二元函數條件最值問題常見的求解方法

摘 要：求二元函數條件最值問題技巧性強、難度大、方法多變，二元函數條件最值問題蘊含著豐富的數學思想和方法.文章通過一道聯考題介紹了求二元函數條件最值的方法.

關鍵詞：消元；基本不等式；柯西不等式；判別式；導數

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0002-05

二元條件最值問題是高考、自主招生、強基、各類競賽的熱點.常考常新，創新新穎，形式各樣，變化多端，難度較大，選拔性高，區分度強，備受關注.代數變換、合理轉化、換元消元、配方化簡等是常見的解題技巧.解題時要對主元思想、方程觀點、不等式觀點、函數思想、數形結合思想等不斷琢磨、反復思考.在不同的數學情境中主動探索、主動發現，不斷深入問題實質，反思學習過程，自覺遷移、運用所學知識與方法，積累數學活動經驗，明悟探究方向與方法，逐步由學會到會學[1].本文通過一道高考題，對處理二元條件最值問題的常用求解方法進行歸納總結，以期幫助學生開闊解題思路，鍛煉學生靈活運用知識分析和解決問題的能力，最終提升學生數學學科核心素養.

1 題目呈現

題目 （2022年10月8日湖北高三金太陽百校聯考第16題）已知正數x，y滿足3x+4y=4，則y（1xy+3+12xy+1）的最小值是.

2 解法探討

視角1 基本不等式法.

解法1 消去y+基本不等式.

由3x+4y=4，得y=44-3x（0lt;xlt;43）.

則y（1xy+3+12xy+1）

=44-3x·［14x/（4-3x）+3+18x/（4-3x）+1］

=4（112-5x+14+5x）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

=14（2+12-5x4+5x+4+5x12-5x）

≥14（2+212-5x4+5x·4+5x12-5x）=1，

當且僅當12-5x=4+5x，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法2 消去x+基本不等式.

由3x+4y=4，得3xy=4y-4（ygt;1）.

由y（1xy+3+12xy+1）=y（33xy+9+36xy+3）

=y（34y+5+38y-5）

=112［（4y+5）+（8y-5）］（34y+5+38y-5）

=14（2+4y+58y-5+8y-54y+5）

≥14（2+24y+58y-5·8y-54y+5）=1，

當且僅當4y+58y-5=8y-54y+5，即y=52，x=45時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法3 條件變形+基本不等式.

由3x+4y=4，得3xy+4=4y.

y（1xy+3+12xy+1）=14·4y（1xy+3+12xy+1）

=14（3xy+4）（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

=14［（2+2xy+1xy+3+xy+32xy+1）

≥14［（2+22xy+1xy+3·xy+32xy+1）=1，

當且僅當（2xy+1）2=（xy+3）2，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法4 結論變形+條件變形+基本不等式.

因為y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1

=1x+3/y+12x+1/y，

x+3y+2x+1y=3x+4y=4，

14［（x+3y）+（2x+1y）］=1，

所以y（1xy+3+12xy+1）=14（x+3y+2x+1y）·（1x+3/y+12x+1/y）

=14（2+2x+1/yx+3/y+x+3/y2x+1/y）

≥14（2+22x+1/yx+3/y·x+3/y2x+1/y）=1，

當且僅當x+3y=2x+1y，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法5 雙換元+基本不等式.

設xy+3=a（agt;3），2xy+1=b（bgt;1），

則3xy+4=a+b.

又由3x+4y=4，得

3xy+4=4y.

所以4y=a+b.

所以y=a+b4.

所以y（1xy+3+12xy+1）=a+b4（1a+1b）

=14（2+ba+ab）

≥14（2+2ba·ab）=1，

當且僅當a=b，即xy+3=2xy+1，xy=2，又

3x+4y=4，所以x=45，y=52時，等號成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法6 雙換元+消元+基本不等式.

設xy=a，y=b（agt;0，bgt;0），由3x+4y=4，得3a+4=4b.

所以y（1xy+3+12xy+1）=b（1a+3+12a+1）

=14·4b·（1a+3+12a+1）

=14（3a+4）（1a+3+12a+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

=14（2+a+32a+1+2a+1a+3）

≥14（2+2a+32a+1·2a+1a+3）=1，

當且僅當a+3=2a+1，a=2時等號成立，即

x=45，y=52時，等號成立.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角2 判別式法.

解法7 消去y+判別式.

由解法1 ，令t=112-5x+14+5x（0lt;xlt;43），則tgt;0.

故t=16（12-5x）（4+5x）=16-25x2+40x+48，

所以25tx2-40tx+16-48t=0，tgt;0.

所以△=（40t）2-4×25t×（16-48t）≥0，

即4t2-t≥0，即t≤0（舍去），t≥14.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法8 消去x+判別式.

由解法2， y（1xy+3+12xy+1）=y（34y+5+38y-5）=36y232y2+20y-25，

令t=y232y2+20y-25（ygt;1），

由t=y232y2+20y-25（ygt;1），得

（32t-1）y2+20ty-25t=0，

當32t-1≠0時，△=400t2+100t（32t-1）≥0，

36t2-t≥0時，t≤0（舍去），t≥136且t≠132.

當32t-1=0時，t=132，y=54gt;1，符合題意.

故t≥136.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角3 柯西不等式法.

解法9 消去y+柯西不等式.

由解法1，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（12-5x）+（4+5x）］（112-5x+14+5x）

≥14（12-5x·112-5x+4+5x·14+5x）2

=1，

當且僅當=12-5x1/（12-5x）=4+5x1/（4+5x），即x=45，y=52時，等號成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法10 消去x+柯西不等式.

由解法2，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（4y+5）+（8y-5）］（14y+5+18y-5）

≥14（4y+5·14y+5+8y-5·18y-5）2，

當且僅當4y+51/（4y+5）=8y-51/（8y-5），即x=45，y=52時，等號成立，

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法11 條件變形+柯西不等式.

由解法3，得

y（1xy+3+12xy+1）

=14［（xy+3）+（2xy+1）］（1xy+3+12xy+1）

≥14（xy+3·1xy+3+2xy+1·12xy+1）2

=1，

當且僅當xy+31/（xy+3）=2xy+11/（2xy+1），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法12 結論變形+條件變形+柯西不等式.

由解法4，得y（1xy+3+12xy+1）

=14［（x+3y）+（2x+1y）］（1x+3/y+12x+1/y）

≥14（x+3y·1x+3/y+2x+1y·12x+1/y）2

=1，

當且僅當x+3/y

1/［x+3/y］=2x+1/y1/（2x+1/y），即xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法13 雙換元+柯西不等式.

由解法5，得

y（1xy+3+12xy+1）=14（a+b）（1a+1b）

≥14（a·1a+b·1b）2=1，

當且僅當a1/a=b1/b，即a=b，xy+3=

2xy+1，xy=2，又3x+4y=4，即x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法14 雙換元+消元+柯西不等式.

由解法6，得y（1xy+3+12xy+1）

=14［（a+3）+（2a+1）］（1a+3+12a+1）

≥14（a+3·1a+3）+2a+1·12a+1）2

=1，

當且僅當a+31/a+3=2a+11/2a+1，即a=2，xy=2，又3x+4y=4，所以x=45，y=52時，等號成立.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角4 導數法.

解法15 消去y+導數.

由解法7，令t=112-5x+14+5x（0lt;xlt;43），

則t=16-25x2+40x+48，

t′=-16（-50x+40）（-25x2+40x+48）2

=160（5x-4）（-25x2+40x+48）2.

當0lt;xlt;45時，t′lt;0;

當45lt;xlt;43時，t′gt;0.

所以當x=45時，它有最小值，t的最小值是14.

故y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

解法16 消去x+導數.

由解法8，得

t=y232y2+20y-25（ygt;1），

t′=2y（32y2+20y-25）-y2（64y+20）（32y2+20y-25）2

=10y（2y-5）（32y2+20y-25）2.

當1lt;ylt;52時，t′lt;0；

當ygt;52時，t′gt;0.

所以y=52時，t的最小值是136.

即y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角5 權方和不等式法.

解法17 權方和不等式.

y（1xy+3+12xy+1）=yxy+3+y2xy+1

=12x+3/y+122x+1/y

≥（1+1）23x+4/y=44=1，

當且僅當1x+3/y=12x+1/y，3x+4y=4，

即x=45，y=52時取等號.

所以y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

視角6 拉格朗日乘數法.

解法18 拉格朗日乘數法.

令F（x，y）=y（1xy+3+12xy+1）+λ（3x+4y-4），

Fx′=-y2（xy+3）2-2y2（2xy+1）2+3λ，①

Fy′=3（xy+3）2+1（2xy+1）2-4λy2 ，②

3x+4y=4，③

由①和②聯立求解得xy=2，④

由③和④聯立求解得x=45，y=52.

故當x=45，y=52時，y（1xy+3+12xy+1）的最小值是1.

3 結束語

從多角度探究一道聯考試題，是培養學生能力的重要方式，也是實現數學核心素養的一個重要載體.多角度探究一道試題有利于學生由點到面地掌握有關知識，抓住問題的本質、求解方法以及蘊含的結論，最終實現做一題得一類題，做一題掌握更多的知識.思考角度不同，方法就各不相同，所涉及的知識也不同，解題的難易程度也不盡相同，對培養學生發散思維能力非常重要，它有利于培養學生的創新意識和提升學生的數學核心素養.另外，本文中柯西不等式、權方和不等式、拉格朗日乘數法并不是高考要求考查的內容.但是，作為整個數學知識體系的一部分，對學有余力的學生進行一些拓寬，使其知識面更加全面和完整是非常有必要的[2].

參考文獻：

［1］楊華，邵春成.探索發現 遷移拓展[J].數學通訊，2023（08）：47-49.

［2］ 宋秋林，何拓程.談談多變元問題的思考策略[J].高中數理化，2022（11）：40-42.

［責任編輯：李 璟］