帶分布時滯和阻尼項的偶階中立型廣義彈性桿方程組的振動性分析

摘 要：討論了一類非線性廣義彈性桿組的振動性分析，引入一類新型函數， 再利用廣義Riccati方法，在不須利用特征值定理前提下，獲得了該廣義彈性桿組在Robin邊界條件下每個解振動一些充分性定理，推廣了相關文獻的結論.

關鍵詞：廣義彈性桿方程組；分布時滯；振動性；中立型

中圖分類號：O 175.26" 文獻標識碼：A" 文章編號：1007-6883（2024）06-0001-07

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2024.06.001

在自然界、工程技術、日常生活和社會生活中，普遍存在著物體的往復運動或狀態的循環變化，這類現象稱為振蕩．振動是一種特殊的振蕩，即平衡位置附近微小或有限的振蕩，如聲波和超聲波、工程技術中的機器和結構物的機械振動、無線電和光學中的電磁振蕩等．在非線性振動力學中，彈性桿組是一類重要的研究對象，因為其廣泛應用于石油鉆探、海底電纜、傳動軸系等多數現代工程，所以全面準確了解彈性桿組的振動狀態對這些現代工程研究有著重要的實際指導意義．而彈性桿組常常表示為偏微分方程組，因此透過對偏微分方程組的振動性的深入分析，將有助于了解所對應的彈性桿組的振動狀態，可以對這些現代工程在減振降噪方面具有一定的理論指導作用．在過去的二十多年，很多學者對廣義彈性桿方程（組）振動理論的研究產生了濃濃的興趣，取得了許多成果［1-18］．本文將考慮一類具分布時滯和阻尼項的偶階中立型廣義彈性桿方程組

[?n?tnui（x，t）+αβp（t，ξ）ui[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）+b（t）?n-1?tn-1ui（x，t）+αβp（t，ξ）ui[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）+j=1mcdqij（x，t，η）uj[x，r（t，η）]dμ（η）=ai（t）hi（ui）Δui（x，t）+k=1saik（t）hik（ui（x，ρk（t）））Δui（x，ρk（t）），" "（x，t）∈Ω×R+≡G，" i=1，2，…，m] （1）

在Robin邊界條件

[?ui（x，t）?ν+gi（x，t）ui（x，t）=0，" " （x，t）∈?Ω×[0，∞），] （2）

下解的振動性，所得結論推廣和改進文獻［17］的結果．其中[n≥2]是偶數，[?+=[0，∞），Ω??J]是具有分片光滑邊界[?Ω]的有界區域，[Δui（x.t）=r=1J?2ui（x.t）?x2r]，[ i=1，2，…，m，][ν]是[?Ω]上的單位外法向量，[gi（x，t）]是[?Ω×[0，∞）]上非負連續函數．式（1）中的積分為Stieltjes積分．

本文總假設下面條件成立

（H1）[p（t，ξ）∈C（[t0，∞）×[α，β]，?+）， P（t）=αβp（t，ξ）dτ（ξ）≤Plt;1，P]為常數；

（H2）[g（t，ξ）∈C（[t0，∞）×[α，β]，?）， g（t，ξ）≤t， limmint→∞ξ∈[α，β]g（t，ξ）=∞]；

（H3）[qij（x，t，η）∈C（Ω×?+×[c，d]， （0，∞））， qij（t，η）=maxx∈Ω{qij（x，t，η）}， qii（t，η）]

[=minx∈Ω{qii（x，t，η）}，][ q（t，η）=min1≤i≤m{qii（t，η）-j=1，j≠imqji（t，η）}≥0]，[Q（t）=cdq（t，η）dμ（η）]，[i， j=1，2，…，m]；

（H4）[r（t，η）∈C（[t0，∞）×[c，d]，?）]關于[t，η]均為不減，[ddtr（t，c）]存在，

[r（t，η）≤t，limmint→∞η∈[c，d]r（t，η）=∞]；

（H5）[ai（t），aik（t）∈C（[t0，∞），?+）， ρk（t）∈C（[t0，∞），?）， limt→∞ρk（t）=∞，k=1，2，…，s;]

[qi∈C（G;[0，∞））， qi（t）=minx∈Gqi（x，t）， q（t）=min1≤i≤mqi（t）]，[ i=1，2，…，m];

[fijγ∈C（G×R，R）]，當[uj≠0]時，[fijγ（t，x，uj）uj≥hijγ]，其中

[hijγ∈C（G，（0，∞）），hijγ（t）=][minx∈Ghijγ（x，t），hijγ（t）=supx∈Ghijγ（x，t），Qγ（t）=min1≤i≤m{hijγ（t）-j=1，j≠imhijγ（t）}≥0，][i，j=1，2，…，m]，[];

（H6）[hi（ui）， hik（ui）∈C1（?，?+）， uih′i（ui）≥0， ujh′ik（uj）≥0， i=1，…，m，k=1，…，s;]

（H7）[τ（ξ），μ（η）]分別是[[α，β]]和[[c，d]]的不減函數，[b（t）∈C（[t0，∞），?+）]，且

[t0∞exp（-t0tb（ξ）dξ）dt=∞.]

1 預備知識

本文引入一類[Φ（t，s，l）]型的新函數，再利用廣義Riccati方法，在不須利用特征值定理前提下，獲得了邊界問題（1）、（2）的解振動的若干充分性定理．

定義1 如果向量函數[u（x，t）={u1（x，t）， u2（x，t），…， um（x，t）}T]在[G=Ω×R+]上滿足式（1）和邊界條件（2），則稱該向量函數為問題（1）、（2）的解．

定義2 如果向量函數[u（x，t）={u1（x，t）， u2（x，t），…， um（x，t）}T]的一個非平凡分量[ui（x，t）]在[G=Ω×[μ0，∞）]上對每個[μgt;μ0]均存在一個點[（x0，t0）∈Ω×[μ，∞）]使得[ui（x0，t0）=0]，則稱該向量函數是振動的．

定義3 如果問題（1）、（2）的向量解[u（x，t）={u1（x，t），u2（x，t），…，um（x，t）}T]在[G=Ω×R+]上的非平凡分量中至少有一個是振動的，則稱該向量函數為振動的，否則，向量解[u（x，t）]稱為非振動的．

定義4 設[D={（t，s）|t≥s≥t0}]，稱函數[H（t，s）∈C（D，R）]屬于[X]類函數，記作[H∈X]，如果：[H（t，t）=0，t≥t0;H（t，s）gt;0，tgt;s≥t0，]并且[H]在[D]上關于[t]和[s]有連續偏導數．

定義5 設[E={（t，s，r）|t≥s≥r≥t0}]，稱函數[Φ（t，s，r）∈C（E，R）]屬于[Y]類函數，記作[Φ∈Y]，如果：[Φ（t，t，r）=Φ（t，r，r）=0， t≥r≥t0;Φ（t，s，r）gt;0，tgt;sgt;r≥t0，]并且[Φ]在[E]上關于[s]有連續偏導數．

設[Φ∈Y]，[g（t）∈C（[t0，∞），R）]，定義算子[T[?;r，t]]如下

[T[g;r，t]=rtΦ（t，s，r）g（s）ds，（t，s，r）∈E]， （3）

函數[φ（t，s，r）]定義為

[?Φ（t，s，r）?s=φ（t，s，r）Φ（t，s，r）]． （4）

注1 可以驗證算子[T[?;r，t]]為線性算子，并且滿足

[T[g′;r，t]=-T[gφ;r，t]，g（t）∈C1（[t0，∞），R）] （5）

注2 易知對任意[H1，H2∈X]，有[H1（t，s）H2（s，r）∈Y.]

引理1[19] 設[y（t）∈Cn（[t0，∞），R）]為常號，在[[t0，∞）]上[ynt≠0]且滿足[yntyt≤0]，則

（i）存在[ty≥t0]使得[yit] 在[[ty，∞）]上常號，[i=1，2，…，n-1]．

（ii）存在[l∈0，1，2，…，n-1，n+l] 為奇數，使得

[yitgt;0]，[t≥t1，i=0，1，2，…，l]；

[-1i+?yitgt;0]，[t≥t1，i=l+1，…，n.]

引理2[20] 設[yt]滿足引理1的條件，且[yn-1tynt≤0，t≥ty.]則對每一[θ∈0，1，]存在常數Mgt;0使得

[x′θt≥Mtn-2xn-1t，t≥ty.]

2 振動結果

定理1 若微分不等式

[W′（t）+b（t）W（t）+λQ（t）+λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）≤0，t≥t0]， （6）

沒有最終正解，其中[λ=1-P，N]是某一正數，則邊界問題（1）、（2）的每個解在G內振動．

證明 假設邊界問題（1）、（2）有一個非振動解[{u1（x，t），u2（x，t），…，um（x，t）}]．不妨設當[t≥t0gt;0]時，[|ui（x，t）|gt;0，]令[δi]=sgn[ui（x，t）]，[Zi（x，t）]=[δi][ui（x，t）]，則[Zi（x，t）]＞0，[（x，t）∈Ω×[t0，∞）]，由（H1）、 （H5）知存在[t1≥t0]，使得[Zi（x，t）gt;0]，[Zi（x，ρk（t））gt;0， Zi[x，g（t，ξ）]gt;0， Zj[x，r（t，η）]gt;0， （x，t）∈Ω×[t1，∞），][i，j=1，…，m]，[k=1，…，s.]對方程（1）兩邊同時乘以[δi]且關于[x]在Ω上積分有

[?n?tnΩδiui（x，t）dx+αβp（t，ξ）Ωδiui[x，g（t，ξ）]dxdτ（ξ）+b（t）?n-1?tn-1Ωδiui（x，t）dx+αβp（t，ξ）Ωδiui[x，g（t，ξ）]dxdτ（ξ）+j=1mcdqij（x，t，η）Ωδiuj[x，r（t，η）]dxdμ（η）=ai（t）Ωδihi（ui）Δui（x，t）dx+k=1saik（t）Ωδihik（ui（x，ρk（t）））Δui（x，ρk（t））dx，" i=1，2，…，m.]

從而有

[?n?tnΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx+b（t）?n-1?tn-1ΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx+]

[j=1mδjδiΩcdqij（x，t，η）Zj[x，r（t，η）]dμ（η）dx=ai（t）Ωhi（ui）ΔZi（x，t）dx+]

[k=1saik（t）Ωhik（ui（x，ρk（t）））ΔZi（x，ρk（t））dx，" i=1，2，…，m.] （7）

又

[Ωcdqij（x，t，η）Zj[x，r（t，η）]dμ（η）dx=cdqij（x，t，η）ΩZj[x，r（t，η）]dxdμ（η）]， （8）

利用格林公式，條件（2）和（H6），得

[Ωhi（ui）ΔZi（x，t）dx=?Ωhi（ui）??νZi（x，t）dS-Ω?hi（ui）?Zi（x，t）dx=-?Ωhi（ui）gi（x，t）uidS-Ωδih′i（ui）|?ui（x，t）|2dx≤0，] （9）

[Ωhik（ui（x，ρk（t）））ΔZi（x，ρk（t））dx≤0]， （10）

其中[dS]是在[?Ω]上的面積分元．

于是由式（7）-（10），結合條件（H3）和（H5）得

[?n?tnΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx+b（t）?n-1?tn-1ΩZi（x，t）dx+Ωαβp（t，ξ）Zi[x，g（t，ξ）]dτ（ξ）dx≤-cdqii（t，η）ΩZj[x，r（t，η）]dxdμ（η）+j=1，j≠imcdqij（t，η）ΩZj[x，r（t，η）]dxdμ（η）.] （11）

[Vi（t）=ΩZi（x，t）dx，t≥t1，i=1，2，…，m]，由式（11）得

[Vi（t）+αβp（t，ξ）Vi[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n）+b（t）Vi（t）+αβp（t，ξ）Vi[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n-1）+cdqii（t，η）Vi[r（t，η）]dμ（η）-j=1，j≠imcdqij（t，η）Vj[r（t，η）]dμ（η）≤0，] （12）

令[V（t）=i=1mVi（t）， t≥t1，]則[V（t）gt;0， t≥t1，]于是上式垂直相加，并利用（H3）得

[V（t）+αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n）+b（t）V（t）+αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）（n-1）+cdq（t，η）V[r（t，η）]dμ（η）≤0，" t≥t1.] （13）

令

[y（t）=V（t）+αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）]， （14）

則[y（t）≥V（t）gt;0]，且有

[y（n）（t）+b（t）y（n-1）（t）≤-cdq（t，η）V[r（t，η）]dμ（η）≤0，" t≥t1] （15）

所以，[[exp（t0tb（s）ds）y（n-1）（t）]′≤0]，從而[exp（t0tb（s）ds）y（n-1）（t）]是單調減少的，且最終定號．我們斷言[y（n-1）（t）gt;0]，[t≥t1.]事實上，如果一個[Tgt;t1]，使得[y（n-1）（T）lt;0]．于是有

[y（n-1）（t）≤exp（t0Tb（s）ds）y（n-1）（T）exp（t0tb（s）ds），" " " t≥T，]

積分得

[y（n-2）（t）-y（n-2）（T）≤exp（t0Tb（s）ds）y（n-1）（T）Ttexp（t0vb（s）ds）dv，" " " t≥T，]

由（H7）有[limt→∞y（n-2）（t）=-∞]，這表明[y（t）]是最終負的．這與[y（t）gt;0]是矛盾的．

進而，由引理1知，存在[t2≥t1]，使得[y′（t）gt;0]，[t≥t2.]再由（14）有

[V（t）=y（t）-αβp（t，ξ）V[g（t，ξ）]dτ（ξ）≥y（t）-αβp（t，ξ）y[g（t，ξ）]dτ（ξ）≥y（t）-αβp（t，ξ）y（t）dτ（ξ）=（1-P（t））y（t）≥λy（t），" "t≥t2.] （16）

聯合（15）和（16）得

[y（n）（t）+b（t）y（n-1）（t）≤-λQ（t）y[r（t，c）] ，" t≥t2]， （17）

令

[W（t）=y（n-1）（t）y[λr（t，c）]，" " t≥t2]， （18）

則[W（t）≥0， t≥t2]．因[y（t）]遞增和（H4），于是存在[t3≥t2]，使得[y[r（t，c）]gt;y[λr（t，c）]gt;0， t≥t3].又因[r（t，c）≤t]和[r′（t，c）gt;0]，因而由引理2得，存在[Ngt;0]及[t4≥t3]，使得

[y′[λr（t，c）]≥Nrn-2（t，c）y（n-1）[r（t，c）]≥Nrn-2（t，c）y（n-1）（t）， t≥t4.] （19）

于是，由（17）、（18）和（19），得

[W′（t）=y（n）（t）y[λr（t，c）]-λr′（t，c）y（n-1）（t）y′[λr（t，c）]y2[λr（t，c）]≤-b（t）W（t）-λQ（t）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t），t≥t4，]

即

[W′（t）+b（t）W（t）+λQ（t）+λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）≤0，" t≥t4]， （20）

表明[W（t）]為（6）的某一最終正解，矛盾．證畢．

定理2 若[?r≥t0，?Φ∈Y，]使得

[limsupt→∞TλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，tgt;0]， （21）

其中算子[T]和函數[φ（t，s，r）]各由式（3）和（4）定義，則邊界問題（1）、（2）的每個解在G內振動．

證明 假設不等式（6）存在最終正解[W（t）]，即存在[t1≥t0]，使得[W（t）gt;0，t≥t1]．由（6）有

[λQ（t）≤-W′（t）-b（t）W（t）-λNgn-2（t，a）W2（t），t≥t1]， （22）

應用算子[T[?;r，t]（t≥r≥t1）]于式（22），并由（5）可得

[T[λQ（t）;r，t]≤T[-W（t）-b（t）W（t）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）;r，t]≤T[W（t）φ（t，s，r）-b（t）W（t）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W2（t）;r，t]=T（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）-λNrn-2（t，c）r′（t，c）W（t）-φ（t，s，r）-b（t）2λNrn-2（t，c）r′（t，c）2;r，t≤T（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，t ，]

于是[?t≥r≥t1]，有

[TλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，t≤0]， （23）

取上極限，得

[limsupt→∞TλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）;r，t≤0]，

這與（21）矛盾．證畢．

若取[Φ（t，s，r）=H1（t，s）H2（s，r）]，其中[H1，H2∈X]，由定理1有

定理3 若對任意[r≥t0]，存在[H1，H2∈X]，使得

[limsupt→∞rtH1（t，s）H2（s，r）λQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）-h1（t，s）H1（t，s）+h2（s，r）H2（s，r）2dsgt;0] ，（24）

其中

[?H1（t，s）?s=-h1（t，s）H1（t，s）]，[?H2（s，r）?s=-h2（s，r）H2（s，r）]，

[h1，h2]在[D]上局部可積，則邊界問題（1）、（2）的每個解在G內振動．

若取[Φ（t，s，r）=ρ（s）（t-s）α（s-r）β]，其中[ρ（s）∈C1（[t0，∞），R+），α，βgt;1]是常數．則定理1成為下面定理

定理4 若對任意[r≥t0]，存在[ρ（s）∈C1（[t0，∞），R+），α，βgt;1]是常數，使得

[limsupt→∞rtρ（s）（t-s）α（s-r）βλQ（t）-（φ（t，s，r）-b（t））24λNrn-2（t，c）r′（t，c）βt-（α+β）s+αr（t-s）（s-r）2dsgt;0]，

則邊界問題（1）、（2）的每個解在G內振動．

注3 當[b（t）=0]時，方程（1）就是文獻［17］所研究的方程，因而本文的結論推廣和包含了文獻［18］的結果．

注4 利用本文的思想方法，可以考慮Dirichlet邊界條件

[u（x，t）=0，（x，t）∈?Ω×R+]， （25）

不難得到邊界問題（1）、（25）的振動性定理．

3 結 論

本文討論一類帶分布時滯和阻尼項的偶階非線性中立型廣義彈性桿方程組在Robin邊值條件下解的振動性問題，通過引入一類新型函數[Φ（t，s，r）]，得到了該彈性桿方程組的任意解振動的充分條件．這反映出彈性桿組在這種情況下的振動狀態——它始終發生振動．

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Oscillation Analysis of Even Order Nonlinear Neutral""Generalized Elastic Rod Equation Systems with"Distributed Delays and Damping Terms

LIN Wen-xian

（College of Mathematics and Statistics， Hanshan Normal University， Chaozhou， Guangdong， 521041）

Abstract：This study discusses the oscillation analysis of a class of nonlinear generalized elastic rod systems. A new type of function is introduced， and the generalized Riccati method is employed to derive sufficient conditions for the oscillation solutions of the generalized elastic rod system under Robin boundary conditions， without the need for the eigenvalue theorem. This work extends the conclusions of related literature.

Key words：generalized elastic rod equation systems; distributed delays; oscillation; neutral

責任編輯 朱本華