畫簡圖解三角函數性質題

摘 要：數形結合是解決數學問題常用的數學思想方法，文章通過優化課本中利用關鍵點畫三角函數簡圖的方法，快速畫出三角函數的圖象，利用圖象解與三角函數相關的題目.

關鍵詞：圖象；三角函數；性質

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0068-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：梁郁藝（1983.1—），男，廣東省茂名人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

三角函數圖象的性質是高考的常考內容.對于y=Asin（ωx+φ），y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）圖象性質的題目，常規的解法是通過ωx+φ整體代換，利用y=sinx，y=cosx，y=tanx相關性質來解題［1］.下面談談另一個思路，直接畫出函數簡圖，借助簡圖來解題，直觀、簡便、操作性強.

1 優化找出關鍵點的方法、快速畫簡圖

運用圖象法解三角函數性質相關的題目，需要快速畫出圖象，如果畫圖麻煩，則效率不高.課本中介紹的畫簡圖方法是利用ωx+φ等于y=sinx，y=cosx，y=tanx相應關鍵點（最高點、最低點、對稱中心）的橫坐標，通過解方程得到y=Asin（ωx+φ），

y=Acos（ωx+φ），y=Atan（ωx+φ）的關鍵點的橫坐標來畫出圖象.下面優化一下找出關鍵點橫坐標的方法，快速畫出簡圖.

1.1 畫函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）簡圖方法

畫y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）的簡圖步驟如下：第一步，令ωx+φ=0，得x=-φω

；第二步，求周期T，然后求T4；第三步，把-φω和T4化分母相同；第四步，由-φω不斷加或減T4，得到-φω右側或左側的關鍵點的橫坐標，從而找出一些關鍵點，然后用光滑曲線連接得到圖象簡圖.

1.2 畫函數y=Atan（ωx+φ）簡圖方法

類似上面畫函數y=Asin（ωx+φ）和y=Acos（ωx+φ）簡圖方法中找關鍵點的方法，畫函數y=Atan（ωx+φ）的圖象的關鍵點是對稱中心.可先確定一個對稱中心，再把這個對稱中心的橫坐標與半個周期T2化分母相同，快速由一個對稱中心找出相鄰的其他對稱中心畫出簡圖.

2 畫簡圖解三角函數性質題范例

2.1 直接畫簡圖解題

例1 （2018年高考全國Ⅲ卷）函數f（x）=cos（3x+π6）在［0，π］的零點個數為．

解析 由3x+π6=0，得x=-π18，最小正周期T=2π3，則T4=π6=3π18.由-π18向右不斷加上3π18可確定-π18右側的關鍵點，從而畫出簡圖如圖1.由圖象可知函數在［0，π］的零點個數為3個.

2.2 題目給出函數圖象求函數的性質

例2 （2015年高考真題）函數f（x）=cos（ωx+φ）的部分圖象如圖2所示，則f（x）的單調遞減區間為（" ）.

A．（kπ-14，kπ+34）（k∈Z）

B．（2kπ-14，2kπ+34）（k∈Z）

C．（k-14，k+34）（k∈Z）

D．（2k-14，2k+34）（k∈Z）

解析 由題可知T2=54-14=1，所以T=2，

T4=12.題目的圖中有一個關鍵點（14，0），這個關鍵點左側最高點橫坐標是14-12=-14，這個關鍵點右側最低點橫坐標是14+12=34.所以f（x）在原點附近的一個單調遞減區間是（-14，34），f（x）的單調遞減區間為（2k-14，2k+34）（k∈Z）.

2.3 已知條件有函數的一個關鍵點求函數的性質

例3 （2022年高考真題）已知函數f（x）=sin（2x+φ）（0lt;φlt;π）的圖象關于點（2π3，0）中心對稱，則（" ）.

A．f（x）在區間（0，5π12）單調遞減

B．f（x）在區間（-π12，11π12）有兩個極值點

C．直線x=7π6是曲線y=f（x）的對稱軸

D.直線y=32-x是曲線y=f（x）的一條切線

解析 題目有一個關鍵點（2π3，0），T=2π2=π，即T4=π4.化分母相同，2π3=8π12，T4=π4=3π12，關鍵點（2π3，0）可能是圖象上升時與x軸交點，也可能是圖象下降時與x軸交點.所以要分兩種情況討論.

如果關鍵點（2π3，0）是圖象上升時與x軸交點，用8π12不斷加上3π12可得到2π3右邊的關鍵點，用8π12不斷減去3π12可得到2π3左邊的關鍵點，畫出簡圖如圖3.根據2x+φ=0，得x=-φ2，圖象是符合0lt;φlt;π的.由圖象可知答案A是正確的，答案B，C是不正確的.此時-φ2=-4π12，即φ=2π3，f（x）=sin（2x+2π3）.由導數知識可解得答案D是正確的.圖3 例3解析圖

如果關鍵點（2π3，0）是圖象下降時與x軸交點，畫出簡圖如圖4.根據2x+φ=0，得x=-φ2，圖象是不符合0lt;φlt;π的，所以不符合題意.

2.4 已知區間的關鍵點的個數求參數ω范圍

例4 （2022年高考真題）設函數f（x）=

sin（ωx+π3）（ωgt;0）在區間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，則ω的取值范圍是.

解析 由ωx+π3=0，得x=-π3ω，最小正周期T=2πω，則T4=π2ω.化分母相同，得x=-π3ω=-2π6ω，T4=π2ω=3π6ω.用-2π6ω不斷加上3π6ω可得到-2π6ω右邊的關鍵點，畫簡圖如圖5.因為在區間（0，π）恰有三個極值點、兩個零點，所以由圖可知13π6ωlt;π≤16π6ω，即136lt;ω≤83，所以答案為C.

2.5 已知某區間上的單調性求參數ω范圍

例5 （2012年高考真題）已知ωgt;0，函數f（x）=

sin（ωx+π4）在（π2，π）上單調遞減，則ω的取值范圍是.

解析 由ωx+π4=0得x=-π4ω，最小正周期T=2πω，T4=π2ω.化分母相同，T4=π2ω=2π4ω.用-π4ω不斷加上2π4ω可得到-π4ω右邊的關鍵點，畫簡圖如圖6.因為函數f（x）=sin（ωx+π4）在（π2，π）上單調遞減，所以T2≥π-π2=π2，所以π4ω≤π2lt;π≤5π4ω.解得12≤ω≤54.圖6 例5解析圖

注意 （π2，π）不能在原點右邊第二個及之后的單調遞減區間內，因為T2≥π2，如果在原點右邊第二個及之后的單調遞減區間內，這時（0，π2）含超過半個周期圖象，與T2≥π2矛盾.

2.6 ω和φ都是參數求參數ω最值

例6 （2016年高考真題）已知函數f（x）=

sin（ωx+φ）（ωgt;0，|φ|≤π2），x=-π4為f（x）的零點，x=π4為y=f（x）圖象的對稱軸，且f（x）在（π18，5π36）單調，則ω的最大值為.

解析 本題中ω和φ都是參數，不需畫圖，直接利用題目給的關鍵點來確定其他的關鍵點，依據題意建立不等式組求解.最小正周期T=2πω，T2=πω，T4=π2ω.由-π4加上T4得到右側相鄰的那條對稱軸，然后分別加上整數個T2可得到其它的對稱軸，其中（π18，5π36）是夾在兩條相鄰的對稱軸之間，所以

-π4+T4+k·T2=-π4+π2ω+k·πω=π4，k∈Z，-π4+T4+m·T2=-π4+π2ω+m·πω≤π18，m∈Z，-π4+T4+（m+1）·T2=-π4+π2ω+"""" （m+1）·πω≥5π36，m∈Z，T2≥5π36-π18=π12，

化簡，得ω=2k+1，k∈Z，ω≥18（2m+1）11，m∈Z，ω≤9（2m+3）7，m∈Z，ω≤12.

當m=2時，9011≤ω≤9；當m=3時，12611≤ω≤817，此范圍不含有奇數的ω值.

所以ω=9.

2.7 函數y=Atan（ωx+φ）性質習題范例

例7 （多選題）已知函數f（x）=tan（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π2），其圖象的兩個相鄰的對稱中心間的距離為π4，且f（0）=33，則下列說法正確的是（" ）.

A．函數f（x）的最小正周期為π4

B．函數f（x）的定義域x|x≠π12+kπ4，k∈N

C．函數f（x）的圖象的對稱中心為（kπ4-π12，0）（k∈Z）

D．函數f（x）的單調遞增區間為（kπ2-π3，kπ2+π6）（k∈Z）

解析 由f（0）=33，0lt;φlt;π2，得φ=π6，由圖象的兩個相鄰的對稱中心間的距離為π4，得T2=π4，T=π2=πω，所以ω=2.

所以f（x）=tan（2x+π6）.

由2x+π6=0，得x=-π12，化分母相同，得T2=π4=3π12.用-π12不斷加或減3π12可得到-π12右側或左側的對稱中心橫坐標，畫簡圖如圖7，由圖可知，正確的選項是CD.

點評 畫出函數的圖象，能直觀、快捷找到函數的相應性質的結論.3 結束語數形結合是一種重要的數學思想方法.通過上面幾道高考題的解題過程，我們可以看到，畫函數的簡圖來解三角函數性質的題目，無論是基礎題還是壓軸題，都能依據圖象直觀、快速地正確解答，還能簡便運算過程，相比常規方法在很大程度上降低了難度.

參考文獻：

［1］張建文.三角函數中求ω的常見類型及解題策略[J].數理化解題研究，2024（19）：38-41.

［責任編輯：李 璟］