖象關于點（a，f（a））中心對稱.

結論3 如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=f（b+x），那么函數f（x）的圖象關于直線x=a+b2對稱；

如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=-f（b+x），那么函數f（x）的圖象關于點（a+b2，0）中心對稱；

如果對于函數

f（x），滿足對任意x∈A，都有f（a-x）=-f（b+x）+c，那么函數f（x）的圖象關于點（a+b2，c2）中心對稱[1].

結論4 定義在A上的連續可導函數f（x），滿足對任意x∈A，都有函數f（x）關于x=a軸對稱，則其導函數f ′（x）關于（a，0）中心對稱；

定義在A上的連續可導函數f（x），滿足對任意x∈A，都有函數f（x）關于（a，c）中心對稱，則其導函數f ′（x）關于x=a軸對稱.

結論5 若函數y=f（x）的圖象同時關于點A（a，c）和點B（b，c）成中心對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且2|a-b|是其一個周期；

若函數y=f（x）的圖象同時關于x=a和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且

2|a-b|是其一個周期；

若函數y=f（x）的圖象同時關于點A（a，c）成中心對稱和直線x=b成軸對稱（a≠b），則y=f（x）是周期函數，且4|a-b|是其一個周期.

3 拓展應用

例3 （2018年全國文科新課標Ⅲ卷第7題）下列函數中，其圖象與函數y=lnx的圖象關于直線x=1對稱的是（" ）.

A.y=ln（1-x）"" B.y=ln（2-x）

C.y=ln（1+x）D.y=ln（2+x）

分析 此題考查的是函數圖象的軸對稱性問題，第一種解決方法是利用函數圖象的平移和對稱變換求出結果；第二種解決方法是根據軸對稱性得到函數特殊點之間的關系，從而得到函數式之間的結論；第三種解決方法是根據函數圖象軸對稱的有關結論求解出函數值關系.

解法1 函數y=lnx關于直線x=1對稱的函數圖象可以通過兩步畫出，首先畫出函數y=lnx關于y軸對稱的圖象，再將圖象向右平移兩個單位即可得出.已知函數y=lnx的圖象與函數y=ln（-x）的圖象是關于y軸對稱，且所求函數的圖象需要與y=lnx的圖象關于x=1對稱，因此把函數y=ln（-x）的圖象向右平移兩個單位可得y=ln（2-x）的圖象，故選B.

解法2 設Q（x，y）是所求函數圖象上的任意一點，則關于直線x=1的對稱點P（2-x，y）在函數y=lnx上，將點代入函數即可得y=ln（2-x），所以選B.

解法3 利用結論2中的軸對稱結論：如果對于函數f（x），滿足對任意x∈A，都有f（x）=f（2a-x），那么函數f（x）的圖象關于直線x=a對稱.從而有a=1，也就得到函數式之間的關系f（x）=f（2-x），即y=ln（2-x），故選B.

例4 （2021年全國新課標Ⅱ卷第8題）已知函數f（x）的定義域為R，f（x+2）為偶函數，f（2x+1）為奇函數，則（" ）.

A.f（-12）=0" B.f（-1）=0

C.f（2）=0D.f（4）=0

解析 由f（x+2）為偶函數，根據偶函數的定義可得f（2+x）=f（2-x）.

再由結論1可知函數f（x）關于直線x=2軸對稱.

由f（2x+1）為奇函數，根據奇函數的定義可得f（2x+1）=-f（-2x+1）.

再由結論1可知函數f（x）關于點（1，0）中心對稱.

令x=0，可得f（1）=0.

由結論5可知，函數f（x）的周期T=4×|2-1|=4.

所以f（-1）=f（3）.

再根據函數的軸對稱性可得f（3）=f（1）.

從而有f（-1）=f（3）=f（1）=0.

故選B.

例5 （2022年全國新課標Ⅰ卷第12題）已知函數f（x）及其導函數f ′（x）的定義域為R，記g（x）=f ′（x），若f（32-2x），g（2+x）均為偶函數，則（" ）.

A.f（0）=0"""" B.g（-12）=0

C.f（-1）=f（4）D.g（-1）=g（2）

解析 因為f（32-2x），g（2+x）均為偶函數，

根據偶函數的定義可得

f（32-2x）=f（32+2x），g（2+x）=g（2-x）.

由結論1可知函數f（x），g（x）的圖象分別關于直線x=32，x=2對稱.

又g（x）=f ′（x），由結論4可知函數g（x）的圖象關于（32，0）中心對稱.

故由結論5可知函數g（x）的周期

T=4×|32-2|=2.

由中心對稱性得f（-1）=f（4）.

由函數g（x）的周期性可得

g（-12）=g（32）=0，g（-1）=-g（2）.

故選B，C[2].

4 鞏固練習

練習1 （2021年全國高考理科數學甲卷第12題）設函數f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數，

f（x+2）為偶函數，當x∈［1，2］時，f（x）=ax2+b.若f（0）+f（3）=6，則f（92）=（" ）.

A.-94 B.-32 C.74 D.52

練習2 （2018年全國新課標Ⅱ卷第11題）已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數，滿足f（1-x）=f（1+x）.若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（" ）.

A.-50"" B.0"" C.2"" D.50

5 結束語學生對數學本質的認識與學生頭腦中數學知識的生長、自身數學能力的發展以及數學素養的形成都有著密不可分的關系[3].在教學過程中，教師不僅要引導學生掌握解決問題的方法，更要培養學生獨立思考的能力.在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的命題原則中要求“應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識”.所以，對于一些較為抽象、不易理解的知識點，教師應該深挖數學內涵，從本質出發，講清知識來源，讓學生明白知識間緊密的關聯性，通過學生自己的理解轉化為知識結構框架[4].這樣在具體的解題過程中，學生可以從題目的條件和求證結論入手，提取出相應的知識點，利用大量的解題經驗形成基本的解題思路，再配合相對應的數學結論進行求解，大大地提高了解題的質量和效率[5].教師更要鼓勵學生嘗試一題多解，比如在本篇文章的例題中，除了可以通過計算特殊函數值之間的關系，還可以通過二項式定理或者拐點定理等去求解問題，從不同角度去探究數學的本質，拓寬解題思路，實現數學能力的發展.

參考文獻：

［1］ 張俊.從函數的奇偶性到函數圖象的對稱性[J].新世紀智能，2023（77）：9-11.

［2］ 徐蘭，徐倩.抽像函數對稱性的高三復習教學建議[J].中學數學研究，2023（09）：13-16.

［3］ 袁濤，陸婭君，張和平.探求函數對稱性質 厘清函數解題思路：由一道高考題引發的“函數對稱性問題”的思考[J].數學教學通訊，2023（06）：78-80.

［4］ 龐敏，肖睿，陳維杰.追根溯源 把握本質：再探函數的對稱性與周期性[J].高中數理化，2023（19）：19-22.

［5］ 徐小琴，肖涵臏.高三數學復習課應把握好的三個基本維度：以“函數的對稱性”的復習課為例[J].數學教學通訊，2024（06）：11-14.

［責任編輯：李 璟］