大跨徑石拱橋動力特性分析與有限元模型修正

摘 要：【目的】研究云南省開遠市長虹橋動力性能及得到較為準確的有限元分析模型。【方法】通過環(huán)境激勵法對長虹橋進行動力特性測試，并分析該橋?qū)崪y模態(tài)參數(shù)；根據(jù)實測模態(tài)參數(shù)結果，對有限元模型中的彈性模量、泊松比等參數(shù)進行修正；基于理論與實測的模態(tài)分析結果，得出長虹橋較為準確的有限元分析模型。【結果】結果表明：石拱橋的跨中、L/4、3L/4、L/8和7L/8處的振動變形較大，在運營監(jiān)控和檢測時，應該在這5個位置布置測點，以便進行實時監(jiān)測；在環(huán)境激勵下，該橋沒有產(chǎn)生側向彎曲振動和豎向彎曲振動強度相當?shù)呐まD振動，說明結構具有良好的抗扭剛度；各階阻尼比均在合理范圍內(nèi)。利用模態(tài)參數(shù)修正后的頻率相關性從55.2%降至最低0.6%，數(shù)值計算結果與試驗結果基本一致，參數(shù)依然具有物理意義，修正后的有限元模型能夠較為準確地反映結構低階動力特性。相關性最大為-2.4%，最小為0.6%，滿足相關性在±5%以內(nèi)，可作為橋梁后續(xù)檢測工作的理論模型。【結論】長虹橋動力性能良好，修正后的有限元模型貼合實際橋梁。

關鍵詞：環(huán)境激勵法；動力特性；有限元模型修正；頻率相關性

中圖分類號：U448.22" "文獻標志碼：A" " "文章編號：1003-5168（2024）11-0057-06

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.11.012

Dynamic Analysis and Finite Element Model Updating of Long-Span Stone Arch Bridge

LIU Jie1 CHEN Shunchao1 WU Wenxiang1 KANG Peng1 SONG Shuai1 NIE Liangpeng2

YOU Pengsheng2

（1.Southwest Forestry University，Kunming 650224，China;

2.Yunnan Thorough? fare Engineering Testing Co.， Ltd.， Kunming 650200，China）

Abstract： [Purposes] This paper aims to obtain the dynamic performance of the Changhong Bridge in Kaiyuan City， Yunnan province and to ensure a more accurate finite element analysis model. [Methods] The dynamic characteristics of the Changhong Bridge are tested by the method of environmental excitation， and the measured modal parameters are analyzed; according to the results of the measured modal parameters， the parameters such as elastic modulus and Poisson 's ratio in the finite element model are modified; based on the theoretical and measured modal analysis results， a more accurate finite element analysis model of Changhong Bridge is obtained. [Findings] The results show that the vibration deformation of stone arch bridge is large at mid-span， L/4，3L/4， L/8 and 7L/8， and the measuring points should be arranged at these five locations for real-time monitoring. Under ambient excitation， the bridge doesn't produce torsional vibration with equal strength between lateral and vertical bending vibration， which shows that the structure has good torsional stiffness and the damping ratios are in a reasonable range. Using the modified modal parameters， the frequency correlation is reduced from 55.2% to a minimum of 0.6% . The numerical results are basically consistent with the experimental results， which means parameters still have physical meaning. The modified finite element model ， which can be used as a theoretical model for the follow-up detection of bridges，can accurately reflect the low-order dynamic characteristics of the structure： the maximum correlation is -2.4% ， the minimum is 0.6% ， and the correlation is within ±5%. [Conclusions] The dynamic performance of Changhong Bridge is good， and the modified finite element model fits the actual bridge.

Keywords： environmental excitation method; dynamic characteristics; finite element model updating; frequency correlation

0 引言

石拱橋以天然石材作為主要受力結構，具有取材方便、造價相較于其他鋼筋混凝土橋型便宜、結構受力比較清晰明了等優(yōu)點，是我國主要的橋梁結構形式。石拱橋在我國山區(qū)得到較多應用，特別在中西南山區(qū)分布著大量的石拱橋，例如四川富順沱江橋（1968年建成）、云南長虹橋（1961年建成）、重慶九溪溝（1972年建成）等［1］。隨著服役年限的延長，再加上運營中受到現(xiàn)在通行量增加、車輛超載、石材老化等現(xiàn)象的影響，使得在役石拱橋存在一些不同類型的結構損傷，對橋梁的安全性能和使用壽命造成了不良影響。汪天舒［2］通過研究結構動力特性，為結構整體性能分析提供了準確的動力參數(shù)。郁萬江［3］通過研究驗證了振動程度及頻率變化大小主要與損傷程度有關。連鑫［4］通過一系列研究驗證了曲率模態(tài)可以較為精確地對損傷進行有效識。李德龍［5］通過研究驗證了當有損傷的結構體系在實測過程中受到噪聲干擾時，采用卡爾曼濾波方法，可實現(xiàn)對結構不同的損傷位置進行定位。因此，本研究對石拱橋進行動力特性研究，進而評估其結構健康狀況，以便采用合理的處置措施來保證其安全性。又由于石拱橋由石材與砂漿結合而成，而兩者的性能相差較大，本構關系如彈性模量、泊松比等的取值，也直接關系到橋梁理論數(shù)據(jù)的提取。郭偉等［6］經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，石拱橋可通過有限元模型修正使理論基頻達到與實測基頻相近，然后通過橋梁加載對比撓度、應變等驗證有限元模型是否準確。胡俊亮等［7］提出基于Kriging模型的有限元模型修正方法，對一連續(xù)拱橋進行模型修正，得出該方法能準確預測有效頻率范圍外的模態(tài)信息。秦世強等［8］通過荷載試驗數(shù)據(jù)對初始有限元模型進行修正，結合 Kriging代理模型和一種改進的粒子群優(yōu)化算法進行分析，結果表明通過改進的粒子群優(yōu)化算法修正的有限元模型頻率和位移的相對誤差更小。周志紅等［9］建立某鋼管混凝土拱橋，采用基于靈敏度分析的有限元模型修正方法，使得修正之后模態(tài)頻率誤差大幅降低。本研究通過橋梁結構動力特性對有限元模型進行修正，為橋梁后續(xù)的檢測工作提供正確的理論模型。

橋梁的動力特性即橋梁結構在外部激勵作用下所表現(xiàn)出的振動特性。橋梁的振動受到自然環(huán)境和交通荷載等外部因素的影響，如風荷載、地震和車輛行駛等，這些因素會導致橋梁產(chǎn)生振動，進而對橋梁的結構安全和使用壽命產(chǎn)生影響。橋梁的動力特性主要包括固有頻率、振型和阻尼等參數(shù)。其中，固有頻率指橋梁在自由振動時的頻率，通常采用豎向一階頻率來描述；振型指橋梁在固有振動時的振動形態(tài)，可用于評估橋梁的結構動力特性和安全性；阻尼表示橋梁在振動過程中所消耗的能量，影響橋梁的振幅和振動響應［10］。針對實測實橋結構的動力參數(shù)，現(xiàn)有的方法主要包括自由振動衰減法、強迫振動法和環(huán)境隨機振動法。自由振動衰減法和強迫振動法是早期常用的方法，其數(shù)據(jù)結果通常簡單直觀、易于處理；而環(huán)境隨機激勵法則是一種基于概率統(tǒng)計方法的技術，利用現(xiàn)場簡單測試和計算機化的數(shù)據(jù)后續(xù)處理優(yōu)勢應用于橋梁振動測試領域，相較于前兩種方法，該方法具有以下優(yōu)點：首先，無需昂貴繁重的激振設備，避免對橋梁某一點施加過大激振而造成損傷，僅需根據(jù)環(huán)境因素（如風、地脈動等荷載）進行測試；其次，被測橋梁無任何損傷；第三，測試過程簡化，時間成本相對較低。此外，利用環(huán)境隨機激勵法對新建或在役橋梁進行動力特性測試是一種常見的無損測試方法。

1 實測幾何參數(shù)

云南省開遠市長虹橋由于建設年代久遠，缺乏設計資料而無法獲得橋梁的基本數(shù)據(jù)，為更進一步模擬橋梁的實際受力狀況，反映橋梁運營后的空間狀態(tài)， 如結構線形、拱圈等幾何參數(shù)，現(xiàn)場可通過全站儀、水準儀、皮尺和鋼卷尺等儀器進行測量獲取。結構尺寸如下：橋梁全長171.25 m，高30.0 m，凈寬9.0 m，其中行車道寬7.0 m，兩邊人行道各寬0.75 m，主孔跨徑為112.5 m，凈矢高21.3 m，主拱圈為變截面懸鏈線，拱頂厚1.8 m，拱腳厚2.63 m，立墻厚1.5 m，主拱兩邊各設腹拱5孔，每孔凈跨徑為5 m，腹拱拱圈厚0.5 m。

2 橋梁模態(tài)試驗

2.1 測試設備

本次現(xiàn)場測試采用江蘇東華測試技術股份有限公司生產(chǎn)的DH5907N型動態(tài)信號采集器進行現(xiàn)場測試，并配套使用DHDAS動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)進行數(shù)據(jù)處理。

為避免對橋梁造成損傷，本測試中所采用的測試方法為環(huán)境激勵法。橋梁在受到環(huán)境激振力的作用下，結構被激振起來后，利用DH5907N動態(tài)信號采集器進行數(shù)據(jù)采集。在試驗數(shù)據(jù)采集過程中，應保證數(shù)據(jù)采集的實時連續(xù)性，并注意外界因素對測試設備的影響，如強撞擊和信號干擾較強的電子設備［11］。此外，還應確保足夠的采集時間，以過濾行人和車輛等因素產(chǎn)生的影響，這樣才能獲得具有代表性的實測數(shù)據(jù)，與實際情況更為符合。完成數(shù)據(jù)采集后，使用配套的DHDAS動態(tài)信號采集分析系統(tǒng)進行后續(xù)數(shù)據(jù)處理，以獲取橋梁的實測動力特性，包括振型、自振頻率和阻尼比等指標。

2.2 現(xiàn)場測點布置

本次測試以大跨度石拱橋為研究對象，由于傳感器數(shù)量有限，可將結構測點劃分為5個單元。在整個試驗過程中，對固定布置的參考點進行測試，并確保這些參考點避開了拱橋振型中的不動點。接下來，通過參考點將5個單元的實測數(shù)據(jù)進行關聯(lián)。通過使用模態(tài)分析軟件進行處理，擬合出整個結構的振型圖。這樣的處理方法可以更全面地了解石拱橋的振動特性，并得到全結構的振型信息［12］。

2.3 拱橋的動力特性測試結果

本研究對拱橋在豎向和橫向兩個方向上進行了分析。豎向和橫向兩個方向上前兩階動力特性參數(shù)的實測振型如圖1至圖4所示。該橋豎向及橫向前兩階實測數(shù)據(jù)見表1。

由現(xiàn)場的測試結果可知，拱橋的豎向一階振型為反對稱，豎向二階為對稱，對稱豎彎模態(tài)比反對

稱豎彎模態(tài)阻尼比小。根據(jù)實測的數(shù)據(jù)對石拱橋的豎向和橫向振動模態(tài)進行分析可知，豎向振型方面，一階振型呈現(xiàn)類正弦曲線狀的變形，以兩側橋臺及跨中處為基點，以L/4和3L/4處為頂點；二階振型為類懸鏈線曲線狀的變形，以兩側橋臺及L/4和3L/4處為基點，以L/8、7L/8以及跨中處為頂點。橫向振型方面，一階振型呈現(xiàn)類懸鏈線曲線狀的變形，以兩側橋臺為基點，跨中處為頂點；二階振型為類正弦曲線狀的變形，以兩側橋臺及跨中處為基點，以L/4和3L/4處為頂點。由此可以得出以下結論：該石拱橋的跨中、L/4、3L/4、L/8和7L/8處的振動變形較大。因此，在運營監(jiān)控和檢測時，應該在這5個位置布置測點，以進行實時的監(jiān)測和評估［11］。

研究發(fā)現(xiàn)豎向和橫向的第一階頻率較低，說明橋梁結構具有良好的剛度，具備良好的抗震性能。在實測得到的各階振型中，沒有明顯的扭轉振型，即在環(huán)境隨機激振下，不能產(chǎn)生側向彎曲振動和豎向彎曲振動強度相當?shù)呐まD振動，說明結構具有良好的抗扭剛度［13］。在豎向和橫向方向上，隨著階數(shù)的增加，阻尼比有所下降。各階模態(tài)阻尼均在合理范圍內(nèi)。隨著階數(shù)的增加，豎向和橫向頻率呈現(xiàn)增大的趨勢，該拱橋的振型與一般石拱橋的振動形態(tài)相符合。同時，拱身的質(zhì)量和剛度分布均勻?qū)ΨQ，結構在承受荷載時具有均勻和合理的響應。這些結果說明該橋的整體結構性能較好。

3 拱橋有限元理論分析

3.1 建立模型

本研究采用Midas Civil軟件來建立拱橋的三維有限元模型。Midas Civil是一款通用的空間有限元分析軟件，專門針對橋梁結構設計。該軟件在建模、分析、后處理和設計等方面提供了許多便捷的功能，并結合了國內(nèi)的規(guī)范和習慣。目前，Midas Civil軟件已被廣泛應用于各大公路、鐵路部門的設計院和檢測機構中。通過利用Midas Civil軟件，能夠更加方便地進行拱橋結構的建模、分析、后處理和設計，為研究橋梁動力特性提供了有力的支持。

本次建立的模型共1 181個節(jié)點、1 400個單元。此模型邊界條件為：兩端拱腳采用固接；拱上立柱與主拱圈共用節(jié)點；拱上立柱與腹拱圈采用剛性連接；填料部分由于是只是承擔傳遞力的作用，本身不承受彎矩，故采用釋放梁端約束，x、y梁端均釋放；兩端腹拱約束為固定在外一端，橋面的約束為一端固定，一端釋放x方向。參照彭偉等［1］的研究，大部分石拱橋主拱圈、橫墻、腹拱圈等承重結構初始彈性模量取5.0 GPa，不考慮拱上填料剛度、填料與拱圈的相對滑動，只考慮其密度，所有材料的質(zhì)量密度取2 100 kg/m3，泊松比取0.2。經(jīng)過現(xiàn)場實測，拱橋兩側欄桿重量取14.4 kN/m，橋面鋪裝重量取25 kN/m。結構離散模型如圖5所示。

3.2 理論計算分析

本研究通過借助Midas Civil軟件進行理論計算分析，將荷載轉化為質(zhì)量，采用軟件提供的Lanczos方法，得到了拱橋在豎向和橫向上的前兩階理論振型及其對應頻率。拱橋在不同階段下的計算振型如圖6至圖9所示。

對該橋的豎向和橫向上的前兩階理論振型進行分析，結果數(shù)據(jù)見表2。

通過Midas/Civil理論計算可以得到，拱橋振型為對稱和反對稱，頻率隨著階數(shù)的增加而增大，且橫向頻率比豎向頻率大。

現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)與理論分析結果對比發(fā)現(xiàn)，橫向和豎向前兩階振型曲線基本能夠吻合，現(xiàn)場實測動力參數(shù)與理論分析值對比見表3。

由表3可知，理論值與實測值相關性差異過大，表明理論模型參數(shù)取值不適合，需要進行有限元模型修正。

4 有限元模型修正

4.1 模型修正的原則［9］

由于現(xiàn)場測量的尺寸與實際尺寸之間存在誤差，且該石拱橋為文物保護單位，其材料參數(shù)由同種類型石拱橋文獻得出，這也與實際情況有所偏差。同時使用Midas Civil進行建模時，主拱圈砌塊之間均由鋼接進行連接，而實際情況卻是由砂漿將砌塊與砌塊進行連接等，也會造成偏差。總體來說，由于結構和材料的不確定性，以及建模中的各種假設，所建立的有限元模型與實際橋梁相比存在誤差。為了使本研究建立的有限元模型更加貼近于實際橋梁，此模型需要進行修正。

本研究修正采用基于靈敏度參數(shù)的修正方法，此方法可直接對結構的動力特性進行修正，且修正的結果具有明確的物理意義。如果結構參數(shù)的修正量在每個迭代子步中較小，則結構模態(tài)頻率可以表示為泰勒級數(shù)的一階截斷表達式。第k階模態(tài)頻率見式（1）。

根據(jù)式（1）至式（5）和方程推導中的假設，合理選擇待修正參數(shù)，通過計算模態(tài)頻率提高待修正參數(shù)的靈敏度，是成功進行模型修正的重要程序。

4.2 參數(shù)修正

待修正參數(shù)的選擇是有限元模型修正中至關重要的一步，可以大大減少參數(shù)數(shù)目，提高修正效率。對于拱橋而言，影響其動力特性的部位主要有拱圈、立墻、腹拱等。所選參數(shù)及修正前后的值見表4，修正后的模態(tài)頻率與實測值的對比見表5。測試頻率與計算頻率之間的相關程度用百分比來表示［14］。由表5可知，修正后的計算模態(tài)頻率和實測模態(tài)頻率相差較小。

5 結論

①實測的拱橋振型與Midas Civil的理論振型相吻合，表明所進行的實測與分析工作具有較高的準確性和可靠性。

②在運營監(jiān)控和檢測過程中，建議在石拱橋的跨中、L/4、3L/4、L/8、7L/8等位置布置測點，以確保對橋梁的重要截面進行有效監(jiān)測。

③在實測得到的各階振型中，沒有明顯的扭轉振型，即在環(huán)境隨機激振下，沒有產(chǎn)生側向彎曲振動和豎向彎曲振動強度相當?shù)呐まD振動，說明結構具有良好的抗扭剛度。

④本研究測得的阻尼比符合規(guī)范要求，對于混凝土梁橋和拱橋，阻尼比不應超過5%。

⑤本研究通過靈敏度分析修正后頻率相關性由最高55.2%降低至最低0.6%，數(shù)值計算結果與試驗結果基本一致，參數(shù)依然具有物理意義。因此，修正后的有限元模型能夠較為準確地反映結構低階動力特性。

⑥修正后的有限元模型理論值與實測值相對性最大為-2.4%，最小為0.6%，滿足修正要求，可作為橋梁后續(xù)檢測工作的理論模型。

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收稿日期：2023-10-20

基金項目：云南省交通運輸廳科技項目（云交科教便〔2020〕91號）。

作者簡介：劉杰（1998—），男，碩士生，研究方向：橋梁檢測與加固。

通信作者：陳順超（1979—），男，博士，副教授，研究方向：橋梁檢測與加固。