物理教學中圓周運動臨界問題教學探析

摘 要：高中物理圓周運動臨界問題復雜且抽象，主要考查學生的受力分析及運用動力學基本定律的能力.在對此類問題進行求解的過程中，臨界條件往往具有隱蔽性特征，學生需要對物體在圓周運動過程中所受各種力有深刻的理解，并運用相關定律進行準確分析.據此，文章分水平面、豎直面與斜平面三種情景，介紹圓周運動臨界問題的解決方法，以提高學生運用所學知識解決物理問題的能力.

關鍵詞：圓周運動；臨界問題；水平面；豎直面；斜平面

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0104-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：梁遠洪（1988.9—），男，貴州省黔西布依族苗族自治州人，本科，中小學一級教師，從事高中物理教學研究.

對于某一物體而言，在其從一種物理狀態向另外一種物理狀態轉變的過程中，通常會有一個轉折點，用以實現物理狀態的過渡，而物體在該轉折點的狀態即臨界狀態，該轉折點的物理條件被視作臨界條件，但其通常相對隱蔽[1].在對臨界問題進行求解的過程中，關鍵點在于尋找臨界條件.通過觀察可以發現，很多臨界問題的題干中都會用到“恰好”“至少”“不脫離”等字眼，這是關于臨界狀態所給出的暗示，在審題的過程中，教師應重點對學生引導，讓其將這些特殊字眼抓牢，在此基礎上挖掘規律，進而確定臨界條件.

1 水平面內圓周運動臨界問題

一般情況下，可以對水平面內圓周運動的臨界問題進行兩大類型的劃分[2].其一，相關于摩擦力，在兩個不同的物體之間，摩擦力剛好達到最大值，這是它們不會出現相對滑動現象的臨界條件.其二，相關于彈力，在兩個不同的物體之間，彈力剛好為零，這是二者不存在壓力與支持力的臨界條件；對于一根繩子，剛好處于拉直狀態且不存在彈力，這是其松弛與不松弛的臨界條件，而繩上的拉力剛好達到其能夠承受的最大值，這是其斷與不斷的臨界條件.

例1 已知有一個轉盤呈水平放置的狀態，將質量分別為M與m的兩個物塊A與B放到該轉盤上，并用一根長度為L的輕繩連接兩個物塊，其中，物塊A和轉軸之間的距離同樣為L，如圖1所示.設在物塊與轉盤之間，二者的最大靜摩擦力是物塊自身所受重力的n倍，當轉盤處于靜止狀態之時，輕繩剛好為拉直狀態，而在轉盤不斷加速轉動的過程中，可以用圖2來表示輕繩張力FT和轉盤角速度平方ω2之間的關系.假設在轉盤角速度平方ω2大于3ω21時，兩個物塊A和B會開始滑動，下面描述中正確的為（" "）.

A.L=F1mω21 B.L=F12mω21 C.n=2F1mg D.m=M

解析" 根據圖2可以知道，在輕繩剛好存在張力之時，轉盤角速度的平方取值為2ω21，在此狀態下，物塊B所受靜摩擦力達到最大值，即nmg=m·2L·2ω21.在兩個物塊A和B正好要滑動之時，物塊A所受靜摩擦力達到最大值，此時轉盤角速度的平方取值為3ω21.對于物塊B來說，滿足條件nmg+F1=m·2L·3ω21，聯立求解可得n=2F1mg，L=F12mω21，因此A選項錯誤，B和C選項正確.對選項D的正誤進行驗證，當轉盤角速度平方達到3ω21時，對于物塊A來說，滿足條件nMg-F1=M·L·3ω21，將n與L的值代入該式，可得M=2m，因此D選項錯誤.

例2 如圖3所示，用兩根繩子系住一個質量（用m表示）為100 g的小球，兩根繩子的另一端分別系在豎直轉軸上的A、B兩點，上面的繩子長度（用l表示）為2 m，當兩根繩子都處于拉直狀態之時，上面繩子與豎直轉軸的夾角為30°，下面繩子與豎直轉軸的夾角為45°，請回答以下兩個問題：

（1）如果想讓兩根繩子都張緊，需要將小球的角速度控制在什么范圍之內；

（2）如果小球的角速度為3 rad/s，計算上、下兩根繩子的拉力.

解析 （1）當轉軸以一個比較小的角速度（用ω表示）轉動時，兩根繩子AC和BC與軸之間的夾角同樣比較小，這時下面的繩子BC并不會達到張緊的狀態；在小球角速度不斷變大時，繩子與軸之間的夾角會不斷變大，當BC與軸的夾角恰好變大到45°時才會被拉直（由此可以斷定這是一個臨界狀態），不過此狀態下BC繩的張力依舊為零.用ω1表示此時小球的角速度，有FACcos30°=mg，FACsin30°=mω21lsin30°，對兩式進行計算，有ω1=2.4 rad/s.

在小球的角速度進一步變大的過程中，AC繩子的張力FAC會呈現出持續減小之勢，對應地，BC繩子的張力FBC則越來越大.當FAC恰好減小到零時，會達到另外一個臨界狀態，假設此時小球的角速度為ω2，有FBCcos45°=mg，FBCsin45°=mω22lsin30°，對兩式進行計算，有ω2=3.16 rad/s.所以，想讓兩根繩子都張緊，小球的角速度需滿足2.4 rad/s≤ω≤3.16 rad/s.

（2）如果小球的角速度為ω=3 rad/s，結合上面分析可知此時FAC與FBC均不為零，進而有FACsin30°+FBCsin45°=mω2lsin30°，FACcos30°+FBCcos45°=mg，對兩式進行計算，有FAC=0.27 N，FBC=1.09 N.

2 豎直面內圓周運動臨界問題

豎直面內的圓周運動比較典型，屬于變速圓周運動.在實際運動過程中，物體受力及其速度均會隨位置的變化而不斷變化[3]，對學生而言是學習的難點.在解題的過程中，需要對研究對象的實際受力及運動情況進行全面把握.在此基礎上構建運動物理模型，多數情況下需分析物體在圓周運動過程中達到最高點時的運動狀況[4]，并通過對動力學、功能關系以及動量觀點等的綜合運用完成問題的求解.

例3 如圖4所示，有一小球從C點由起初的靜止狀態向下擺動，當到達最低點D時，繩子恰好斷開，這時小球會從D點開始沿著粗糙的水平面做勻減速運動，當小球運動到A點時，會進入豎直放置的光滑圓弧軌道之中，此時，立刻將A點處的孔門關閉.已知小球擺動時繩子的長度（用L表示）為2 m，小球初始位置時繩子和OD之間的夾角（用θ表示）為60°，小球的質量（用m表示）為1 kg，DA之間的長度（用s表示）為2 m，圓弧軌道的半徑（用R表示）為0.3 m，g取10 m/s2.請回答以下兩個問題：

（1）繩子可以承受的最大拉力是多少；

（2）為了保證小球可以進入圓弧軌道且不會與軌道脫離，需要將水平面的摩擦因數μ控制在什么范圍內？

解析 （1）小球由C點向下擺動到D點的過程中，根據機械能守恒定律得mgL（1-cosθ）=12mv2D ；小球到達D點時，根據牛頓第二定律得Fm-mg=mv2DL，對兩式進行聯立，代入題干各值求解，可得Fm=2mg=20 N.

（2）為了確保小球不會與軌道相脫離，有兩個對應的臨界條件：其一，小球恰能到達圓心等高位置；其二，小球恰好通過軌道的最高點.為了使小球順利進入圓弧軌道，小球在運動到A點時需要滿足條件vA≥0.在由D點向A點運動的過程中，根據動能定理得-μ1mgs=12mv2A-12mv2D，對兩式進行聯立，有μ1≤0.5.

其一，如果小球在剛進入圓弧軌道時速度較小，小球在運動到某一高度時速度減小為零.根據機械能守恒定律得12mv2A=mgh，此時滿足條件h≤R，進一步結合動能定理，有-μ2mgs=12mv2A-12mv2D，聯立求解，有μ2≥0.35.

其二，如果小球可以順利通過圓弧軌道的最高點，根據牛頓第二定律有mg≤mv2R.小球由D運動到圓弧軌道最高點的過程，根據動能定理得-μ3mgs-2mgR=12mv2A-12mv2D，計算可得μ3≤0.125.綜合上述分析，可以確定動摩擦因數μ的取值范圍，即0.35≤μ≤0.5或μ≤0.125.

3 斜平面內圓周運動臨界問題

相對于水平面和豎直面而言，傾斜平面內圓周運動問題難度更大，學生需要充分掌握力的合成與分解，清楚向心力的本質來源，在此基礎上恰當運用等效方法和類比方法進行求解.

例4 如圖5所示，傾斜角度為θ的光滑傾斜平面固定在水平面上，一根長度為L的輕繩，一端固定在傾斜平面上的O點，另一端系住質量為m的小球，使小球在光滑傾斜面內做圓周運動，假設小球可以通過圓周運動的最高點，請計算小球在最低點時的速度大小.

解析 本題與豎直面內的輕繩模型問題具有一定的相似性，因此可以考慮類比方法.基于此，可以將等效重力引入，按照圖6所示方式對重力進行分解，有g′=gsinθ，此時類比豎直面內輕繩模型可知，小球通過圓周運動最高點的速度vA≥g′L，由動能定理得-2mg′L=12mv2A-12mv2B，解得vB≥5gLsinθ.

4 結束語

高中物理教學中，解答圓周運動臨界問題時，教師應先引導學生判斷問題情境屬于哪一類臨界問題，確定臨界狀態，明確臨界條件；然后根據牛頓運動定律求解臨界速度；最后將臨界速度作為橋梁，與機械能守恒定律、動能定理等物理規律相綜合，完成后續問題的解答.

參考文獻：

［1］韓宗齊.高中物理圓周運動臨界問題解題技巧[J].數理天地（高中版），2024（08）：36-37.

[2] 姜春香.水平面內圓周運動的臨界問題分析[J].高中數理化，2023（Z2）：12-13.

[3] 丁海鋒.動態研究豎直圓周運動一般位置的臨界問題[J].中學物理，2022，40（07）：44-46.

[4] 靳云雷.圓周運動中臨界問題常見題型分析[J].高中數理化，2023（18）：13-14.

［責任編輯：李 璟］