標準量迷思概念的教學診斷

摘 要：學生在學習中普遍會產生迷思概念，針對比較量與標準量分率比較中出現的迷思概念，設計迷思概念的診斷工具、制造認知沖突活動、開展調整認知結構的教學活動，通過前后測的配對樣本檢測分析，發現臆測活動能產生認識沖突，學生能正確判斷標準量，語言表征、圖像表征、數字符號表征的轉換和分母與標準量的關聯，能有效促進學生理解比較量與標準量互相轉換后分率的變化，更改迷思概念。

關鍵詞：小學數學;標準量;迷思概念;教學診斷

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2024）31-0061-04

在教學中，面對經常出錯的學生，教師嘗試多種策略往往收效甚微，究其原因是學生對數學概念沒有正確的認識。許多研究揭示，兒童在接受科學概念前，頭腦中就存有許多解釋世界的觀念，也就是所謂的前科學概念或教學前概念。小學生在學習分數時，不僅在教學前有許多先有觀念，在接受教學后，他們頭腦中的概念與科學概念仍有差異。若學生的概念與科學概念不同，則被稱為是錯誤概念或迷思概念。迷思概念有個體性、普遍性、動態性、牢固性、片面性的特征，只憑講解很難改變。

分數是小學階段重要的內容，是兒童將來學習許多數學概念和技能的基礎和關鍵。因分數概念有部分整體、測量、商、比、算子五種形式的表達，所以學生在理解分數時，會出現很多迷思概念，如等分概念理念不足、理解“單位量”“標準量”有困難、受整數運算法則的影響等。筆者在學生解決分數問題中發現，學生存在標準量的迷思概念，本文以標準量的迷思概念為主線，嘗試通過診斷、教學干預實現學生迷思概念的轉變。

一、標準量迷思概念的診斷

學生在做判斷題“5比4多，那么4比5少”時，絕大部分學生都認為是錯的，是不是說明學生就不存在這樣的迷思概念。筆者在對縣區240名六年級學生（寒假剛到校）進行了測試：圖書角有故事書70本，比科技書多，科技書有多少本？正確率是47.5%，分析學生的錯誤，學生用70×（1-）或70-70×來計算，這兩種錯誤的思路一致，占全年級錯誤學生的75.0%，由此看到學生出現此類錯誤還是具有普遍性的。訪談出現此問題的學生，學生認為故事書比科技書多，那么科技書比故事書少，先用70×算出少的數量，再用故事書的數量減去少的數量就是科技書的數量。通過訪談可以看出學生對標準量的理解不到位，受整數比較負遷移的影響，形成了典型的關于標準量的迷思概念，即A比B多，B就比A少，這個迷思概念在判斷題沒有表現出來，而在解決問題時表現了出來，也反映出迷思概念的牢固性。標準量是指在表征一個數量時，至少需要另一個數量作為衡量的標準，我們把衡量物品所用的標準數量稱為標準量，在實際教學中也有別的名稱，如基準量，單位“1”，單位量等。下面設計迷思概念的診斷工具，方便診斷學生是否有此迷思概念。

可以通過不同的類型的測試題來檢測，如填空題：男生比女生多 ，你認為女生比男生少（ ）。判斷題：一件商品漲價，然后又降價了，這件商品的價格沒有發生變化，你認為對嗎？也可以看圖（圖1）填空：

女生比男生多;男生比女生少。

如果學生在不同類型的測試中，認為前后的分數要相等，則診斷學生具備這類迷思概念。

二、標準量迷思概念的干預

此迷思概念是由于分數比的意義的類化不足造成的，因個體不可能脫離兩個量的關系來表征一個純粹的“量”。如果學生不能理解每個分數所對應的標準量，就會對分數解決問題帶來困難。如何改變學生的迷思概念？研究表明診斷教學理論可以有效改變學生的迷思概念，林福來教授將診斷教學理論具體化，把診斷教學分為三個環節：學生所犯迷思概念的診斷、針對學生的迷思概念制造認知沖突、調整學生認知的教學。依此設計以下診斷教學活動：

（一）診斷迷思概念

根據前面提到的診斷工具對學生進行測試，判斷學生是否具有此迷思概念，將有此迷思概念的學生作為研究對象，進行教學干預。

（二）制造認知沖突

1.通過臆測制造認知沖突

（1）猜想：男生比女生多，你有什么猜想（女生比男生少）？

（2）舉例制造認知沖突：讓學生計算完成表1。

（3）觀察表格并思考：如何通過數據來說明你的猜想是對的？

（4）嘗試再舉例計算，并比較前后女生的人數。

（5）想一想，按照同學們的猜想，為什么女生人數前后不相等，這是什么原因？

（三）調整學生認知的教學

1.理解標準量

（1）案例中認識標準量。

案例：如果你本次成績是80分，你認為如何？

意圖：一個數是無法比較好壞的，必須有另一個數做對比，另一個數就可以看成標準量。

（2）多案例中表達并歸納基本的表達方式，（比較量）比（標準量）多（少）……

2.鋪墊原有知識

理解一個數比另一個數多幾分之幾，就必須理解一個數是另一個數幾分之幾的意義。這兩個數也分兩種情況，一種是兼容情況，另一種是不兼容的情況，設計以下教學活動幫助學生理解。

（1）兼容情況：觀察圖2，用分數表示男生與全班人數的關系并解釋。

討論交流：為什么是，而不是其他分數呢？

②不兼容情況：觀察圖3，用分數表示男生與女生的關系并解釋。

討論交流：男生是女生的幾分之幾？女生是男生的幾分之幾？兩次用分數表達的為什么不一致？通過討論認識到分母與標準量（或整體）相關聯，分子與比較量（或部分）相關聯。

3.多種表征轉換促進理解

（1）圖形表征到符號表征的轉換

先出示4個圓和5個正方形，說一說圓比正方形少幾分之幾，展示不同的答案，并讓學生討論是還是，說明理由。

思考正方形比圓多幾分之幾？說明理由。為什么兩次所用分數的分母都不相同？分子都相同？通過討論認識到分母與標準量的份數相關聯，分子與多（少）的份數相關聯。

（2）符號表征到圖形表征的轉換

先出示兩數關系，A比B多。讓學生畫圖，比較分析不同的畫法。思考根據什么確定A和B各是幾份？因為分母是3，說明標準量B的份數為3份;分子為1，說明比較量A比標準量B多1份，即A為4份。

三、標準量迷思概念的改變

（一）前后測數據對比分析

通過以上的診斷教學干預，學生是否轉變已有的迷思概念，理解分數中標準量的意義？根據表征理論，萊什和蘭多認為是否理解的證據為感知、表征、聯結、應用。聯結就是表征之間建立聯系。學生通過不同的表征轉換，理解比較量與標準量的倍比關系。據此在設置測試題時以文字、圖形、符號三種方式呈現。除了考慮不同的呈現方式，還從知識結構來分析兩數分率比較。在測試題的命制上考慮兩數分率比較的基本要素，分別為兩數關系、標準量和比較量。命題檢測試題框架如表2所示：

備注：1表示給定標準量的數量;2表示給定比較量的數量;3表示兩量關系：A比B 多（少）幾分之幾;1^2表示已知標準量和比較量。

現舉例說明，例1是已知標準量的數量和兩數關系，求比較量。例2是已知一個數比另一個數多幾分之幾，找出哪個量是標準量。

根據以上命題框架命制試題21道，對學生實施前后測，并對前后測進行了配對樣本檢驗，統計結果如表3所示：

從上表可以看出后測的均值都比前測增加，每項測試的顯著性差異都<0.05，具有顯著性差異。

（二）表征轉換促進學生兩數比較分率的理解

基于研究對象對分數意義理解不深，教師以分數本身為切入口，讓學生理解分母、分子分別表示的意義，再加上圖形的直觀輔助，學生對兩數比較的分率就能正確理解。以下的兩個教學片斷就是以分母、分子為切入口，通過表征的轉換促進學Xe8KxVlEWALlbEjl9pyZUw==生理解。

教學片斷一：A比B多幾分之幾？

師：汽車是5輛，自行車是4輛，汽車比自行車多幾分之幾？

生：。

師：你認為多的理由是什么？

生：汽車是在自行車的標準上多的，自行車是4輛，所以多。

師：分母4是由誰來確定的，分子1是由誰來確定的？

生：分母是由標準量來確定，分子是看多了幾份就是幾。

教學中，筆者通過圖讓學生理解中分子分母所表示的意義，在檢測中又讓學生根據自行車比汽車少來畫圖，意圖通過符號表征向圖像表征的轉換，強化了學生對分率的理解。

教學片斷二：A比B少，B比A多幾分之幾？

師：老師有一個猜想，今年比去年少，去年就比今年多，對嗎？為什么？

生：錯的，因為標準量發生了變化，標準量變成了今年，今年和去年的不一樣，今年是4份，去年是5份，所以去年比今年多。

生：標準量發生了變化，標準量決定分母，今年是標準量，今年是4份，所以分母是4，多了1份，所以是分子是1。去年比今年多。

以上教學內容是當標準量發生變化時，學生能否正確用分率表示兩數關系。分析師生的對話，可以看出通過教學干預后，學生能抓住問題的關鍵，分母所表示的份數就是標準量的份數，不管怎么變，先看標準量是哪個量，確定標準量是幾份也就確定了分母就是幾，分子就是多或少的份數。

研究結果顯示：通過對標準量的診斷教學干預，學生能正確判斷標準量，對比較量與標準量比較的表達方式有正確的了解;通過學生的臆測活動后，學生對A比B多那么B就比A少的迷思概念能產生認識沖突;從分數的比的意義角度思考，通過語言表征、圖像表征、數字符號表征的轉換，以分母、分子的意義分析為突破口，學生能很好理解比較量與標準量互相轉換后分率的變化。本研究的問題來源于學生解決問題中的迷思，具有一定的普遍性。教師可依據此例，針對學生學習中出現的其他的迷思概念，設計教學診斷工具進行教學干預，改變學生學習的迷思概念。

參考文獻：

[1]楊伊生，劉儒德. 兒童分數概念發展研究綜述[J]. 內蒙古師范大學學報（教育科學版），2008，（06）：130～134.

[2]鮑建生，周 超. 數學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[3]辛自強，張 睆. 兒童的分數概念理解的結構及其測量[J]. 心理研究，2012，5（01）：13～20.