重心坐標在平面幾何中的幾個經典應用

摘 要：重心坐標不同于直角坐標，它有三個分量，不僅每個分量有自己的幾何意義，而且坐標還是齊次坐標，這給解決平面幾何問題帶來了很大的便利.在解決平面幾何中的三點共線問題、三線共點問題、平行線問題、面積問題時，重心坐標要比直角坐標簡單得多.通過重心坐標，可以將平面幾何問題轉化為代數問題，而且這種方法可操作性極強，給平面幾何問題的解決提供了一種既新穎又高效的解題方法.

關鍵詞：平面幾何；重心坐標；三點共線；三線共點

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0007-07

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：

張君（1978.10—），男，四川省宣漢人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究;

李鴻昌（1991.10—），男，貴州省凱里人，中學二級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：2023年度四川省教育科研項目重點課題——拔尖創新人才早期培養視域下普通高中“強基課程”建設研究（編號：SCJG23A051）

對于平面幾何問題的解決，除了純幾何法外，解析法也是一種可行的方法.解析法是建立坐標系，通過坐標來實現問題的解決.我們最常用的坐標系是直角坐標系和極坐標系，但是，這兩個常用的坐標系對某些平面幾何問題并不是最適用的.一般來說，對于特定的問題，最好選擇與之適應的特殊坐標.

對于平面幾何中的面積問題、三點共線問題、三線共點問題、平行問題，使用重心坐標（也叫面積坐標）來處理，比使用直角坐標或極坐標要簡潔很多.

平面幾何試題所涉及的知識和方法較多，要想順利解決平面幾何問題，經常需要做一些輔助線，試題靈活，難度較大，尤其是競賽中的平面幾何試題.本文的主要目的是為了給平面幾何問題的解決提供另外一種行之有效的解析方法——重心坐標.使用重心坐標，只需掌握好重心坐標的一些必備性質，然后按部就班地計算即可，可操作性強.這樣，通過重心坐標，就把幾何問題轉化成了代數問題來處理，問題自然變得更簡單了.

1 重心坐標的相關概念

1.1 重心坐標

楊路教授給出了重心坐標和重心規范坐標的定義.

平面上任取一個△A1A2A3叫作坐標三角形.對于該平面上任意一點M，將下述三個三角形面積的比值△MA2A3∶△MA3A1∶△MA1A2=μ1∶μ2∶μ3叫作點M的面積坐標，或叫作重心坐標，記為M（μ1∶

μ2∶μ3）或M（μ1，μ2，μ3）.

注 這里△MA2A3，△MA3A1，△MA1A2的面積都是帶符號的.通常約定，頂點按逆時針方向排列的三角形面積為正，頂點按順時針方向排列的三角形面積為負.這樣，各個坐標分量μ1，μ2，μ3都是可正可負的.

1.2 重心規范坐標

進一步，我們令λ1=μ1μ1+μ2+μ3，λ2=μ2μ1+μ2+μ3，λ3=μ3μ1+μ2+μ3，

并將點M的重心規范坐標規定為（λ1，λ2，λ3）.

顯然λ1+λ2+λ3=1.重心規范坐標的各分量是唯一確定的，不再帶有比例常數.事實上，對于某個點M，可以具體計算出這些分量：

λ1=△MA2A3△A1A2A3，λ2=△MA3A1△A1A2A3，λ3=△MA1A2△A1A2A3.

我們也可以通過向量給出重心規范坐標的定義.

設A1，A2，A3是不共線的三點，O是空間中的一個定點，M是△A1A2A3所確定的平面上的任意一點， 則必有

OM=λ1OA1+λ2OA2+λ3OA3，λ1+λ2+λ3=1. ①

事實上， 由于點M在△A1A2A3確定的平面上， 故A1M，A1A2，A1A3是三個共面向量， 其中A1A2與A1A3不共線，故存在不全為零的實數u，v使A1M=uA1A2+vA1A3，因此

OM-OA1=u（OA2-OA1）+v（OA3-OA1），

OM=（1-u-v）OA1+uOA2+vOA3.

分別令λ1=1-u-v，λ2=u，λ3=v就得到（1）式.反過來，不難證明滿足（1）式所對應的點M和向量OM必在由點A1，A2，A3所確定的平面上.

在（1）式中對應于點M的有序三數組（λ1，λ2，λ3）叫作點M的（規范）重心坐標.而△A1A2A3叫作坐標三角形[1].

重心規范坐標也稱為面積坐標.記法同上，則有序數組（λ1，λ2，λ3）稱為點M關于△A1A2A3的面積坐標，記為M（λ1，λ2，λ3）[2].

按照定義， 容易得到點A1，A2，A3的重心坐標分別為（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），且△A1A2A3的重心G的重心坐標為（1，1，1），重心規范坐標為（13，13，13）.

1.3 三角形重心規范坐標的幾何意義如圖1所示，λ1，λ2，λ3的幾何意義是λ1=S△PBCS△ABC，λ2=S△PCAS△ABC，λ3=S△PABS△ABC.

此處的S是有向面積，當三角形頂點按逆時針排列時，Sgt;0，否則，Slt;0.三角形中的線段視為有向線段，如AD，PD同向時，ADPD為正，否則為負.

2 重心規范坐標的性質

設坐標△ABC的三個頂點分別為A，B，C，O為平面ABC內的一定點，則有如下的性質.

性質1 A，B，C三點的重心規范坐標分別為

A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.

性質2 設BC的中點為M，則M的重心規范坐標為M（0，12，12）.

性質3 設AP=λAB，則點P的重心規范坐標為P（1-λ，λ，0）.

性質4 設M，N的重心規范坐標為M（x1，y1，z1），N（x2，y2，z2），若MP=λPN，則點P的重心規范坐標為P（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ，z1+λz21+λ）.

注 我們把性質4的結論稱為定比分點公式.

性質5 設P是△ABC所在平面內任一點，P的重心規范坐標為P（λ1，λ2，λ3），連接AP，BP，CP分別交BC，CA，AB或其延長線于D，E，F，則D，E，F的重心規范坐標為D（0，λ21-λ1，λ31-λ1），E（λ11-λ2，0，λ31-λ2），D（λ11-λ3，λ21-λ3，0）.

3 重心坐標的幾個重要定理

定理1[3] "（直角坐標與重心坐標的轉化）設坐

標△A1A2A3在某個直角坐標系中的坐標依次為A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）.令點M的重心坐標為（μ1，μ2，μ3），它的直角坐標為（x，y），則有

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3，y=μ1y1+μ2y2+μ3y3μ1+μ2+μ3.

證明 連接A3M交A1A2于點A4，如圖2所示.

設A4的直角坐標為（x4，y4），由定比分點公式有

x4=A4A2·x1+A1A4·x2A1A2

=S△MA2A3·x1+S△MA3A1·x2S△MA2A3+S△MA3A1

=μ1x1+μ2x2μ1+μ2.

由定比分點公式，又有

x=MA3·x4+A4M·x3A4A3

=（S△MA2A3+S△MA3A1）x4+S△MA1A2·x3S△A1A2A3

=（μ1+μ2）x4+μ3x3μ1+μ2+μ3.

將上述的表達式代入，即得

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3.

類似可得

y=μ1y1+μ2y2+μ3y3μ1+μ2+μ3.

定理2 設坐標三角形三頂點A1，A2，A3到所在平面上某條直線l的距離分別是h1，h2，h3，則直線l上的動點M（μ1，μ2，μ3）必滿足下列線性方程h1μ1+h2μ2+h3μ3=0.

也就是說，在重心坐標中，直線方程是齊次線性方程.

證明 以直線l為某一條軸（比如取其為y軸）建立直角坐標系.這時直線l上任一點M的橫坐標x=0，但由定理1知

x=μ1x1+μ2x2+μ3x3μ1+μ2+μ3，

這就得到μ1x1+μ2x2+μ3x3=0.

又因為直線l是y軸，所以有

x1=h1，x2=h2，x3=h3.

因此h1μ1+h2μ2+h3μ3=0.

注 定理2中，點到直線的距離也都是帶符號的.我們約定：如果A1，A2位于直線l的同側，則它們到直線l的距離h1，h2是同號的.反之，如果A1，A2位于直線l的不同側，則它們到直線l的距離h1，h2是異號的.

定理3 （三角形面積公式）設P1，P2，P3是△A1A2A3所在平面上的三點，其重心規范坐標為Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，則

S△P1P2P3=x1y1z1x2y2z2x3y3z3·S△A1A2A3.

證明 取O為坐標原點，設Ai（αi，βi），i=1，2，3.由三角形面積的行列式表示，知

S△A1A2A3=111α1α2α3β1β2β3.

因為P1，P2，P3的重心規范坐標為Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，所以

OPi=xiOA1+yiOA2+ziOA3，i=1，2，3.

從而P1，P2，P3三點的直角坐標分別為

P1（x1α1+y1α2+z1α3，x1β1+y1β2+z1β3），

P2（x2α1+y2α2+z2α3，x2β1+y2β2+z2β3），

P3（x3α1+y3α2+z3α3，x3β1+y3β2+z3β3）.

其中xi+yi+zi=1，i=1，2，3.

因此△P1P2P3的面積為S△P1P2P3

=111x1α1+y1α2+z1α3x2α1+y2α2+z2α3x3α1+y3α2+z3α3x1β1+y1β2+z1β3x2β1+y2β2+z2β3x3β1+y3β2+z3β3

=x1+y1+z1x2+y2+z2x3+y3+z3x1α1+y1α2+z1α3x2α1+y2α2+z2α3x3α1+y3α2+z3α3x1β1+y1β2+z1β3x2β1+y2β2+z2β3x3β1+y3β2+z3β3

=111α1α2α3β1β2β3

x1x2x3y1y2y3z1z2z3

=111α1α2α3β1β2β3x1y1z1x2y2z2x3y3z3

=x1y1z1x2y2z2x3y3z3·S△A1A2A3.

定理4 （三點共線的充要條件）設Pi的重心坐標為Pi（xi，yi，zi），i=1，2，3，則P1，P2，P3三點共線的充要條件是x1y1z1x2y2z2x3y3z3=0.

證明 由定理3知，P1，P2，P3三點共線S△P1P2P3=0x1y1z1x2y2z2x3y3z3=0.

定理5 （兩點式直線方程）設P1，P2的重心坐標為P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），則直線P1P2的方程為

xyzx1y1z1x2y2z2=0.

證明 設直線P1P2上任意一點P的重心坐標為P（x，y，z），則P1，P2，P三點共線，由定理4有xyzx1y1z1x2y2z2=0.

這即是直線P1P2的方程.

由定理2，可以直接推出如下定理.

定理6 兩條直線平行的充分條件是它們的方程可以分別寫為h1x+h2y+h3z=0，

（h1+τ）x+（h2+τ）y+（h3+τ）z=0.

4 重心坐標在平面幾何中的應用

上述定理對于解決平面幾何中的共點線問題、共線點問題、面積問題、平行線問題等提供了卓有成效的工具.

題型1 三點共線問題.

例1[4] 如圖3所示，在四邊形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面積比為3∶4∶1.點M，N分別在AC，CD上，滿足AM∶AC=CN∶CD，且B，M，N三點共線，求證：M與N分別是AC，CD中點.

證明 取△ABC為坐標三角形，易知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.

設S△ABC=1，由題意知S△ABD=3，S△BCD=4.

而S△DAC=3+4-1=6，所以S△DCA=-6.

所以S△BCDS△ABC=4，S△DCAS△ABC=-6，S△ABDS△ABC=3.

故D（4，-6，3）.

依題意AMAC=CNCD，得AMMC=CNND.

設λ=AMMC=CNND，可知

M（11+λ，0，λ1+λ），

N（4λ1+λ，-6λ1+λ，1+3λ1+λ）.

由B，M，N三點共線，根據定理4得

01011+λ0λ1+λ4λ1+λ-6λ1+λ1+3λ1+λ=0.

整理，得1+3λ-4λ2=0，

解得λ=1（λ=-14舍去）.

故M與N分別是AC，CD的中點.

例2 如圖4所示，設A1，B1，C1是直線l1上的任意三個點，而A2，B2，C2是另一直線l2上的任意三個點，設直線B1C2與B2C1的交點為L，直線A1C2與A2C1的交點為M，直線A1B2與A2B1的交點為N， 則L，M，N三點在一條直線上.圖4 例2圖

注 這就是巴卜斯（Pappus）定理，這條直線稱為Pappus線.

證明 取△A1C1B2為坐標三角形，則三個頂點A1，C1，B2的重心坐標分別為

A1=（1，0，0），C1=（0，1，0），B2=（0，0，1）.

由于點B1在直線A1C1上， 而直線A1C1的方程為z=0，因此點B1的坐標可設為（u，v，0）（uv≠0）.

設直線l2的方程為c1x+c2y+c3z=0，由于該直線通過點B2（0，0，1）， 因此有c3=0.

故直線l2的方程為c1x+c2y=0.

設A2與C2兩點的重心坐標分別為

A2=（c2，（-c1），s），C2=（c2，（-c1），t）.

因為A2，C2不在直線l1上，

故st≠0，s≠t（c1，c2不同時為零）.

由于B2C1的方程為x1=0，直線B1C2的方程為

x1x2x3uv0c2-c1t=0.

即vtx1-utx2-（uc1+vc2）x3=0.

由此得點L（0，（uc1+vc2），（-ut））.

同理可得到，M（tc2，（-sc1），st），N（（uc1+vc2），0，vs）.

計算由三點L，M，N的重心坐標組成的三階行列式

0uc1+vc2-uttc2-sc2stuc1+vc20vs=0.

由三點共線的充要條件， 證得L，M，N三點共線， 從而完成了Pappus定理的證明.

題型2 面積問題.

例3[5] 在△ABC的邊AB，BC，CA上，分別任取與頂點不重合的三點M，N，K.求證：△KAM，△BNM和△CKN中，至少有一個三角形面積不大于△ABC面積的14.

證明 取△ABC坐標三角形，建立重心坐標系，易知A，B，C的面積坐標為 A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1）.如圖5所示，可設M，N，K的面積坐標為M（m，1-m，0），N（0，n，1-n），K（1-k，0，k）.其中， 0lt;m，n，klt;1.

根據定理3（面積公式），并取S△ABC=1，得

S△AMK=100m1-m01-k0k·S△ABC=k（1-m），

S△BNM=010m1-m00n1-n·S△ABC=m（1-n），

S△CKN=0011-k0k0n1-n·S△ABC=n（1-k）.

根據柯西不等式，得

S△AMK·S△BNM·S△CKN=mnk（1-m）（1-n）（1-k）

≤［m+n+k+（1-m）+（1-n）+（1-k）6］6

=（14）3.

如果△AMK，△BNM，△CKN的面積都大于14，則上式不可能成立，故這三個三角形中，至少有一個三角形面積不大于△ABC面積的14.

例4 設P是△ABC的底邊BC上任意一點，過點P作PE∥AB，PF∥AC，分別交AC于點E，交AB于點B（如圖6所示）.求證：△BPF，△PCE及四邊形PEAF的面積中，必有一個

不小于△ABC面積的49.

證明 設P關于△ABC的重心坐標為P（0，p，1-p）.由于FP∥AC，且點F在AB上，故F（1-p，p，0）.

同理，E（p，0，1-p）.

根據定理3（面積公式）， 可得

S△BPF=0100p1-p1-pp0·S△ABC

=（1-p）2S△ABC.

同樣地，

S△CEP=001p01-p0p1-P·S△ABC=p2S△ABC.

于是PEAF的面積應為

S△ABC-（1-p）2S△ABC-p2S△ABC=S△ABC［1-（1-p）2-p2］=2p（1-p）S△ABC.

下面分三種情況討論.

①當23≤p≤1時，S△CEP≥49S△ABC.

②當0≤p≤13時，1-p≥1-13=23，

故S△BPF=（1-p）2S△ABC≥49S△ABC.

③當13≤p≤23時，p（1-p）=-p2+p是一條開口向下的拋物線，最大值在p=12處達到， 因此p（1-p）在［13，23］中的最小值在兩端點處達到，即13×23=29，這時四邊形AFPE的面積等于2p（1-p）S△ABC≥2×29S△ABC=49S△ABC.

由此可見， 四邊形PEAF的面積不小于49S△ABC.

綜上所述， 這三部分面積中，至少有一塊大于或等于△ABC面積的49.

題型3 平行直線問題.

例5 證明：如圖7所示，自△A1A2A3的一個頂點A1向其他兩角的平分線作垂線，則兩垂足E，F的連線平行于該頂點A1的對邊.

證明 取△A1A2A3為坐標三角形， 設E=（α1，α2，α3），F=（β1，β2，β3）.

首先不難算出

α1∶α3=a1∶a3，

α2∶α3=a2cos（A3+A22）∶a3cosA22.

于是

E=（a1cosA22∶a2cos（A3+A22）∶a3cosA22）.

同理

F=（a1cosA32∶a2cosA32∶a3cos（A2+A32））.

由定理5可得直線EF的方程為

xyza1cosA22a2cos（A3+A22）a3cosA22a1cosA32a2cosA32a3cos（A2+A32）=0.

利用積化和差等三角公式，化簡得

（a2a3sinA1）x-（a3a1sinA2）y-（a1a2sinA3）z=0.

再由正弦定理， 有x+y+z=0.

也可寫為2x-（x+y+z）=0.

由定理6即知此直線應與直線x=0平行.

5 結束語

利用純幾何法解決平面幾何問題，很多時候解題過程簡短，但經常需要添加輔助線，以及利用一些不易想到的技巧，技巧性強，不易掌握.然而，利用直角坐標來處理，則運算量特別大，過程繁雜.如果是利用重心坐標來處理平面幾何問題，尤其是平面幾何中的共點線問題、共線點問題、平行線問題、面積問題等，問題會變得更簡單，同時解題思路清晰、操作性極強，而且解題過程簡潔.因此可以說，重心坐標是解決平面幾何問題的新視角、新思路和新方法.

重心坐標的引入，給平面幾何問題的解決帶來了新的突破.也許重心坐標解幾何題沒有“點幾何”來得那么直接而迅速，但也不失為一種方法，值得嘗試，值得進一步探究.從上文例題的解答過程可知，利用重心坐標來解決平面幾何問題，要比利用直角坐標來解決簡單得多.

參考文獻：

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［責任編輯：李 璟］