教材對(duì)雙曲線高考復(fù)習(xí)的兩點(diǎn)隱性要求

摘 要：文章闡述教材對(duì)雙曲線高考復(fù)習(xí)的兩點(diǎn)隱性要求：建立平面直角坐標(biāo)系解決雙曲線問題是基本解法；理解和把握教材中雙曲線概念間關(guān)系，類比解決非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的雙曲線問題.

關(guān)鍵詞：雙曲線；高考復(fù)習(xí)；解題

中圖分類號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0026-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：俞新龍（1976.11—），男，浙江省紹興人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，也是高考必考內(nèi)容，所以圓錐曲線涉及的題型非常豐富，解題方法和技巧以及解題中可用到的結(jié)論、性質(zhì)也比較多，這些情況在高考復(fù)習(xí)時(shí)師生一般都會(huì)關(guān)注，但僅注重這些已經(jīng)不能適應(yīng)高考命題改革.現(xiàn)今高考命題更注重對(duì)教材知識(shí)的深層理解和靈活應(yīng)用，因此，我們?cè)趫A錐曲線高考復(fù)習(xí)時(shí)需要進(jìn)一步研讀數(shù)學(xué)教材，從中領(lǐng)悟一些隱性內(nèi)涵，從而來提高高考復(fù)習(xí)的有效性.下面以雙曲線為例，具體闡述教材對(duì)雙曲線高考復(fù)習(xí)的兩點(diǎn)隱性要求.

1 建立平面直角坐標(biāo)系解決雙曲線問題是基本解法

教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)（坐標(biāo)）的方法來研究幾何.因此，在判斷出曲線形狀是雙曲線后就應(yīng)當(dāng)考慮用平面直角坐標(biāo)系來解決問題.

例1 在三棱錐P-ABC中，AB=22，PC=1，PA+PB=4，CA-CB=2，且PC⊥AB，則二面角P-AB-C的余弦值的最小值為（" ） .

A.23" B.34" C.12" D.105

解析 因?yàn)锳B=22，PA+PB=4，CA-CB=2，所以由橢圓和雙曲線定義知點(diǎn)P在以A，B為焦點(diǎn)的橢圓上，點(diǎn)C在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線一支上，但它們不在同一個(gè)平面內(nèi)，如何建立內(nèi)在關(guān)系呢？

如圖1所示的三棱錐P-ABC中，作PH⊥AB，又因?yàn)镻C⊥AB，所以AB⊥平面PHC.

故CH⊥AB.

所以∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角.

O為AB中點(diǎn)，在平面PAB中建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則可知點(diǎn)P所在橢圓方程為

x24+y22=1.

在平面CAB中建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，則可知點(diǎn)C所在雙曲線方程為

x2-y2=1（xgt;0）.

若設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2cosα，2sinα），則

|OH|=2cosα，|PH|=2sinα.

故知在圖3中點(diǎn)C橫坐標(biāo)為2cosα.

代入雙曲線方程得y=-4cos2α-1.

則|CH|=4cos2α-1.

于是cos∠PHC=|PH|2+|CH|2-|PC|22|PH|·|CH|

=2sin2α+4cos2α-1-122sinα·4cos2α-1

=cos2α2·1-cos2α·4cos2α-1

=12·-

1/cos4α+5/cos2α-4

=12·-（1/cos2α-5/2）2+9/4

≥12·9/4=23，

當(dāng)且僅當(dāng)1cos2α=52即cosα=25時(shí)取等號(hào).

故選A.

如果點(diǎn)P坐標(biāo)不設(shè)三角式也一樣可以解答：

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，y），則

|OH|=x（0lt;xlt;2），|PH|=2-x22，yC=-x2-1.

故|CH|=x2-1.

所以cos∠PHC=|PH|2+|CH|2-|PC|22|PH|·|CH|

=2-x2/2+x2-1-12·2-

x2/2·x2-1

=x2/28-2x2·x2-1

=12·-8/x4+10/x2-2

=12·-2（2/x2-5/4）2+9/8

≥12·9/8=23，

當(dāng)且僅當(dāng)2x2=54即x=85時(shí)取等號(hào).

故選A.

評(píng)注 立體幾何和解析幾何的重點(diǎn)在后兩個(gè)字：幾何，即圖形問題，因此通過坐標(biāo)系可以將兩者有機(jī)融合在一起.本題以立體幾何為背景，將不在同一個(gè)平面上的橢圓與雙曲線通過兩個(gè)點(diǎn)的橫向距離（橫坐標(biāo)）相等巧妙組合，通過坐標(biāo)系計(jì)算出橢圓和雙曲線上點(diǎn)的位置關(guān)系，從而得到線段長(zhǎng)度.

2 理解和把握教材中雙曲線概念間關(guān)系，類比解決非標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下雙曲線問題

普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章《圓錐曲線的方程》第二節(jié)《雙曲線》

［1］通過類比橢圓的研究方法具體闡述了雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)、應(yīng)用等，在直角坐標(biāo)系上明確了雙曲線的一些基本概念（差定值、焦點(diǎn)、對(duì)稱軸、離心率、漸近線等）的計(jì)算，在“探究與發(fā)現(xiàn)”中具體論述了“為什么

y=±bax是雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線”.這些內(nèi)容都是在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程下進(jìn)行計(jì)算和研究的，即雙曲線的對(duì)稱軸是x軸和y軸的情況.我們知道，雙曲線的概念和性質(zhì)是固有的，即只要不發(fā)生形狀的變化就不會(huì)改變.那么，如果雙曲線對(duì)稱軸不是x軸和y軸了，它的一些基本信息怎么求解呢？這就需要我們對(duì)教材中雙曲線的學(xué)習(xí)內(nèi)容有深入理解和把握：雙曲線的對(duì)稱軸是漸近線的角平分線，對(duì)稱軸與雙曲線圖象的交點(diǎn)是兩個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)之間距離是實(shí)軸長(zhǎng)2a（即差定值），過頂點(diǎn)并垂直對(duì)稱軸的直線與漸近線相交的交點(diǎn)之間距離就是虛軸長(zhǎng)2b，據(jù)此可以計(jì)算出與雙曲線有交點(diǎn)的對(duì)稱軸上的焦點(diǎn)位置及焦距2c，于是易得雙曲線離心率e=ca，從而類比解決其他相關(guān)雙曲線概念.

例2 某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)y=1x的圖象是雙曲線，設(shè)其焦點(diǎn)為M，N，若P為其圖象上任意一點(diǎn)，則（" ）.

A.y=-x是它的一條對(duì)稱軸

B.它的離心率為2

C.點(diǎn)（2，2）是它的一個(gè)焦點(diǎn)

D.||PM|-|PN||=22

解析 如圖4所示，因?yàn)殡p曲線y=1x的漸近線是x軸和y軸，所以第一三象限角平分線y=x和第二四象限角平分線y=-x是雙曲線y=1x的對(duì)稱軸，且漸近線互相垂直，故此雙曲線是等軸雙曲線.

于是知它的離心率為2.

對(duì)稱軸y=x和雙曲線y=1x的交點(diǎn)A（1，1）和B（-1，-1）是雙曲線的頂點(diǎn)，故2a=|AB|=22.

所以||PM|-|PN||=22.

由2=c2，解得c=2.

又因?yàn)榻裹c(diǎn)在直線y=x上，所以可以設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m）和（-m，-m）（mgt;0），則22m=2c=4，得m=2.

因此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是M（2，2）和

N（-2，-2）.

綜上所述，故選ABD.

評(píng)注 本題中因?yàn)闈u近線互相垂直，所以可知雙曲線離心率為2，從而知c=2，對(duì)于一般雙曲線來說，應(yīng)該先求出經(jīng)過頂點(diǎn)A（1，1）且與對(duì)稱軸y=x垂直的直線y=-x+2，直線y=-x+2與漸近線y軸的交點(diǎn)C（0，2），點(diǎn)C到對(duì)稱軸y=x的距離2即為短半軸長(zhǎng)b，因此a=b，所以此雙曲線為等軸雙曲線，離心率為2.

變式 雙曲線y=x+1x的離心率為.

解析 因?yàn)殡p曲線y=x+1x的漸近線是y軸和直線y=x，所以兩者的角平分線y=tan3π8·x=（1+2）x是其中一條對(duì)稱軸，則另一條對(duì)稱軸是

y=（1-2）x，對(duì)稱軸y=（1+2）x與雙曲線y=x+1x在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)（即是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)）為A（2-14，（1+2）2-14），所以a=|OA|=2-12+（3+22）2-12=（4+22）2-12.

過頂點(diǎn)A且與另一條對(duì)稱軸平行的直線y-

（1+2）2-14=（1-2）（x-2-14）與漸近線y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是B（0，22·2-14），

故b=|AB|=2-12+（3-22）2-12

=（4-22）2-12.

所以c=a2+b2=8·2-12.

因此，雙曲線離心率

e=ca=8·2-12（4+22）2-12=4-22.

如圖5所示，實(shí)際上，對(duì)于雙曲線y=ax+bx（a，bgt;0）來講，y軸和直線y=ax是其漸近線（記tanα=a），所以它們的角平分線OA，OC就是對(duì)稱軸，過點(diǎn)A且平行對(duì)稱軸OC的直線交y軸于點(diǎn)B，則根據(jù)雙曲線性質(zhì)知|OA|=a，|AB|=b，|OB|=c.

所以雙曲線離心率e=ca=1cos∠AOB.

又cos∠AOB=cos（π4-α2）

=1+cos （π/2-α）2

=1+sinα2，

而sinα=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1=aa2+1，

所以cos∠AOB=a2+1+a2a2+1.

故e=2a2+1a2+1+a=2a2+1（a2+1-a）.

特別地，例2中a=0，此時(shí)離心率為2；例2變式中a=1，此時(shí)離心率為4-22.

從得到的結(jié)果看，雙曲線y=ax+bx離心率與b無關(guān).教材中，我們學(xué)習(xí)了在雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程下，當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不變，漸近線不變的情況下離心率是不發(fā)生變化的，同樣地，因?yàn)殡p曲線y=ax+bx的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸OA：y=tan（π4+α2）x=（a2+1+

a）x與b無關(guān)（注：tan（π4+α2）=1+tan（α/2）1-tan（α/2）=cos（α/2）+sin（α/2）cos（α/2）-sin（α/2）=1+a/a2+11-a/a2+1=a2+1+aa2+1-a=a2+1+a），對(duì)稱軸y軸和直線y=ax也與b無關(guān)，所以當(dāng)b發(fā)生變化時(shí)，該雙曲線的離心率確實(shí)也與b無關(guān)，即離心率不發(fā)生變化.

3 結(jié)束語

隨著高考命題不斷去套路化，更加注重對(duì)數(shù)學(xué)教材知識(shí)理解的考查，像語文古文理解一樣逐字逐句學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教材是十分必要的.

參考文獻(xiàn)：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書（A）版：數(shù)學(xué)（必修第一冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2019.

［責(zé)任編輯：李 璟］