兩個重要極限及其應用探討

摘"要：兩個重要極限是微積分學中的基礎概念，它們在數學分析和實際應用中有著廣泛的應用。首先，探討第一個重要極限的意義，利用夾逼定理給出第一個重要極限的證明方法。其次，探討第二個重要極限的價值，主要利用單調有界數列必有極限和夾逼定理給出第二個重要極限的證明方法；探討主要變式并給出證明；探討主要變式之間的共同特征。最后，探討兩個重要極限在三個方面的應用。

關鍵詞：第一個重要極限"第二個重要極限"0/0未定型"1∞未定型

中圖分類號：O172

ExplorationofTwoImportantLimitsandTheirApplicationsCHENYanMinjiangTeachersCollege，Fuzhou，FujianProvince，350108China

Abstract：TwoimportantlimitsarethebasicconceptsinCalculus，andtheyarewidelyusedinmathematicalanalysisandpracticalapplications.Firstofall，thesignificanceofthefirstimportantlimitisdiscussed，andtheproofmethodofthefirstimportantlimitisgivenbyusingthesqueeze"theorem.Secondly，thevalueofthesecondimportantlimitisdiscussed，theproofmethodofthesecondimportantlimitisgivenbyusingthemonotoneboundedsequenceboundlimitandthesqueezetheorem;Themainvariantsarediscussedandproved;Thecommoncharacteristicsofthemainvariantsarediscussed.Finally，theapplicationsoftwoimportantlimitsarediscussedinthreeaspects.

KeyWords：Thefirstimportantlimit;Thesecondimportantlimit;0/0undefined;1∞undefined

在數學中，極限是一個重要的概念，用于描述函數或數列趨向于某個值的過程。兩個重要極限是微積分學中的基礎概念，它們在數學分析和實際應用中有著廣泛的應用。例如：在物理學中，它們可以用來描述物體的運動現象；在經濟學中，它們可以用來解決復利計算等問題。本文將詳細探討這兩個重要極限的意義和證明方法，最后給出這兩個重要極限的一些應用。

1"第一個重要極限：

第一個重要極限在微積分中非常基礎且重要，它揭示了正弦函數和它的角度之間的一種關系。證明這個極限值的關鍵在于利用三角函數的性質和夾逼定理。第一個重要極限的幾何意義就是正弦函數在原點處的斜率。下面先敘述一個定理，然后再證明。

夾逼定理：若對于∈或時，有，且，則。

現證明第一個重要極限。

證明：取一個半徑為1的單位圓，表示以弧度計的圓心角，設（如圖1所示），因為扇形的面積大于△的面積而小于△的面積（為該圓在點的切線），所以有，各式同除以正值，得，即。

（1）下面證明（）"。

證明：因為，且，所以由夾逼定理推得可知，又因為，所以再次運用夾逼定理即可得

（2）上面證明是在的假設下進行的，對于取負值的情形證明如下。

證明：取一個半徑為1的單位圓，表示以弧度計的圓心角，設，因為扇形的面積大于△的面積而小于△的面積（為該圓在點的切線），所以有，再由三角函數誘導公式以及不等式性質等價變形，得，各式同除以負值，得，即。最后由夾逼定理同理可得：

綜上，由式（1）、式（2）成立可得第一個重要極限得證。

第一個重要極限還有一個重要的變式：，運用極限的四則運算法則即可得證。

第一個重要極限還可以進一步推廣當趨于常數時的情形，即，可令，進行換元等價變形后即可得證。

小結：認真觀察、、，可以發現以下幾個特點：

（1）極限式子中都含有三角函數；（2）極限式子中函數的變量可以是趨于0，也可以是趨于某個常數，但是它們的極限都等于常數1；（3）極限式子外在形式不同，但是本質屬性相同，都屬于含有三角函數的未定型——0/0。

2第二個重要極限：

第二個重要極限在數學和物理學中有著廣泛的應用，特別是在概率論和復利計算中。證明這個極限的關鍵在于利用指數和對數函數的性質，以及單調有界原理。下面先敘述一個定理，然后再證明。

定理：單調有界數列必有極限。

這個定理在幾何上是很顯然的，例如單調增而有界數列，當增大時它對應在數軸上的點不會向左移動，而又不會超過某一定點，所以當無限增大時，點就會聚集在某一定點附近，即可以任意地小（同樣可解釋單調遞減而有界數列）。

下面證明數列的極限存在。

證明：因為由

由此可知，的前項不小于的相應項，而且比的展開式還多一個正項，所以，因此是單調遞增數列。此外，由的展開式可得

所以是有界數列。

綜上所述，是單調有界數列，因此極限存在，通常用字母來表示它，即

同時還可以證明，函數當時，有極限，且。

下面證明：。

證明：設，則，且和同時趨于，因為

應用夾逼準則，即得。

證明：令，則當時，.從而

由（1）（2）可得。

第二個重要極限有一個重要變式，即

下面證明：

證明：令，則當時，，從而

小結：通過觀察、、這幾個在第二個重要極限推導過程中得到的公式，可以發現它們有幾個特點：（1）極限式子中函數的變量可以是自然數也可以是實數，但是它們的極限都等于常數；（2）盡管極限式子中的函數的變量趨向不同，但是底數都是“1+0”的形式；（3）極限式子中的函數的指數部分的極限值為，且與底數第二個加數互為倒數；（4）極限式子外在形式不同，但是本質屬性相同，都屬于同一個未定型——。

此外，利用換元法還可以在重要變式（3）的基礎上，進一步得到第二個重要極限更為一般的變式，即：當時，有，則

或當時，有，則

3""兩個重要極限應用探討

下面通過極限計算、理論證明以及解決實際問題這三個方面的應用探討，幫助大家大致了解兩個重要極限在數學中的重要地位和作用。

3.1"探討一：利用兩個重要極限公式計算函數的極限

例1"求

解法一：當趨于0時，趨于0，趨于0，確定是0/0型未定式且含三角函數可以考慮用第一個重要極限，不能直接應用第一個重要極限，可用換元法，令，令，當趨于0時，且，于是得

解法二：當趨于0時，趨于0，趨于0，確定是0/0型未定式且含三角函數，可以考慮用第一個重要極限的推廣，即直接用等價無窮小進行因式替換，由于當時，～，～，得

例2"求

解法一：先等價變形成1∞型的未定式，再運用第二個重要極限的變式（3）求解。

解法二：對1∞型的未定式指數進行等價變形時，可以巧妙利用“1”的兩個特性：進行求解。

注意：解法二中巧妙利用“1”對1∞型的未定式指數進行等價變形，可以形成模式化，對于越復雜的冪指函數使用這個方法就越簡便。等價變形如下所示：

3.2"探討二：兩個重要極限在理論推導方面的應用

16個基本初等函數導數公式中三角函數占10個。10個三角函數導數公式中，和的導數是推導其他三角函數導數公式的重要基礎。而要推導和的導數，都要用到第一個重要極限。此外，和的導數公式推導都要用到第二個重要極限。16個基本初等函數導數公式再加上求導法則，就可以實現對所有的初等函數進行求導。進而就有了洛必達法則，可以用來解決形如00、1∞以及0/0、∞0等未定型的極限。而兩個重要極限就是0/0和1∞未定型的特殊情況。此外，要注意不能利用洛必達法則證明兩個重要極限，這樣會犯循環論證的錯誤。

3.3"探討三：重要極限公式在解釋、解決現實世界現象和問題方面的簡單應用

第二個重要極限可以用來解釋、解決現實世界中存在的許多現象和問題。例如，細胞繁殖、放射性衰變、人口增長、存款復利計算等消亡與生長同時并存的現象和問題。下面以銀行連續復利和的計算為例進行說明。

假設某人在中國銀行有一筆存款，本金為，年利率為，一年過后本利和為，，年過后本利和為。如果一年分次計算利息，年利率仍然保持不變，則每期利率為，一年過后本利和為，年過后本利和為。若一年計算利息期數，則上述公式就成為連續復利和公式。年過后的連續復利和為

通過分析上面的連續復利和計算公式，可以看出隨著年頭的增長所得的本利和越大，但是不超過這個上限。因此，第二個重要極限可以用來解決銀行連續復利和的計算和近似估計。

4"結語

兩個重要極限是微積分學中的基礎概念，它們在數學分析和實際應用中有著廣泛的應用。文章通過探討兩個重要極限的意義和證明方法等過程，幫助人們更好地理解并掌握兩個重要極限的特征、變式以及推廣。另外，給出這兩個重要極限在極限計算、理論證明以及生活實際中的應用，幫助人們更好地理解兩個重要極限的地位和價值。

參考文獻

[1]吳順唐.數學分析（上冊）[M].南京：南京大學出版社，2022：43-46.

[2]同濟大學數學科學學院.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2023：47-49.

[3]張創源，青君.等價替換在1∞型極限中的應用[J].南方職業教育學刊，2020（2）：95-98.

[4]韋慧，倪晉波.高等數學中函數極限計算的幾種方法[J].安陽工學院學報，2023（2）：93-96.

[5]張傳芳，楊春玲.關于一類1∞型未定式的極限問題[J].牡丹江師范學院學報（自然科學版），2024（2）：75-76，80.

[6]同濟大學數學科學學院.高等數學習題全解指導（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2023：38-45.

[7]王麗麗.洛必達法則在解析求極限類問題中的應用[J].河南工程學院學報（自然科學版），2022（1）：76-80.

[8]張茜，李巧俠.MATLAB在高等數學課堂教學中的應用分析[J].創新創業理論研究與實踐，2021（9）：12-14.

[9]賈俊晶，張超.近十年考研數學三的極限計算試題分析[J].高等數學研究，2023（6）：24-28.