立足“一題多解” 進行“一題多變”

摘 要：以2024年高考數學新課標卷第15題為例，并與以往高考題比較，尋求其通性通法；比較此題與教材中的題，揭示高考題源于教材并高于教材；利用一題多解研究其不同解法，尋求解題本質，培育數學素養；通過一題多變，發散數學思維.

關鍵詞：一題多解；一題多變；新課標卷；數學思維；數學素養

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0069-04

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：何順芳（1999.1—），貴州省銅仁人，碩士，從事中學數學教學研究.

解三角形是新高考命題的熱門話題.新課標卷打破了以往的命題模式，靈活科學地確定試題的內容、順序，有助于打破學生機械應試的套路，打破教學中僵化、固定的訓練模式；考查的內容依據學業質量標準和課程內容，注重對基礎知識和基本技能的掌握和靈活運用.

1 真題再現

高考真題 （2024年高考數學新課標Ⅱ卷）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2.

（1）求A；

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周長.

2 試題分析

第一題主要考查的是輔助角公式asinα+bcosα=a2+b2sin（α+φ）的化解；第二題利用正弦定理和二倍角公式化解2bsinC=csin2B，再結合相關知識求出周長.本題主要考查學生的數學運算能力和邏輯推理能力，培養學生數學運算、邏輯推理的數學核心素養.

3 題源追蹤

（2017年全國Ⅲ卷第17題）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=0，a=27，b=2.

（1）求c;

（2）設D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解析 （1）因為sinA+3cosA=0，

所以2sin（A+π3）=0.

又A∈（0，π），所以A=2π3.

根據余弦定理，有

cosA=b2+c2-a22bc.

代入得-12=4+c2-284c，解得c=4.

（2）在△ABC中，由正弦定理，得

sinC=sinAa·c=3/227×4=217.

所以cosC=287.

所以tanC=32.

在Rt△ADC中，AD=AC·tanC=3，則

S△ADC=12×2×3=3.

由（1）知S△ABC=12·sinA·bc=23.

所以S△ABD=S△ABC-S△ADC=3.

比較兩道高考題發現，解三角形是高考題的熱點話題，主要考查正弦定理、余弦定理、萬能公式等知識點，重在提升學生的邏輯推理能力、數學運算能力，培育學生數學核心素養，發展學生數學思維.研究發現高考題強調通性通法的考查^[1]，在數學教學中，教師應注重通法的教學，讓學生在掌握通性通法的基礎上，再根據題目的具體呈現形式，靈活選擇并嘗試變形，最終完成解題.

4 課本溯源

（2019年人教A版數學必修第二冊第48頁第3題）在△ABC中，已知cosA=45，B=π3，b=3，

求a，c.

解析 因為cosA=45，A∈（0，π），所以sinA=35.

根據正弦定理，得

a=bsinAsinB=3×3/53/2=65.

又因為B=π3，A+B+C=π，

所以C=2π3-A.

于是sinC=sin（2π3-A）=32cosA+12sinA=43+310.

由正弦定理，得

c=bsinCsinB=3×（43+3）/103/2=43+35.

教材中題的條件比較簡單直接，知道一個角及其所對的邊的長度，還已知另外一個角的余弦值，要求另外兩邊的邊長.而高考題是先給出一個等式，需要用萬能公式將其化解得到特殊的正弦值，再結合三角形的特征得到角的大小，接著題目給出了一條邊的邊長和一個式子，將這個式子進行化解，得到的是另外一個角的余弦值，最后要求三角形的周長，也就是需要求出另外兩邊的邊長.總結該題所給的條件，即已知一個角及其所對邊的大小，還知另外一角的余弦值，求此三角形的周長.兩道題的本質是一樣的，都是已知一個角及其所對邊的大小，還知另外一個角的余弦值，求另外兩邊的長度.所以，此高考題的原型就是2019年人教A版數學必修第二冊第48頁的第3題.這說明這道高考題源于課本但高于課本，因此，教師在教學中需要指導學生立足于課本，適當提高，就能提質減負！

5 一題多解

5.1 第（1）問解析

解析 因為sinA+3cosA=2sin（A+π3）=2，

所以sin（A+π3）=1.

所以A+π3=π2+2kπ.

因為A∈（0，π），

所以A=π6.5.2 第（2）問解析

分析1 要求三角形的周長，先求出三邊長.由正弦定理，對2bsinC=csin2B化解得cosB=22，根據三角形三個角的范圍是（0，π），進而得出B=π4，再根據三角形的內角和為π，求出角C=7π12.又根據特殊角的正弦值求出sinB和sinC，進而得出a，b，c的大小，最后由三角形的周長公式

求出△ABC的周長.

解法1 因為2bsinC=csin2B，

所以2bsinC=2csinBcosB.

所以2·bsinB=2·csinC·cosB.

所以cosB=22.

因為B∈（0，π），所以B=π4.

由A+B+C=π，得C=7π12.

所以sinB=22，sinC=6+24.

再根據正弦定理，得

b=22，c=6+2.

所以三角形的周長為

C=a+b+c=2+32+6.

分析2 根據正弦定理對2bsinC=csin2B化解得出cosB=22，由于三角形三個角度范圍的限制，得到B=π4，再由正弦定理求出b，根據余弦定理，將a和b的值代入得一元二次方程c2-22c-4=0，解該一元二次方程得到c有兩個值，但由于c是三角形邊長且它所對的角是鈍角，所以

c=6+2，進而將a，b，c代入三角形周長公式，最終完成解題.

解法2 因為2bsinC=2csinBcosB，

所以2·bsinB=2·csinC·cosB.

所以cosB=22.

所以sinB=22.

由asinA=bsinB，得b=22.

根據余弦定理，得c2-22c-4=0.

因此c=6+2.

故C=a+b+c=2+32+6.

分析3 求三角形的周長先要求出三角形的邊長，根據第一題的結論，這些角都是特殊角或者由特殊角進行加減所得，那么就可以根據特殊角構造特殊三角形.

解法3 構造如圖1所示的等腰△BCD，由（1）知A=π6.圖1 解法3示意圖

因為2bsinC=csin2B，

所以2bsinC=2csinBcosB.

所以2·bsinB=2·csinC·cosB.

所以cosB=22.

因為B∈（0，π），所以B=π4.

由A+B+C=π，得C=7π12.

所以∠CDB=∠B=45°.

所以BD=22.

所以∠CDA=135°，∠DCA=15°.

在△ACD中，AC=22，

由正弦定理，得

22sin135°=ADsin15°.

所以AD=6-2.

所以AB=AD+BD=6+2.

故三角形的周長為AB+BC+CA=2+6+32.

6 一題多變

在高考真題的基礎上，筆者對該題進行了一些變式，讀者可以嘗試從通法入手，完成解題.

變式1 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2，

（1）求A;

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的面積.

變式2 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2，

（1）求A;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的周長.

變式3 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA+3cosA=2，

（1）求A;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的面積.

變式4 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinB≤0，

（1）求B的取值范圍;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的周長的取值

范圍.

變式5 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinB≤0，

（1）求B的取值范圍;

（2）若a=2，b=22，求△ABC的面積的取值

范圍.

變式6 在銳角△ABC，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinC=csin2B，

（1）求B;

（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

7 結束語

解三角形問題需要充分挖掘題目所給條件的內涵與本質，深入理解題意條件與所求是解決問題的前提，將所給條件與所求結論進行不同層面的整合，從不同的方面分析問題進行“一題多解”.在一般解法的基礎上，結合所學知識，尋求其他解法，拓展自己的思維，并從多種解法中尋求最佳的解法，其他解法可以幫助檢驗問題的答案，一勞多逸；從不同的思維視角“一題多變”與拓展，發散數學思維，達到“一題多得”，做到真正的融會貫通；從數學知識的運用、數學能力的提升、數學思維的發展、數學素養的培育等多方面多層次融合，形成數學的知識體系，獲得良好的數學結構，轉變為數學能力，獲得數學創新.

參考文獻：

［1］于丹.借助“一題多解”，進行“一題多變”：以2023年高考數學新高考Ⅱ卷第5題為例[J].中學數學，2024（03）：76-77.

［責任編輯：李 璟］