解答函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題的幾種途徑

函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、方程等知識(shí)相結(jié)合.這類問(wèn)題的難度一般不大，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).本文將結(jié)合實(shí)例探討一下，解答函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的幾種途徑.

一、數(shù)形結(jié)合

有些函數(shù)的零點(diǎn)難以直接表示出來(lái)，這往往給我們解題帶來(lái)很大的困擾.此時(shí)若函數(shù)的圖象很容易被畫出來(lái)，我們就可以采用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解題.首先根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)或拆分后函數(shù)的圖象，然后通過(guò)觀察確定圖象與x軸的交點(diǎn)、拆分后函數(shù)圖象的交點(diǎn)，即可快速確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

例1.若函數(shù)y=x3-3x-a有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（）.

A.（-2，2）B.[-2，2]C.[2，+∞）D.（-∞，-2]

解：

作出直線 y = a 與函數(shù) y = x 3 - 3x 的圖象，即可通過(guò)觀察確定兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解題，可以通過(guò)研究直觀的圖形快速獲得問(wèn)題的答案.

二、運(yùn)用方程思想

由函數(shù)零點(diǎn)的定義可知，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)即為f（x）=0時(shí)x的取值.因此在求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，可以直接令函數(shù)式為0，通過(guò)解方程或研究方程的根的個(gè)數(shù)來(lái)確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).一般地，方程有幾個(gè)根，對(duì)應(yīng)的函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn).

例2.已知函數(shù)f（x）=í?x2（ìx3），，（）x（x）a（a），，若存在實(shí)數(shù)b，使得函數(shù)g（x）=f（x）-b有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解：令g（x）=f（x）-b=0可得f（x）=b，

則x3=b（x≤a）或x2=b（xgt;a）.

若x3=b（x≤a）與x2=b（xgt;a）各有1個(gè)根，

運(yùn)用方程思想解答函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需根據(jù)零點(diǎn)的定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)討論方程的根的分布情況來(lái)求得問(wèn)題的答案.

三、運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理

零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) f （x） 在區(qū)間 [a，b] 上是連續(xù)不斷的一條曲線，且 f （a）·f （b）lt; 0 ，那么 f （x） 在區(qū)間 （a，b） 內(nèi)有零點(diǎn).根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，我們可以快速判斷出函數(shù)在 （a，b） 上是否存在零點(diǎn).而要確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，往往要利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象來(lái)進(jìn)行進(jìn)一步的判斷.

例3

解

解答本題，需分 a lt; 0 和 a ≥ 0 兩種情況來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性，并判斷是否滿足 f （a）·f （b）lt; 0 ，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷出函數(shù)是否存在1個(gè)零點(diǎn).

總的來(lái)說(shuō)，解答函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，需靈活運(yùn)用函數(shù)的圖象、性質(zhì)，并根據(jù)函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系，將問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，才能順利求得問(wèn)題的答案.

（作者單位：江蘇省鹽城中學(xué)）