比較函數式大小的幾種小技巧

比較函數式的大小問題常以選擇題、填空題的形式出現.這類問題側重于考查指數、對數和冪函數的單調性以及運算性質.本文主要介紹幾種比較函數式大小的技巧.

一、作商（差）

對于結構相同、形式相似的同類函數式，往往可以采用作商（差）法來比較兩個函數式的大小.首先將兩個函數式作商（差）；然后根據指數、對數和冪函數的運算性質進行化簡；再將所得的結果與0、1相比較，從而比較出這兩個函數式的大小.一般地，若a-bgt;0，則agt;b；若a-b=0，則a=b；若a-blt;0，則alt;b.若gt;1，則agt;b，若=1，則a=b，若lt;1，則alt;b.

例1.已知a=log32，b=log53，c=，則（）.

A.alt;clt;b B.alt;blt;c

C.blt;clt;a D.clt;alt;b

解：因為a=log32，b=log53，c=，

則==log32=log322（3）=log3lt;1，即alt;c.

=log53=log532（3）=log5gt;1，則bgt;c，

故alt;clt;b，故正確答案為A項.

我們需先將a、c作商；再根據對數函數的運算性質得出lt;1，從而得出alt;c；然后將b、c作商，根據對數函數的運算性質得出gt;1，從而可得bgt;c；進而比較出a、b、c的大小.

例2.已知55lt;84，134lt;85，設a=log53，b=log85，c=log138，則（）.

A.alt;blt;c B.blt;alt;c

C.blt;clt;a D.clt;alt;b

解：因為55lt;84，則log855lt;log884，即log85lt;，

因為134lt;85，則log13134lt;log1385，即log138gt;，故cgt;b.

故bgt;a，可得alt;blt;c，故正確答案為A項.

本題中a、b均為對數式，我們要先將二者作商；再根據換底公式將對數式換底；然后根據基本不等式比較出商式與1的大小.在比較商式與1的大小時，可以根據指數、對數和冪函數的運算性質將商式化簡.若無法直接比較出商式與1的大小，往往可以根據函數的性質、基本不等式來進行比較.

二、取中間值

對于一些難以直接比較出函數式的大小的問題，可以借助中間值解題.首先判斷出兩個函數式的大致范圍；然后選取一個合適的中間值，如1、0、-1等，將其化為lg 10=e0=1、loga 1=0、loga=-1（a≠0）等；再分別將兩個函數式與中間值進行比較；最后根據不等式的傳遞性得出結論.

例3.已知a=log3，b=lnπ，c=ba，則a，b，c的大小關系為（）.

A.alt;clt;b B.clt;alt;b

C.alt;blt;c D.blt;alt;c

解：因為-1=log3lt;log3lt;log31=0，

所以-1lt;alt;0；

因為lnπgt;lne=1，所以bgt;1，

又0lt;balt;b0=1，所以0lt;clt;1；

綜上可得bgt;cgt;a，故正確答案為A項.

在解答本題時，我們引入中間值1、0、-1，得出-1lt;alt;0、bgt;1、0lt;clt;1，即可判斷出bgt;cgt;a.運用中間值法解題，關鍵在于選擇合適的中間值.

例4.設a，b，c均為正數，且2a=log，b=log 2（1）b，c=log2c，則a，b，c的大小關系是（）.

A.alt;blt;c B.clt;blt;a

C.clt;alt;b D.blt;alt;c

解：∵agt;0，∴2agt;1，∴log，∴0lt;alt;.

∵bgt;0，∴0lt;blt;1，

∴0lt;log 2（1）blt;1，∴lt;blt;1.

∵cgt;0，∴cgt;0，∴log2cgt;0，∴cgt;1.∴0lt;alt;lt;blt;1lt;c，∴本題選A項.

我們以、1為中間值，得出0lt;alt;、lt;blt;1、cgt;1，即可比較出a、b、c的大小.

三、利用函數的單調性

在比較兩個指數式、兩個對數式、兩個冪函數式的大小時，我們通常可以根據函數式的類型和特征構造出相應的函數模型.只要判斷出了函數的單調性，就可以根據函數的單調性來比較出兩個函數式的大小.

例5.已知a=0.40.5，b=0.50.4，c=log 324，則（）.

A.alt;blt;c B.blt;clt;a

C.clt;blt;a D.clt;alt;b

解：因為a=0.40.5，b=0.50.4，c=log324，

則c=log324==0.4，

而0.4lt;0.40.5lt;0.40.4lt;0.50.4，

得clt;alt;b，故正確答案為D項.

將c化簡為常數0.4，即可根據a、b、c的特征構造出函數y=0.4x、y=0.5x，就能直接根據函數y=0.4x、y=0.5x的單調性比較出三個函數式的大小.在解題時，首先要確定要比較的對象的底數、指數、真數是否相同；然后構造出相應的函數，根據其單調性來比較函數式的大小.當底數、指數和真數均不相同時，往往需將其進行適當的變形、放縮，以構造出同底、同真數、同指數的函數模型.

例6.若2a+log2a=4b+2 log4b，則（）.

A.agt;2b B.alt;2b C.agt;b2 D.alt;b2

解：因為2a+log2a=4b+2 log4b，

則2a+log2a=22b+log2blt;22b+log22b，

令f（x）=2x+log2x，

由于y=2x，y=log2x在x∈（0，+∞）時單調遞增，所以f（x）單調遞增，

而f（a）lt;f（2b），所以alt;2b，故正確答案為B項.

我們需先根據函數y=log2x的單調性將log2b放縮為log2blt;log22b；然后將已知關系式變形式為同構式，即可構造出同構函數f（x）=2x+log2x；再判斷出函數的單調性，就能直接根據函數的單調性比較出a、2b的大小，求得問題的答案.

例7.設a=0.1e0.1，b=，c=-ln 0.9，則（）.

A.alt;blt;c B.blt;alt;c

C.blt;clt;a D.clt;alt;b

解：設f（x）=xex，g（x）=，h（x）=-ln（1-x），x∈（0，0.2），設F（x）=f（x）-g（x）=x（ex-）=[（1-x）ex-1]，設t（x）=（1-x）ex-1，則t′（x）=-xexlt;0，

故t（x）在（0，0.2）上單調遞減，故t（x）lt;t（0），即t（x）lt;0，則f（0.1）lt;g（0.1），即alt;b；

設H（x）=g（x）-h（x）=+ln（1-x），

則H′（x）=-=gt;0，

即H（x）在（0，0.2）上單調遞增，故H（x）gt;H（0）=0，則H（0.1）gt;H（0），即bgt;c，故b最大；

設G（x）=f（x）-h（x）=xex+ln（1-x），

則G′（x）=（x+1）ex+=（0lt;xlt;0.2），

設q（x）=ex（x2-1）+1，

則q′（x）=ex（x2+2x-1）lt;0，

即q（x）在（0，0.2）上單調遞減，

故q（x）lt;q（0）=0，則G′（x）gt;0，

即G（x）在（0，0.2）上單調遞增，G（x）gt;G（0）=0，

即agt;c，綜上可知clt;alt;b，故正確答案為D項.

本題較為復雜.我們需要多次構造函數，根據導函數與函數單調性之間的關系判斷出函數的單調性，進而根據所構造函數的單調性判斷兩個函數式的大小.如果問題中涉及多個變量或參數，且這些變量或參數之間存在復雜的關系，就需要根據要比較函數式的特點和已有的經驗，構造出合適的函數模型.

可見，比較兩個函數式大小的方法很多，同學們需根據要比較的函數式的結構特征選擇合適的方法進行求解.但無論運用哪種方法，都需對函數式進行適當的變形，并且靈活運用函數的運算性質.

（作者單位：江蘇省邳州市第二中學）