彰顯函數特性，滲透數學思想

摘"要：數列是歷年高考數學試卷中主干知識點之一，隨著新課程的推進與新高考的落實，考查側重點、思想方法要求等方面有了一定的創新與變化.本文結合2022年高考真題，就高考中數列的考查特征加以實例剖析，回歸函數性，參透思想性，有效落實數學核心素養.

關鍵詞：數列；函數；本質；方法；思維

數列是蘇教版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》的內容之一，共計14課時，主要內容為等差數列和等比數列，數列與函數的共性與差異，以及數列與函數或方程、不等式等其他相關知識之間的聯系性等.在實際的高考數列的教學與復習過程中，要根據數列的函數性，結合數列的基本知識，合理滲透數學思想，掌握數列基本方法，系統地、細致地復習備考.

1"淡化技巧策略，回歸數列本質

“把握數學本質，啟發思考，改進教學”是《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的基本理念之一［1］，從近年高考數列方面的考查形式與趨勢來看，以數列的基本概念、基本性質、基本公式等為重點考查形式，合理融入其他相關知識，把握基本解題技巧方法，淡化巧技妙解，回歸數列的本質屬性.

例1"（2022年上海卷·10）已知等差數列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，若S5=0，則Si（i=1，2，3，…，100）中不同的數值有""""個.

分析：根據等差數列的問題背景，利用求和公式以及對應的S5=0構建等差數列中的首項與公差的關系，合理消參并構建涉及項數的表達式，進而利用二次函數的圖象與性質進行合理的分析與判斷.

解析：由于等差數列{an}的公差不為零，Sn為其前n項和，S5=0，

可得S5=5a1+5×42d=0，解得a1=-2d.

所以Sn=na1+n（n-1）2d=-2nd+n（n-1）2d=d2（n2-5n）.

由于d≠0，利用二次函數的圖象與性質

可知，Si（i=1，2，3，…，100）中S5=0，S2=S3=-3d，S1=S4=-2d，S6=3d，S7=7d，…，其余各項均不相等.

所以Si（i=1，2，3，…，100）中不同的數值有100-2=98（個）.

點評：回歸數列本質，利用等差數列的定義、通項公式、求和公式等來分析與解決問題，在此基礎上回歸數列的函數性，淡化特殊技巧與策略，借助二次函數的圖象與性質來分析與處理問題，是解決數列問題中最基本的技巧與方法.

2"掌握通技通法，養成思維習慣

從近年高考數列方面的考查來看，關鍵在于掌握解決數列問題的通技通法，如數列的概念判斷、數列的基本性質、數列的通項公式、數列的求和及其應用等，關注基本類型與基本技巧，從而養成良好的思維習慣與解題習慣，克服粗心與盲目思維.［2］

例2"（2022年全國乙卷文科·10）已知等比數列{an}的前3項和為168，a2-a5=42，則a6=（""）.

A. 14

B. 12

C. 6

D. 3

分析：根據題意，利用等比數列的定義與基本性質，結合條件確定公比的取值情況，借助等比數列的求和公式和通項公式構建對應的方程，進而確定對應的參數值，從而得以求解a6的值.

解析：設等比數列{an}的公比為q，q≠0，由題意，得q≠1.

由于前3項和為a1+a2+a3=a1（1-q3）1-q=168，而a2-a5=a1·q-a1·q4=a1·q（1-q3）=42.

解得q=12，a1=96，可得a6=a1·q5=96×132=3，故選D.

點評：正確掌握解決數列的基本技巧與方法，通過等比數列的定義、基本性質、通項公式以及求和公式等，合理應用，從而形成良好的解題習慣，培養數列問題中注重細節、嚴謹認真等思維習慣.

3"重視函數內容，強化創新應用

數列是基于函數背景下的特殊應用，要充分感受數列的函數性以及數列的創新、綜合應用等.在實際數列教學與復習過程中，要基于函數內容加以復習，重視函數與數列之間的融合與應用，以及數列模型應用中的函數性、數列中的創新應用等.

例3"（2022年全國甲卷理科·17）記Sn為數列{an}的前n項和.已知2Snn+n=2an+1.

（1）證明：{an}是等差數列.

（2）若a4，a7，a9成等比數列，求Sn的最小值.

分析：（1）根據題設條件，由已知把數列遞推關系式中的n換為n+1，進而利用關系式作差可得遞推關系，從而得以證明；（2）由a4，a7，a9成等比數列，求出首項，利用等差數列通項公式找出an正負分界點計算即可.

解析：（1）由已知，有2Sn+n2=2nan+n.①

把n換成n+1，可得2Sn+1+（n+1）2=2（n+1）an+1+n+1.②

由②-①，可得2an+1=2（n+1）an+1-2nan-2n，整理可得an+1=an+1.

由等差數列的定義，可得{an}為等差數列.

（2）由已知，有a27=a4a9，設等差數列an的首項為x，由（1）知，其公差為1.

故（x+6）2=（x+3）（x+8），解得x=-12，故a1=-12.

所以an=-12+（n-1）×1=n-13.

故可得a1＜a2＜a3＜…＜a12＜0，a13=0，a14＞0.

故Sn在n=12或n=13時取最小值，S12=S13=13×（-12+0）2=-78.

故Sn的最小值為-78.

點評：注重數列的函數性質，結合數列的遞推關系式構建對應的函數關系，利用函數與方程、函數的圖象與性質等，合理借助對應的數列問題加以創新設置，利用數列的函數性來分析與解決問題，并強化數列、數列與函數等的綜合應用.

4"克服思維定式，引領解題思維

新高考數列命題也遵循高考從“知識立意”“能力立意”轉向“價值引領，素養導向，能力為重，知識為基”的綜合評價體系，對于數列的考查與應用，高考數學試卷在凸顯了刷題教學與素養導向命題的沖突與差距上也作了一些改革與命題指導，注重數學思維的應用，引導學生創新利用數學思想方法來調整解題方向和解題策略，從數學思維層面引導尋找解題的路徑，提升數學理性思維能力等.

例4"（2022年浙江卷·10）已知數列{an}滿足a1=1，an+1=an-13a2n（n∈N*），則（""）.

A. 2lt;100a100lt;52

B. 52lt;100a100lt;3

C. 3lt;100a100lt;72

D. 72lt;100a100lt;4

分析：根據題設條件，利用關系式的性質來判斷數列{an}為遞減數列，結合關系式的特征與符號關系得以確定0lt;an≤1，在此基礎上，利用關系式的變形以及裂項處理，結合累加法以及不等式的放縮法來確定對應的不等式，進而得以分析與判斷.

解析：由an+1=an-13a2n（n∈N*），可得an+1-an=-13a2n≤0，則數列{an}為遞減數列.

而a1=1，則an≤1.

又an+1an=1-13an≥1-13=23gt;0，即an+1與an同號，故0lt;an≤1.

由an+1=an-13a2n（n∈N*），可得3an+1=3an-a2n=an（3-an）.

取倒數、裂項并整理，得1an+1 -1an =13-an.

通過累加可得1an+1gt;13n+1.

所以1an gt;n-13+1，即anlt;3n+2，所以nanlt;3nn+2=3-6n+2lt;3，即100a100lt;3.

而1an+1 -1an =13-anlt;13-3n+2=n+23n+3=131+1n+1.

通過累加可得1an+1≤13n+1312+13+…+1n+1+1.

所以1a100lt;34+1312+13+14+…+1100lt;34+1312×6+18×93lt;39lt;40，即100a100gt;100×140=52.

綜上分析，可得52lt;100a100lt;3，故選B.

點評：借助數列的創新情境，結合數列的基本性質，綜合函數與方程、不等式等相關知識，合理克服思維定式，對數列的關系式進行化簡、變形等處理，結合相關的其他知識進行綜合應用，從而引領解題方向，為問題的破解提供條件.

通過對近年全國高考卷和地方卷中數列試題的特點分析和解題分析，特別是對新舊高考的對比分析，強調數列作為函數主線內容的體現，淡化解題技巧、加強概念理解、重視函數與數列的綜合、學會數學思想引領解題方向的復習備考建議與策略.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］韓文美，張嫻.巧求等差數列的通項［J］.中學生數理化（高二數學），2020（9）：10-11.