借助教材資源 促進深度理解

摘 要：文章對一道人教A版新教材探究題進行研究，揭示題目編寫的高等數學背景，并對結論進行了拓展.引導學生深度理解數學問題的本質和內涵，整體建構函數主線知識體系，感悟無限逼近的基本思想，發展學生思維的深刻性、廣闊性和靈活性，實現教材習題價值的最大化.

關鍵詞：泰勒公式；函數擬合；近似計算；巴塞爾問題

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0024-05

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：張志剛（1983.6—），男，山東省泰安人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]

深度學習是一種基于高階思維發展的理解性學習，具有注重批判理解、強調內容整合、促進知識建構、著意遷移運用等特征.深度學習不僅需要學生積極主動地參與，還需要教師通過確立高階思維發展的教學目標，整合意義連接的學習內容，創設促進深度學習的真實情景^［1］.深度理解作為深度學習的基礎，在認識論上強調知識本質的社會規律性、知識存在的關聯結構性、知識獲得的主題參與性.以關聯為基礎、以學科核心思維為依據的問題鏈教學，利用問題將學習者帶入具有思考性的學習活動中，在問題解決的過程中建構新知識、建立概念間豐富的網絡結構，從而有利于學習者深度理解的形成^［2］.

1 題目呈現

《普通高中教科書數學必修第一冊》（人民教育出版社A版2019年6月第1版）第256頁第26題.

英國數學家泰勒發現了如下公式：

sinx=x-x33！+x55！-x77！+…，

cosx=1-x22！+x44！-x66！+…，

其中n！=1×2×3×4×…×n.

這些公式被編入計算工具，計算工具計算足夠多的項就可以確保顯示值的精確性.比如，用前三項計算cos0.3，就得到cos0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.

試用你的計算工具計算cos0.3，并與上述結果比較.

本題是三角函數的近似計算探究問題，從題目形式上有較大的創新，旨在引導學生經歷操作運算、比較辨析、直觀感知、理論證明等思維活動，初步學習函數擬合和近似計算的內容，從中體會無限逼近的數學思想，契合《普通高中數學課程標準（2017年版）》提出的教材習題編排“應突出整體性，要提高習題的有效性”“應開發一些具有應用性、開放性、探究性的問題”的要求^[3].

2 題目解答

計算工具是從事計算所使用的器具或輔助計算的實物.學生可使用科學型計算器、現代電子計算機（即電腦）等工具進行計算.

解法1 依題意，用前5項計算，即cos0.3≈1-0.322！+0.344！-0.366！+0.388！≈1-0.045+0.000 337 5-

0.000 001 012 5+0.000 000 001 63≈0.955 336 48.

又由科學型計算器得：cos0.3=0.955 336 489.與用前三項計算的結果比較可知，用前5項計算的

結果精確度更高，可見，當取的項數足夠多時，可以達到更高的精確度，甚至達到任意精確度的要求.

解法2 用Windows系統自帶的計算器計算cos0.3，得cos0.3≈0.955 336 489 12，可以看到用前三項計算cos0.3，就可以確保顯示值精確到小數點后5位.

3 題目背景

本題用多項式逼近函數，進行近似計算，題目編制的高等數學背景是正弦函數、余弦函數的泰勒（Taylor）公式.

若函數f（x）在x0處存在直到n階導數，則有f（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2！（x-x0）2+…+f^（n）（x0）n?。▁-x0）n+ο（（x-x0）n），此式稱為f（x）在x0處的泰勒公式.其中f（x0）+f ′（x0）（x-x0）+f ″（x0）2?。▁-x0）2+…+f^（n）（x0）n?。▁-x0）n稱為f（x）在x0處的泰勒多項式，記為Tn（x）.所以f（x）=

Tn（x）+ο（（x-x0）n）.實際應用較多的是泰勒公式當x0=0時的特殊情形：f（x）=f（0）+f ′（0）x+f ″（0）2！x2+…+f^（n）（0）n！xn+ο（xn），它也稱為麥克勞林（Maclaurin）公式.

用多項式逼近函數是近似計算和理論分析的一個重要內容^[4].學生在“導數的幾何意義”一節已學習了切線擬合——用曲線上某點處的切線近似代替此點附近的曲線，其中蘊含了以直代曲的數學思想.例如，函數y=sinx在點（0，f（0））附近的圖象可用切線y=x擬合.然而，切線擬合在很多場合中并不能滿足精確度要求，需用二次或高于二次的多項式逼近.切線擬合啟發我們：既然用一階導數逼近就可在切點附近達到一定的精度，那么多次求導，讓擬合函數在某點處的任意階導數與原函數的同階導數相等，應會提高精確度.這正是泰勒公式的核心思想：先把函數轉換（改寫）為多項式形式，其中多項式的系數可求導得到，然后用多項式擬合函數，其誤差是關于（x-x0）n的高階無窮小量.如，由麥克勞林公式得sinx= x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！，如圖1所示，多項式取到三次時就和真值比較接近了.當取的項數足夠多時，可以達到更高的精確度，甚至達到任意精確度的要求.例如，sin3≈3-92+8140=2140.

再如，由麥克勞林公式得cosx=1-x22！+x44！-

x66！+x88！+…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+ο（x²ⁿ⁺¹），如圖2所示，多項式取到四次時就和真值比較接近了.由此可得

cos0.3≈1-0.322！+0.344！=0.955 337 5.當然，取的項數越多，近似精度就越高.

此外，將麥克勞林展開式sinx=x-x33！+x55！-

x77！+…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！中的高次項舍棄，保留前部分就得到一些常用的不等式，即泰勒放縮.例如，保留展開式的前一項得sinxlt;x，保留前兩項得sinxgt;x-x36.

常用的麥克勞林公式還有：

（1）ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn）；

（2）ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）^n-1xnn+ο（xn）；

（3）（x+1）α=1+αx+α（α-1）x22！+…+α（α-1）…（α-n+1）xnn！+ο（xn）；

（4）tanx=x+x33+2x515+…+ο（x²ⁿ）.

同理，通過截取麥克勞林公式的片段，就得到更

多的不等式.例如，ex≥1+x；ln（x+1）≤x；x+1≤1+x2；cosx≥1-x22；tanx≥x+x33（x≥0），它們成為高中數學中不等式放縮的理論依據和重要途徑.

4 拓展應用

以泰勒公式為科學背景命制的試題頻頻出現于教材、高考題和模擬題中，通過近似計算、比較大小、證明不等式恒成立等問題，考查學生數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模等核心素養.

4.1 近似計算

例1 （1）求對數曲線y=lnx過點（1，0）的切線方程，并畫出對數曲線和所求切線的圖象.

（2）觀察（1）中的圖象，你會發現切線y=x-1在切點（1，0）附近非常接近曲線，也就是說，當|x-1|趨近于0時，我們有近似公式，試用此近似公式計算ln1.000 1以及lg1.000 1的近似值.

解析 （1）y=lnx，y′=1x，則y=lnx在點（1，0）的切線斜率是1，故切線是y=x-1，如圖3.

（2）觀察（1）中的圖象，會發現切線y=x-1在切點附近非常接近曲線，也就是說，當|x-1|趨近于0時，我們有近似公式lnx≈x-1，則

ln1.000 1≈1.000 1-1=0.000 1，

lg1.000 1=ln1.000 1ln10≈0.000 043 43.

點評 本例選自《普通高中教科書數學選擇性必修第二冊》（湖南教育出版社2019年11月第1版）第49頁第22題.由泰勒公式得，ln（x+1）=x-x22+x33-…+（-1）^n-1xnn+ο（xn），保留展開式的前一項得：ln（x+1）≈x，將x換成x-1即得lnx≈x-1.可見，本題的編寫背景也是泰勒公式.同理，由泰勒公式得，ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），當|x-0|趨近于0時，有ex≈1+x.如圖3所示.本題是切線擬合，函數擬合效果是有限的.若增加泰勒展開式中的項數，例如用函數y=1+x+x22擬合曲線y=ex，精確度會相應提高.4.2 證明恒等式

例2 已知函數f（x）=xe^-x·lna，g（x）=sinx.

英國數學家泰勒發現了如下公式：cosx=

∑∞n=0（-1）nx²ⁿ（2n）！=

1-x22！+x44！-…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+…（n∈N*），這個公式被編入計算工具，計算足夠多的項時就可以確保顯示值的精確性.現已知g（x）x=（1-xπ）（1+xπ）（1-x2π）（1+x2π）（1-x3π）（1+x3π）…（1-xnπ）（1+xnπ）…，利用上述知識，試求∑∞n=11n2的值.

解析 依題意，得sinxx=（1-x2π2）［1-x2（2π）2］·［1-x2（3π）2］…［1-x2（nπ）2］…，①

由于cosx=1-x22！+x44！-…+（-1）nx²ⁿ（2n）！+…（n∈N*），

等式兩邊同時求導得，

-sinx=-x+x33！-x55！+…+（-1）nx^2n-1（2n-1）！+…，

故sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！+….

進而sinxx=1-x23！+x45！-x67！+…+（-1）^n-1x^2n-2（2n-1）！+…，②

由于①②式中x2的系數相等，即

-13！=-1π2（112+122+132+…+1n2+…）.

即有∑∞n=11n2=π26.

評注 本題要求精確計算全體自然數平方的倒數和，即∑∞n=11n2=limn→+∞（112+122+…+1n2）.該問題首先由意大利數學家皮耶特羅·門戈利于1644年提出，歐拉推證得其結果為π26，并于1741年給出嚴密證明，后世以歐拉的家鄉——瑞士的巴塞爾將此數論問題命名為“巴塞爾問題”，以示紀念.歐拉的論證從正弦函數的麥克勞林展開式sinx=x-x33！+

x55！-x77！+…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！開始.過程如下：

由于sinx=x-x33！+x55！-…+（-1）^n-1x^2n-1（2n-1）！+…，

故sinxx=1-x23！+x45！-…+（-1）^n-1x^2n-2（2n-1）！+…，①

又sinkπ=0（k∈Z），

故sinxx=（1-x2π2）［1-x2（2π）2］［1-x2（3π）2］…［1-x2（nπ）2］…，②

①②式中x2的系數相等，即

-13！=-1π2（112+122+132+…+1n2+…），

所以∑∞n=11n2=π26.

歐拉將方程與巴塞爾問題聯系在一起，應用從有限過渡到無限的法則，創造性地把有限多項式的因式乘積形式類比至無限項多項式中，成功地把無窮級數和數字π聯系起來，彰顯了獨特的原創性和簡潔性.本題考查的正是歐拉利用泰勒展開式解決巴塞爾問題的方法，只是本題需先通過求導運算轉化為正弦函數的泰勒展開式.

4.3 證明不等式

例3 已知a=3132，b=cos14，c=4sin14，則（" ）.

A.cgt;bgt;a"" B.bgt;agt;c

C.agt;bgt;cD.agt;cgt;b

解析 由于cb=4tan14，由泰勒公式得，當x∈（0，π2）時，tanxgt;x，所以tan14gt;14，cbgt;1，即cgt;b.

同理，當x∈（0，π2）時，sinxlt;x.

則cos14=1-2sin218gt;1-2×（18）2=3132.

即bgt;a.

綜上，cgt;bgt;a.

故選A.

評注 本題常見解法是構造f（x）=cosx+

12x2-1，利用導數討論其單調性，進而判定代數式的大小.利用泰勒展開式進行放縮論證，簡明有力.

例4 已知函數f（x）=ae^x-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范圍.

解析 由題意agt;0.

當0lt;alt;1時，f（1）=a+lnalt;1，不合題意，舍去.

當a=1時，f（x）=e^x-1-lnx，f ′（x）=e^x-1-1x.當x∈（0，1）時，f ′（x）lt;0，f（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，f ′（x）gt;0，f（x）單調遞增.

所以當x=1時，f（x）取得最小值f（1）=1.

從而f（x）≥1.

當agt;1時，f（x）=ae^x-1-lnx+lnagt;e^x-1-lnx≥1.

綜上，a的取值范圍是［1，+∞）.

點評 本題考查不等式恒成立求參數范圍問題，常見的解答思路有同構變形、虛設零點等.以上利用分類討論思想進行了解答.當0lt;alt;1時，顯然不合題意，而只要證明了當a=1時滿足題意，agt;1時也符合題意.由泰勒公式，得ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），得ex≥1+x，把x換成x-1，得e^x-1≥x①.由泰勒公式，得ln（x+1）=x-x22+x33+…+（-1）^n-1·xnn+

ο（xn），得ln（x+1）≤x，將x換成x-1得lnx≤x-1，進一步有-lnx≥1-x②.①+②得e^x-1-lnx≥1，即為a=1時的情形.可見，泰勒公式既是本題的數學背景，也是發現解題思路的金鑰匙.

5 結束語

習題是課堂教學內容的鞏固和深化，是教材的重要組成部分，為學生發展數學學科核心素養提供平臺，其選擇、布局、數量、設計等都影響著數學學習^[5].眾多評價試題也是從教材習題出發，經過改編、綜合、拓展、嫁接而來，具體表現為：課本例題、習題數據的變更，課本習題條件的拓展，課本例題、習題背景的變換，課本例題、習題的應用，等等^[6].綜上，通過對一道教材數學探究題的挖掘，引導學生發現問題的內涵，“揭秘”題目背后的故事與歷史淵源，理解數學知識的本質，關注單元知識的系統性，整體建構數學知識體系，進一步概括歸納深藏其中的思維主線，感悟數學的基本思想，完成對數學知識的深度理解，實現學業質量的相應要求.

參考文獻：

［1］安富海.促進深度學習的課堂教學策略研究[J].課程·教材·教法，2014，34（11）：57-62.

［2］" 唐恒鈞，張維忠，陳碧芬.基于深度理解的問題鏈教學[J].教育發展研究，2020，40（04）：53-57.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［4］" 華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[5] 孫虎，劉祖希.數學跨學科實踐活動：“內涵”“價值”與“實施路徑”[J].數學教育學報，2023，32（01）：19-24.

[6] 戴建國.對高考中導數試題命制過程的一些思考[J].數學通訊，2021（18）：52-55.

［責任編輯：李 璟］