一維無限深方勢阱能量本征態的分立動量分布和連續動量分布之辨析

摘 要：探討了量子力學中一維無限深方勢阱能量本征態下粒子的動量分布問題，指出分立的動量分布符合不確定原理，通過分析函數在勢阱邊界點處的光滑性，指出分立的動量分布是精確解而連續的動量分布僅是近似解．

關鍵詞：一維無限深方勢阱；動量分布；不確定原理；傅里葉級數

中圖分類號：O 413.1" 文獻標識碼：A" 文章編號：1007-6883（2024）06-0025-03

DOI：10.19986/j.cnki.1007-6883.2024.06.004

量子力學中在一維無限深方勢阱的能量本征態下測量粒子動量的可能值和幾率的問題由來已久，泡利和朗道的著作中對此問題的表述存在明顯分歧，泡利采用分立的動量分布［1］，而朗道認為勢阱內粒子動量分布是連續的［2］，目前國內主流教科書對這個問題的論述仍存在誤解，這對量子力學的教學造成不小的困擾．本文依據量子力學的最基本原理以及傅里葉級數展開的適用性辨析兩種觀點．

1 分立動量分布和連續動量分布

簡單起見，討論限于一維無限深方勢阱的基態，其能量本征函數空間部分如下：

[ψ1（x）=0" " " " " " " " " " " " nbsp; " xlt;0， xgt;a2asinπxa" " " " "0≤x≤a]． （1）

泡利之觀點認為，在勢阱外部波函數恒為零，在勢阱內部基態波函數可以展開為：

[ψ1（x）=-i2a（ei?π?ax-e-i?π?ax）" " " "0≤x≤a]． （2）

這可以看作是動量分別為[π?a]和[-π?a]的兩個平面波的疊加，那么在勢阱內測量粒子的動量將測得[π?a]或[-π?a]兩個可能值，幾率各是1/2．

朗道之觀點出現在朗道和栗弗席茲合著的教科書《量子力學》習題中，采用具有連續動量本征值的動量本征函數展開一維無限深方勢阱的基態能量本征函數［2］，即

[ψ1（x）=12π?-∞∞c（p）ei?pxdp]， （3）

其中

[c（p）=0a2asinπxa12π?e-i?pxdx=πa?1+e-i?paπ2-p2a2?2，]

[c（p）2=4π?3acos2pa2?（p2a2-π2?2）2.]

此結果中動量值連續分布，在[p=±π?a]處，[c（p）2]出現峰值，其他動量值的出現幾率遠小于此處，有論著認為此結果可近似看作兩個分立動量的分布［3-4］．

2 辨析

分立動量分布還是連續動量分布存在原則上區別．按照量子力學中最基本的態疊加原理和測量理論，設想在一維無限深方勢阱的基態能量本征態上測量粒子的動量，若按照泡利之觀點，只能測得[π?a]或[-π?a]兩個可能值，幾率各是1/2，若按照朗道之觀點，則可能測到任意動量值，只是測得[p=±π?a]附近的幾率大些．在泡利之觀點中測不到[π?a]和[-π?a]兩個值以外的動量值，而在朗道之觀點中可以測到[π?a]和[-π?a]兩個值以外的動量值，這是“有還是沒有”的原則上的區別．

有國內主流的教科書和研究論文認為泡利之觀點是經典物理的結論，違背了不確定原理［3，5］．事實上，這一論斷是錯誤的．可以證明，分立動量分布是符合不確定原理的．基態下，坐標的平均值為

[x=0ax|ψ1|2dx=0ax（2asinπxa）2dx=a2]，

坐標的均方偏差為

[（Δx）2=0a（x-x）2|ψ1|2dx=π2-612π2a2]，

動量的平均值為[p=0]，動量的均方偏差為

[（Δp）2=12（π?a-0）2+12（-π?a-0）2=（π?a）2]，

則有

[（Δx）2?（Δp）2=（π2-6）?212gt;?24]，

這完全符合不確定原理．泡利之觀點，即勢阱內分立動量分布，并不違背任何量子力學的基本原理．

在朗道之觀點中，一維無限深方勢阱的基態能量本征函數在全空間都可以用連續動量本征函數展開，即連續的無窮多級傅里葉級數展開，如（3）式所示．全空間動量本征函數在任意位置都是光滑且可求導的，（3）式等號右邊連續譜動量本征函數疊加式在[x=0]和[x=a]處是可求導的，即光滑的，而（3）式等號左邊的是薛定諤方程的基態波函數，其在[x=0]和[x=a]處不可求導，即不光滑的，如在[x=0]處左側無限小處導數為0，而[x=0]處右側無限小處導數為[2aπa]．這意味著，從函數的光滑性上考慮，在[x=0]和[x=a]處（3）式等號左右兩邊并不完全一致．事實上，在傅里葉提出傅里級數時，拉格朗日就指出有棱角的函數無法做傅里葉級數展開［6-7］．所謂“有棱角”即為函數不光滑，存在導數不連續的點．在這樣的點上，傅里葉級數的疊加只能無限逼近函數［6-7］．這意味著朗道之觀點中的連續的動量本征函數展開只是一個近似．相比之下，在泡利之觀點中，分立譜的動量波函數疊加態在勢阱內外的一階導數與能量本征函數的一階導數保持一致性，是一個精確解．

從物理上看，上述兩種觀點的根本區別在于粒子運動的空間不同，邊界條件不同，導致所采用的動量本征函數集合也不同．泡利之觀點認為粒子運動的空間限于勢阱內部，運動空間是有限的．有限空間中動量本征函數要采用箱式歸一化，即邊界條件為[ψ（0）=ψ（a）=0]，或者是環形邊界條件，即玻恩-卡門邊界條件，這導致動量分布是分立的．而朗道之觀點采用連續譜的動量波函數集展開，這就默認了粒子在無限空間運動，因為只有無限空間中粒子的動量分布才是連續的．事實上，依據薛定諤方程的解，無限深勢阱本質上將粒子限制在了勢阱內部，粒子不會出現在勢阱外部，泡利之觀點中動量本征函數的邊界條件與粒子運動的物理空間一致．由于薛定諤方程和態疊加原理是量子力學的最基本原理，這就意味著朗道之觀點中用無限空間連續動量的本征函數集展開無限深方勢阱能量本征函數是不妥的，其不當之處在于所采用的動量本征函數的邊界條件與微觀粒子運動的實際物理空間邊界條件不一致．

3 結論

本文展示了一維無限深方勢阱能量本征函數的分立動量分布和連續動量分布，首先證明了分立動量分布符合不確定原理，接著通過分析函數在邊界點處的光滑性，指出分立的動量分布是精確解而連續的動量分布僅是近似解，最后對動量本征函數邊界條件與粒子運動空間的一致性做了討論．

值得一提的是，泡利和朗道都是理論物理大師，都是諾貝爾獎獲得者，但就本文所討論的問題而言，顯然泡利更加權威．泡利是量子力學的創始人之一，本文所述的泡利之觀點就出自泡利所著的《泡利物理學講義-波動力學》的正文，這本書是全世界公認的最權威的量子力學教科書．而所謂朗道之觀點是出自朗道和栗弗席茲合著的教科書《量子力學》的習題，習題中的觀點很難說就是朗道自己的觀點．此外，蘇聯教材對國內早期的教科書影響較大，甚至被奉為圭臬，這種趨勢現在已經扭轉．兼聽則明，本文所述之問題已經很清楚了，泡利之觀點簡單明了，物理原理清晰，教學中更容易幫助學生理解態疊加原理，理應提倡．

參考文獻：

［1］Wolfgang Pauli．Pauli Lectures on Physics，Vo1．5：Wave Mechanics［M］．Cambridge：The MIT Press，1973：23-24．

［2］朗道，栗弗席茲．量子力學［M］．6 Ed．北京：高等教育出版社，2008：58-59．

［3］周世勛，陳灝，肖江．量子力學教程［M］．3版．北京：高等教育出版社，2022：25-26．

［4］倪宏慈．關于同一問題的兩種不同解法［J］．大學物理，1994，13（7）：19-22．

［5］姜志存．一維無限深勢阱內粒子的動量概率分布［J］．大學物理，1994，13（7）：17-18．

［6］吳文俊．世界著名數學家傳記［M］．北京：科學出版社，1995：738-748．

［7］萊永升．FFT：跨越百年的傳奇［J］．系統控制漫談，2022，2：63-80．

A Discussion of the Discrete and Continuous Momentum"Distribution of Energy Eigenstates in the One-Dimensional"Infinite Square Well

LI Yun

（College of Physics and Electronic Engineering，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong， 521041）

Abstract： This paper discusses the momentum distribution of a particle in energy eigenstates of the one-dimensional infinite square well．It demonstrates that the discrete momentum distribution is consistent with the uncertainty principle．By analyzing the smoothness of the functions at the boundary points of the well，this study points out that the discrete momentum distribution is an exact solution while the continuous momentum distribution is only an approximation．

Key words： one-dimensional infinite square well；momentum distribution；the uncertainty principle；Fourier series

責任編輯 朱本華