理解數學 理解學生 理解教學

摘 要：文章基于“理解數學、理解學生”的觀點，引導學生思考“新定義”問題的解決策略，教會學生用數學的眼光去觀察、發現，形成“實踐—發現—證明”的數學思維，實踐“理解教學”的理念.

關鍵詞：理解教學；新定義問題；探究與發現能力；遞推法計數

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0049-03

收稿日期：2024-09-05

作者簡介：張宜凡（1986.12—），男，江蘇省蘇州人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“數據驅動高質量發展的‘發現教育’實踐與創新”（項目編號：D/2021/02/209）.

章建躍先生提出“理解數學、理解學生、理解教學”［1］.理解數學是提高教學質量的前提，只有理解數學，才能準確地確定教學目標與任務，從而在目標的驅動下，準確解析教學任務中所蘊含的數學思想；理解學生是實現有效教學的基礎，只有理解學生，才能立足于學生的“最近發展區”，用學生的眼光對待數學教學，向學生有機滲透數學思想和方法；理解教學是實施有效教學的關鍵，只有理解教學，才能有效實現教與學的和諧統一，在這個統一體中努力實踐數學思想的感悟與內化.

1 基本情況

1.1 試題分析

題目 設m為正整數，數列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數列，若從中刪去兩項ai，aj（ilt;j）后剩余的4m項可被平分為m組，且每組的4個數都能構成等差數列，則稱數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分數列.

（1）寫出所有的（i，j），1≤ilt;j≤6，使得數列a1，a2，…，a6是（i，j）-可分數列；

（2）當m≥3時，證明：a1，a2，…，a4m+2是（2，13）-可分數列；

（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數i和j（ilt;j），記數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分數列的概率為pm，證明：pmgt;18.

本題是2024年新高考Ⅰ卷的第19題，設計新穎，背景公平，極具探索性、創新性.試題以學生熟悉的等差數列為主要載體，給出了（i，j）-可分數列的新定義，將數列和概率兩個主要模塊有機結合.

1.2 學情分析

從學生的考后反饋來看，很多學生在考場中無法準確找到第三問突破口，對于可分數列的分類及計數比較混亂，沒有明確解決問題的方案.還有部分同學完全沒有信心去解決第三問而選擇直接放棄.

針對學生在考場中反映出的問題，結合考場中將本題做出來的同學的方法，思考如何能立足于學生的“最近發展區”，結合學生已有知識體系，從理解學生角度進行有效的新高三教學，特別是新概念壓軸題教學.

1.3 教學目標及重難點

教學目標 （1）體會遞推法在計數中的作用；（2）體會新概念問題的審題、理解、方法選擇等，學會如何去研究新問題；（3）理解新概念問題解決的數學思想——從特殊到一般、類比與轉化；（4）通過逐步設問與探索，增強學生發現數學魅力的熱情，提高解決復雜問題的信心和能力.

教學重點 （1）學會如何理解與分析新概念問題，以及如何研究數學新問題；（2）計數方法的選擇，特別是遞推法在計數中的應用.

教學難點 研究新問題的方法與思想，形成“實踐—發現—證明”的數學思維.

2 教學過程

2.1 理解問題

師：如何閱讀和理解本題？

生：題目給出一個新定義，即可分數列.第（1）問通過一個具體例子來認知新定義的數列，第（2）問探究一類特殊的可分數列，即（2，13）-可分數列，第（3）問本質是求所有的可分數列個數.設問是層層遞進的，研究清楚前兩問應該對第三問有促進作用.

設計意圖 讓學生有整體審題觀，先弄清楚問題屬于哪一個類型.如本題是研究可分數列個數的，同時注意所求也是問題的一部分，也需要作為審題的一部分，弄清楚所求與條件的基本關系以及設問之間的邏輯關系，有助于我們整體把握問題本身.

師：要想解決問題，什么是核心？

生：理解清楚“（i，j）-可分數列”的特征，研究其背后的性質.

2.2 初步探究

師：可以得到哪些“（i，j）-可分數列”的性質？

生：首先可以簡化一下問題，不妨設an=n，這是因為公差不為0的等差數列具有性質：aik為等差數列當且僅當ik是等差數列.

師：很好，把數列變成我們更熟悉的正整數數列，更有利于去發現“（i，j）-可分數列”的性質.

生：數列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2顯然是（1，2）-，（4m+1，4m+2）-，（1，4m+2）-可分的.

生：數列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2也是

（4s+1，4s+2）-，0≤s≤m可分的.

師：根據定義直接觀察就發現上面幾種平凡的可分數列，這實際上就是第一問讓我們寫出來的類型.能否發現一些不平凡的可分數列類型呢？

設計意圖 對于要研究的問題先從最簡單的角度去思考，得到一些平凡的結果，既能增強學生解決問題的信心，也可以為問題的解決提供基本的結果.關注設問，其也作為理解問題的一個方面，能給我們提供一些啟示.

師：大家可以從m=2出發去研究一下.

生：當m=2時可以得到1，2，3，…，8，9，10去掉2，9，剩余的項可以組成2組公差為2的等差數列，即1，3，5，7;4，6，8，10，故數列1，2，3，…，8，9，10是（2，9）-可分的.

生：當m=3時，1，2，3，…，12，13，14去掉2，13不能組成3組公差為2的等差數列，這是怎么回事？

生：應該是構成3組公差為3的等差數列，即1，4，7，10;3，6，9，12;5，8，11，14.

師：我們能否將這個結論推廣呢？

生：推廣為“數列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2是（2，4m+1）-可分的”.

生：類比上面的證明，分為m組，每組公差為m，即：

1，m+1，2m+1，3m+1；3，m+3，2m+3，3m+3；4，m+4，2m+4，3m+4；m，2m，3m，4m；m+2，2m+2，3m+2，4m+2.

師：很好，我們得到一類不平凡的可分數列.

設計意圖 類比推理及證明是我們解決新定義問題的一個重要手段，由特殊到一般，由具體到抽象，大膽猜測，小心求證.重視設問中要證明的結果，為我們的研究與發現提供方向.

2.3 擬訂方案

師：還有其他類型的可分數列嗎？

生：我還發現一類，數列1，2，3，…，4m，4m+1，4m+2是（4s+1，4t+2）-可分的，其中0≤slt;t≤m.

師：怎樣分類才能得到所有的可分數列呢？師：能否從第三問得到啟示呢？

生：題目只要證明不等式pmgt;18，我們可能不需要找出所有的可分數列，由于從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數i和j（ilt;j），共有C24m+2=8m2+6m+1中取法，只要可分數列個數多于18C24m+2=m2+18（6m+1）即可.

師：非常好，不要只顧去找所有的可分數列，還要看所求，根據目標及時調整方向.計算哪些類型的可分數列使得其個數多于18C24m+2=m2+18（6m+1）呢？

師：回顧一下高中我們學習過的常見計數方法.

生：枚舉法、排列組合、遞推法、對應法.

生：這是一個正整數問題，可以考慮使用遞推方法.

師：很好，大家嘗試一下.

生：設f（m）表示“使得數列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）-可分的（i，j）個數”，則f（m+1）表示“使得數列a1，a2，…，a4m+6是（i，j）-可分的（i，j）個數”，發現數列a1，a2，…，a4m+6可以看成a1，a2，…，a4m+2和a5，a6，…，a4m+6的并，公共部分為a5，a6，…，a4m+2，這樣可分數列的（i，j）包含1≤ilt;j≤4m+2或5≤ilt;j≤4m+6或1≤i≤4，4m+2≤j≤4m+6，可以建立遞推關系.

師：能否用數學符號嚴謹表示出建立遞推關系的過程呢？

生：記

A={（i，j）|a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分的且1≤ilt;j≤4m+2}；

B={（i，j）|a5，a6，…，a4m+6是（i，j）可分的且5≤ilt;j≤4m+6}；

C={（i，j）|a5，a6，…，a4m+2是（i，j）可分的且5≤ilt;j≤4m+2}；

D={（i，j）|a1，a2，…，a4m+6是（i，j）可分的且1≤i≤4，4m+2≤j≤4m+6}；

E={（i，j）|a1，a2，…，a4m+6是（i，j）可分的且1≤ilt;j≤4m+6}，

所以|E|=|A|+|B|-|C|+|D|，其中X表示集合X的元素個數.

則f（m+1）=2f（m）-f（m-1）+|D|，即f（m+1）-f（m）=f（m）-f（m-1）+|D|，其中m≥2.

生：D隨著m的變化而變化，不方便計算.

生：我們只需尋找D的一個下界（常數），上面的遞推關系就可以求通項公式.

師：這個下界究竟選取多少合適呢？

生：可以根據目標待定出來.

生：不妨設下界為λ，由f（m+1）-f（m）≥f（m）-f（m-1）+λ，知

f（m）-f（1）≥（m-1）·［（f（2）-f（1）］+（m-2）（m-1）2λ.

故f（m）≥（m-1）（m-2）2λ+（m-1）［f（2）-f（1）］+f（1），要使f（m）gt;18C24m+2=m2+18（6m+1），則λ≥2.

生：根據第（1）（2）問研究的結果，（1，4m+6），（2，4m+5）∈D，即|D|≥2，也就是λ≥2.

師：非常好，f（m）的下界具體是多少呢？

生：由第（1）問知f（1）=3，a1，a2，…，a10是（1，2）-，（1，6）-，（5，10）-，（9，10）-，（5，6）-，（1，10）-，（2，9）-可分的，故f（2）=7.所以f（2）-

f（1）=4.這樣f（m）≥（m-1）（m-2）+4（m-1）+

3=m2+m+1.

所以f（m）gt;m2+18（6m+1）.

師：非常棒，至此我們完整解決了此題，請同學們將上述分析過程嚴謹書寫出來.

設計意圖 對于D下界的確定采用待定系數法，逐步引導學生解決問題.本方案借鑒學生在高考考場中的做法，站在學生的認知與能力角度，逐步深入體會解決數學問題的樂趣.

3 結束語

教師應

基于理解數學、理解學生的角度進行理解教學，特別強調立足于學生的“最近發展區”和考場生成能力，學會研究新問題的方法與思想，用學生的眼光對待數學教學，向學生有機滲透數學思想和方法.在教學中應教會學生思考這類問題的思考方式，教會學生在面臨一道創新題時，要立足“新定義”去動手實踐，用數學的眼光去觀察、發現，從特殊的情形去體會，與學生的已有知識體系關聯，在此基礎上大膽猜測、小心求證，最終培養學生“實踐—發現—證明”的數學思維.

參考文獻：

［1］章建躍.中學數學課改的十大論題[J].中學數學教學參考（上旬）.2010（3）：2-5，11.

［責任編輯：李 璟］