基于晶體塑性理論和XFEM的鎳基單晶三維裂紋擴展仿真研究

關鍵詞：晶體塑性理論； 擴展有限元； 鎳基單晶高溫合金； 裂紋擴展

中圖分類號：V215 文獻標識碼：A DOI：10.19452/j.issn1007-5453.2024.10.007

鎳基單晶高溫合金因其優異的高溫力學性能被廣泛用于航空發動機渦輪葉片的鑄造[1]。然而渦輪葉片長期工作于高溫、高壓、高轉速的環境，在熱-機械交變載荷、熱腐蝕以及偶發的異物沖擊作用下，裂紋損傷成為其常見損傷形式[2-3]，預測裂紋發展趨勢對于避免葉片應力集中區斷裂、防止空難事故發生具有重要意義[4-5]。為了滿足航空發動機損傷容限設計和維修性評估的需要，鎳基單晶高溫合金裂紋擴展的仿真分析成為必須要解決的關鍵技術。

擴展有限元法（XFEM）因其對連續-間斷場描述的高度靈活性常被用于處理裂紋擴展等局部不連續問題的求解[6-8]。然而，鎳基單晶高溫合金的晶體各向異性特點導致常規材料本構和損傷模型不能很好地描述其裂紋擴展行為[9-10]。隨著研究的深入，將晶體滑移理論與擴展有限元法結合成為研究鎳基單晶材料的裂紋擴展行為的有效途徑[11-12]。學者們克服了擴展有限元法在單晶領域應用的諸多困難，在以殼單元為依托的二維平面裂紋擴展分析領域，Wilson 等[13]通過XFEM技術與晶體塑性理論相結合研究了單晶微裂紋沿滑移方向和沿最大主應力方向擴展的區別，通過試驗分析得出單晶微裂紋擴展方向對最大主應力方向依賴較小的結論。墨馨遙等[14]借助仿真軟件，利用擴展有限元（XFEM）技術分析了不同角度的裂紋以及在不同應力狀態下裂紋的擴展情況。Karamitros 等[15]以最大滑移所在平面為斷裂面，研究了鎳基單晶材料板件在二維平面內的裂紋擴展情況，得出裂紋前期擴展路徑會垂直于受力方向曲折發展且在裂紋長度達到一定程度后會沿著拉伸受力方向傳播的結論。在以體單元為依托的三維裂紋擴展研究方面，Zhang Xiaoxian 等[16]將臨界儲能密度作為斷裂準則，研究了微觀層次晶界扭轉對于裂紋擴展速率的影響，發現不同取向晶粒之間扭轉角越大，短裂紋的擴展速率越慢。相對于二維裂紋擴展仿真，三維裂紋的開裂平面更多，裂紋路徑更復雜，相關研究還須進一步深入。目前，尚未見基于晶體塑性理論的鎳基單晶渦輪葉片特征結構裂紋擴展分析的公開報道。有鑒于此，本文通過XFEM建立了鎳基單晶合金的三維裂紋擴展仿真方法，探討了以累積剪切應變作為斷裂準則、最大剪切應變所在平面為斷裂面的鎳基單晶三維裂紋擴展行為，并應用于前緣氣膜孔結構裂紋擴展分析，為葉片的剩余壽命評估提供技術支撐。

1 理論基礎

1.1 晶體塑性理論

假定在滑移變形中晶體的彈性性質不受影響的情況下，單晶合金的彈塑性本構方程可以寫為[17]

比較得出八面體滑移系族中最大的累積剪切應變所在平面，將其與參考累積剪切應變進行比較，本次計算中將25℃下的參考累積剪切應變取為0.026，650℃下的參考累積剪切應變取為0.02[17]。

選取ICSSa 絕對值大于參考累積剪切應變的滑移系所在平面法向為斷裂方向，更新富集元素區域。若未大于參考累積剪切應變，繼續開始下一增量步迭代。

（6）當前迭代步收斂后，向主進程返回最大參考剪切應變滑移系所在滑移面法向以及單元狀態。

（7）更新滑移系基矢量，重新旋轉滑移系矩陣，得到晶體變形后滑移方向與滑移面法向在整體坐標系下的方向矩陣。

（8）主進程讀取損傷子程序中的失效單元信息，剔除失效單元，重構剛度陣，進行下一步迭代，迭代收斂后判斷分析步是否結束，否則開啟下一個增量步循環。

鎳基單晶材料裂紋擴展行為仿真流程如圖1 所示。本文基于某仿真軟件以及其子程序的調用實現了晶體塑性理論和擴展有限元的結合。

在XFEM仿真分析方面存在兩個分析限制：（1）一個富集單元中只能包含一條直裂紋，目前使用XFEM技術進行單個預制裂紋的擴展路徑仿真，只能存在一條裂紋路徑，無法模擬出裂紋分叉的現象；（2）裂紋擴展路徑在傳播方向偏角不能大于90°，當出現沖突時需要進行數值矯正，否則將會計算不收斂。這兩個限制造成若在一個富集單元內裂紋的傳播方向在單元邊界處發生折返現象或傳播方向發生大角度偏轉時，以及裂紋傳播方向偏角大于裂紋與邊界面夾角或大于90°時計算報錯，裂紋將按原方向繼續擴展下去[17]，此現象在單晶裂紋擴展模型中較為常見。針對此現象采用下列解決辦法：通過在鄰近單元引入一個小角度路徑的方法，使其方向在兩個富集單元之內發生偏轉，這種解決辦法需要引入一個中間單元進行裂紋的路徑調整，這樣會產生一個單元長度的裂紋路徑偏移，可以通過減小裂紋周邊富集單元大小來減少此處誤差。

3 仿真結果分析

3.1 含氣膜孔薄板裂紋擴展行為分析

基于建立的裂紋擴展仿真方法針對含氣膜孔薄板進行單軸拉伸下的裂紋擴展行為分析。建立一長30mm、寬0.5mm、高60mm平板件，中心位置建立直徑為2mm的圓孔，并且在孔水平直徑最大位置建立0.1mm初始裂紋薄板采用DD6材料，密度為8.78E-09t/mm³，定義Z 軸方向為001取向，本文仿真不考慮取向偏差的影響，具體材料參數見《中國高溫合金手冊》，幾何模型如圖2所示。

對所建立薄板模型底端固定約束，對另一端施加0.5mm軸向位移約束來模擬軸向拉伸過程，最大步長設置為0.1，溫度取650℃，該溫度下斷裂判據ICSS取為0.02，載荷施加結果以及幾何離散化結果如圖3所示，孔兩側設置初始裂紋，長度為0.1mm。

含孔薄板模型的裂紋擴展行為分析結果如圖3（a）所示，裂紋尖端單元的狀態隨時間變化如圖3（b）和圖3（c）所示。從圖3（b）中可以得出，裂紋尖端單元的應力隨著載荷的施加應力逐漸增長，當其某一滑移系達到斷裂條件后，單元發生破化，應力產生突變，之后隨著載荷的繼續施加應力逐漸開始回升，從圖3（c）中可以得出，當裂紋尖端單元將被破壞掉時，對應滑移系的累積剪切應變也會在較短的時間增量內發生大的波動，對比晶體塑性理論在彈塑性變形階段的本構方程可以發現這種劇烈波動是斷裂仿真中獨有的現象，這說明僅考慮彈塑性變形來對裂紋擴展方向做出評估是不合理的。

結合路徑結果以及材料特性，DD6 材料具有三個正交對稱面，其裂紋擴展路徑與晶體平面對稱，在八面體滑移系中，4 個滑移面與（100）平面的交線位于中軸線呈45°夾角方向，且關于中軸線對稱，同時考慮此為對稱結構下的單軸拉伸試驗，認為對中心孔進行對稱拉伸其兩端裂紋分布應有4 種分布情況，如圖4 所示。由于斷裂特性可推測孔周裂紋路徑必然分布在孔的異側，如圖4 中藍色一側與紅色一側，而紅藍兩側各有兩條潛在的裂紋路徑，因此共有4 種分布情況。

考慮仿真中的模型為對稱載荷邊界，圖4 中的4 種情況將被簡化為兩種表現形式，即裂紋路徑分布在拉伸中軸面的同側和異側。但由于數值分析存在結果的唯一性，采用同樣的輸入條件得到的結果是不會發生改變的，同時考慮單晶材料在滑移系尺度下晶相的劃分并不存在對稱性和唯一性，而改變裂紋尖端單元的富集形函數將會對數值分析結果產生微小的隨機擾動，這一行為不會對平衡方程的求解造成影響，但會在裂紋萌生時的損傷參數計算中起到概率隨機作用，在仿真的過程中引入這一行為在本質上符合單晶材料晶體層面的特性，于是在改變裂紋尖端單元的富集形函數后，得到的計算結果如圖5所示。

從圖5 可知，整體裂紋路徑呈V字形，整體應力在孔周呈對稱分布，值得關注的是，裂紋在初始擴展附近出現了路徑方向轉折現象，如圖5 右上側所示，裂紋開裂滑移面發生了改變。由第2 節內容可知，利用XFEM在計算裂紋擴展時存在偏轉角度不可大于90°的限制，且八面體滑移系族中4 個滑移面兩兩法矢量夾角都大于90°，所以此處需要介入數值矯正，矯正結果與實際結果如圖6 所示，當裂紋擴展到A點時出現轉折，從A點之后開始矯正。從矯正結果來看，藍色虛線為解析裂紋開裂路徑，黑色實線為矯正后仿真裂紋擴展路徑，兩條路徑平行，間距不到0.1mm，與解析路徑基本吻合。

3.2 渦輪葉片前緣氣膜孔裂紋擴展行為分析

針對某發動機渦輪葉片前緣氣膜孔如圖9（a）所示，建立與其幾何曲率相似的氣膜孔結構幾何模型如圖9（b）所示，氣膜孔結構為半個空心圓柱上引入三個孔，內壁為1mm，外壁為2mm，壁厚0.5mm，孔徑0.5mm，與葉片模型相應位置對應特征保持一致，將模型底端固定，頂端施加位移約束，使其等于實際模型在相應工況下對應高度下的徑向位移差。在中間孔的一邊引入0.1mm長度的初始裂紋，裂紋方向與水平面平行，如圖9（c）所示。

在本次仿真中，對建立的薄壁氣膜孔模型上下邊界面施加位移約束，上下邊界面Z 向位移差0.2mm，數值取自實際模型同樣高度位置的徑向位移，對下邊界面施加Z 向對稱約束，在氣膜孔的單側引入0.1mm長度的初始裂紋，利用編譯的子程序對氣膜孔模擬件進行裂紋擴展路徑仿真分析，結果如圖10所示。

4 結論

本文開展了鎳基單晶材料單軸拉伸的裂紋擴展行為仿真研究，結合XFEM技術建立了鎳基單晶材料的裂紋擴展仿真方法，并通過對于仿真軟件的二次開發實現了裂紋擴展仿真。在此基礎上，研究了含氣膜孔薄板構件的裂紋擴展行為，通過相關試驗現象驗證了仿真方法的合理性，并進一步推廣至渦輪葉片前緣氣膜孔結構的三維情況，分析了帶有初始裂紋的氣膜孔結構的裂紋擴展情況。主要結論如下：

（2）發動機渦輪葉片前緣氣膜孔結構裂紋擴展行為發生時，當氣膜孔單側開裂，裂紋路徑會經過另外一側的應力集中區，裂紋開裂發生在（1 1 1）平面。