函數對稱中心的解法探究

摘 要：對稱中心是函數的一個重要性質，也是高考的重要考點，一般以奇函數、三次函數為背景，綜合考查學生對函數圖形性質、研究方法和數學思想的掌握情況.本文以一道高考題為例，探索函數對稱中心有關問題的不同解法.

關鍵詞：對稱中心；圖形性質；三次函數

中圖分類號：G632" "文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0079-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：王少波（1998.8—），男，江西省樂安人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究；

范寶銳（1979.2—），男，廣東省大埔人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

對于函數的對稱中心問題，在2024年的高考題和各地模擬題中都有考查，屬于高頻知識點，需要引起我們的重視.常見類型有選擇題中判斷對稱中心是否正確，填空題中計算相關參數，解答題則一般證明函數是否是中心對稱圖形.此類問題一般難度不大，但有一定的技巧性.解決問題的關鍵是能夠正確地找到對稱中心的坐標，一般可以考慮從中心對稱的定義、函數的定義域、求導和三次函數中心對稱模型等方面求解.

1 真題呈現

題目 （2024年高考新課標Ⅰ卷第18題節選）已知函數f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3，證明：曲線y=f（x）是中心對稱圖形.

2 解法探究

分析 證明曲線是中心對稱圖形的關鍵是找到對稱中心的坐標.本題包括了對數函數、一次函數和三次函數，可以考慮從中心對稱的充要條件、對數函數的定義域和三次函數的對稱中心等角度著手解決.

解法1 設曲線y=f（x）的對稱中心為P（m，n），要證曲線y=f（x）是中心對稱圖形，只需證y=f（x+m）-n為奇函數，即有f（x+m）+f（-x+m）=2n（n為常數）成立.

令g（x）=lnx2-x，則g（x+m）+g（-x+m）=lnx+m2-x-m+ln-x+m2+x-m=ln-x2+m2-x2+m2-4m+4為常數.

可知-x2+m2-x2+m2-4m+4=1，得m=1.

則g（x+1）+g（-x+1）=0.

又f（x+1）+f（-x+1）=a（x+1）+bx3+

a（-x+1）+b（-x）3=2a，得n=a.

即f（x+1）+f（-x+1）=2a成立.

所以y=f（x+1）-a是奇函數，曲線y=f（x）是中心對稱圖形，對稱中心為（1，a）.

評注 關于函數對稱中心的判定方法，在2019年人教A版教材必修一第87頁的拓廣探索的第13題中已給出：函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）-b為奇函數.符號語言為f（x+a）+f（-x+a）=2b^[1].

解法2 易知f（x）=lnx2-x+ax+b（x-1）3的定義域為（0，2），由對稱性可知曲線y=f（x）的對稱中心的橫坐標必為1，而f（1）=a，猜想y=f（x）的對稱中心為P（1，a）.

設Q（m，n）為曲線y=f（x）上任意一點，Q（m，n）關于P（1，a）的對稱點為T（2-m，2a-n），因為Q（m，n）在曲線y=f（x）上，故

n=lnm2-m+am+b（m-1）3.

而f（2-m）=ln2-mm+a（2-m）+b（2-m-1）3

=

-［lnm2-m+am+b（m-1）3］+2a

=-n+2a，

所以T（2-m，2a-n）也在曲線y=f（x）上，猜想成立.

由Q（m，n）的任意性可得曲線y=f（x）為中心對稱圖形，且對稱中心為P（1，a）.

評注 這是利用充要條件的另一種形式證明曲線是中心對稱圖形.對于定義域不是R的情形，可以通過定義域的對稱中心確定曲線的對稱中心，得到對稱中心坐標后再進行證明.常見的用定義域法求解中心對稱的曲線如f（x）=ax+bcx+d+px+qrx+s（cr≠0），由定義域得對稱中心的橫坐標為12（-dc-sr），對稱中心的縱坐標則為12［f（x）+f（-x-dc-sr）］.又如f（x）=logapx+qrx+s（ps-qr≠0，pr≠0），可由（px+q）（rx+s）gt;0，解得定義域兩個端點的中點即為對稱中心的橫坐標12（-qp-sr），對稱中心的縱坐標則為12［f（x）+f（-x-qp-sr）］，再根據中心對稱的充要條件進行論證.

解法3 對f（x）求導，得f ′（x）=2-x2+2x+3b（x-1）2+a，其中y=-x2+2x和y=3b（x-1）2

都是對稱軸為直線x=1的二次函數，有f ′（x+1）=

2-x2+1+3bx2+a=f ′（-x+1）成立.

即［f（x+1）+f（-x+1）］′=0.

所以f（x+1）+f（-x+1）=c（c為常數）.

令x=0，得c=2f（1）=2a.

即f（x+1）+f（-x+1）=2a.

所以y=f（x+1）-a是奇函數，曲線y=f（x）是中心對稱圖形，對稱中心為（1，a）.

評注 導數是研究函數圖象性質的重要工具，若導函數曲線y=f ′（x）關于直線x=m對稱，則原函數曲線關于點P（m，f（m））成中心對稱（若f（m）無意義，可通過12［f（x+m）+f（-x+m）］求得對稱中心的縱坐標）.

解法4 由三次函數圖象性質可知，曲線y=b（x-1）3關于點（1，0）成中心對稱，直線y=ax上任意點都是對稱中心，可取對稱中心（1，a）.

令g（x）=lnx2-x，猜想曲線y=g（x）是中心對稱圖形且對稱中心橫坐標為1.

因為g（x+1）+g（-x+1）=lnx+1-x+1+

ln-x+1x+1=0，所以曲線y=g（x）關于點（1，0）成中心對稱圖形.

又因為f（x+1）+f（-x+1）=lnx+1-x+1+

ln-x+1x+1+a（x+1）+bx3+a（-x+1）+b（-x）3=2a，所以y=f（x+1）-a是奇函數，曲線y=f（x）是中心對稱圖形，對稱中心為（1，a）.

評注 對于存在多個函數是中心對稱圖形，它們的和差一般具有如下性質：在定義域D上，若曲線y=f（x）的對稱中心是（a，m），曲線y=g（x）的對稱中心是（a，n），則曲線y=f（x）±g（x）的對稱中心是（a，m±n）.因為f（x+a）+f（-x+a）=2m，

g（x+a）+g（-x+a）=2n，所以［f（x+a）±g（x+a）］+［f（-x+a）±g（-x+a）］=2（m±n），故曲線y=f（x）±g（x）的對稱中心是（a，m±n）^[2].

3 變式拓展

變式1" （2024年新課標Ⅱ卷）設函數f（x）=2x3-3ax2+1，是否存在a，使得點（1，f（1））為曲線y=f（x）的對稱中心；

解析 由于f ′（x）=6x2-6ax，曲線y=f ′（x）的對稱軸x=a2即是對稱中心（1，f（1））的橫坐標，因此x=a2=1，所以存在a=2使得點（1，f（1））為曲線y=f（x）的對稱中心.

評注 也可用對稱中心的充要條件，f（x）+

f（2-x）=6-6a，求解得a=2.事實上，三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）必有唯一對稱中心

（-b3a，f（-b3a））.

變式2 （2024年湖南二模）已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），其圖象的對稱中心為（1，-2），求a-b-c的值.

解析 因為函數f（x）的圖象關于點（1，-2）中心對稱，所以y=f（x+1）+2為奇函數，即有f（x+1）+

f（-x+1）=（2a+6）x2+2a+2b+2c+2=-4，解得a=-3，b+c=0，所以a-b-c=-3.

變式3 （2022年上海一模）已知函數f（x）=12x+1（x∈R），求函數f（x）對稱中心的坐標.

解析 設函數f（x）存在對稱中心為P（a，b），且g（x）=f（x+a）-b=12^x+a+1-b是奇函數，所以g（-x）+g（x）=12^-x+a+1+12^x+a+1=2b恒成立.

即（1-2b）（2^x+a+2^-x+a）+2-2b-2b·2^2a=0恒成立.

所以1-2b=0，2-2b-2b·2^2a=0.

解得a=0，b=12.

即函數f（x）對稱中心的坐標為P（0，12）.

4 結束語

中心對稱是函數圖象的一個重要性質，本文以2024年高考新課標Ⅰ卷第18題為例，從多個角度探究函數的對稱中心坐標，總結了常見函數類型的對稱中心的求法并配以練習題加以拓展鞏固.在教與學的過程中，要充分利用好教材資源，重視教材的旁白和課后練習與拓展，掌握好知識的來龍去脈和解題的通性通法，在數學的學習上才能舉一反三、游刃有余.

參考文獻：

［1］人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 李文東.函數圖象對稱中心的求法和應用[J].高中數學教與學，2024（09）：16-18.

［責任編輯：李 璟］