數(shù)列不等式恒成立問題探索

摘 要：數(shù)列不等式的恒成立問題包含了數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的前n項(xiàng)和，涉及的解題方法主要是放縮法和構(gòu)造函數(shù)法. 破解數(shù)列不等式恒成立問題的思路，主要是利用數(shù)列的單調(diào)性或者利用函數(shù)的單調(diào)性.

關(guān)鍵詞：數(shù)列不等式；恒成立問題；單調(diào)性；構(gòu)造函數(shù)

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0082-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：高影（1983.7—），女，黑龍江省齊齊哈爾人，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)列不等式的證明題和恒成立問題

令很多考生望而生畏.下面結(jié)合具體例題，從數(shù)列的單調(diào)性和函數(shù)的單調(diào)性兩個(gè)角度對數(shù)列不等式恒成立問題進(jìn)行探索.

1 利用數(shù)列的單調(diào)性

例1 已知{an}滿足對一切正整數(shù)n均有

an+1lt;an且an=-n2+λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的范圍是.

解析 因?yàn)閷σ磺姓麛?shù)n均有an+1lt;an且an=-n2+λn恒成立，所以-（n+1）2+λ（n+1）lt;-n2+λn.

化簡得到λlt;2n+1，n∈N*.

因?yàn)閚∈N*，所以2n+1的最小值為3.

所以λlt;3.

例2 （多選題）在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=2n，若不等式2+λ·（-1）n≥3n-1an+1對任意n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)λ的值可以是（" ）.

A.1" B.0" C.-1" D.-2

解析 因?yàn)閍n+1-an=2n，當(dāng)n≥2時(shí)，（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）=2^n-1+2^n-2+…+2=2（1-2^n-1）1-2=2n-2^［1］.

又a1=1，所以an=2n-2+1=2n-1.

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1滿足an=2n-1.

所以an=2n-1.

由2+λ·（-1）n≥3n-1an+1，得到

2+λ·（-1）n≥3n-12n.

令bn=3n-12n，則

bn+1-bn=3n+22ⁿ⁺¹-3n-12n

=3n+2-6n+22ⁿ⁺¹

=4-3n2ⁿ⁺¹.

當(dāng)n=1時(shí)，b2-b1=122gt;0，得到b2gt;b1；

當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1-bnlt;0，所以b1lt;b2gt;b3gt;b4gt;….

又b1=1=b3，所以

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，2+λ·（-1）n=2+λ≥3×2-122=54，得到λ≥-34；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，2+λ·（-1）n=2-λ≥b1=1^［2］，得到λ≤1，所以-34≤λ≤1.

故選AB.

2 利用函數(shù)的單調(diào)性

例3 已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镮，設(shè)x0∈I，曲線y=f（x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處的切線交x軸于點(diǎn)（x1，0），當(dāng)n≥1時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線交x軸于點(diǎn)（xn+1，0），依次類推，稱得到的數(shù)列xn為函數(shù)y=f（x）關(guān)于x′0的“N數(shù)列”，已知f（x）=2x-ln（x+1）.

（1）若{xn}是函數(shù)y=f（x）關(guān)于x0=1的“N數(shù)列”，求x1的值;

（2）若g（x）=f ′（x），{an}是函數(shù)y=g（x）關(guān)于a0=-34的“N數(shù)列”，記bn=log2|2an+1|.

①證明：{bn}是等比數(shù)列;

②證明：∑n+1i=2sin1ilt;ln［log2（-bn+1）］，n≥2，n∈N.

解析 （1）由題意知，f ′（x）=2-1x+1，f（1）=2-ln2.

所以f ′（1）=2-11+1=32.

曲線f（x）=2x-ln（x+1）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為32，所以曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-（2-ln2）=32（x-1）.

令y=0，解得x=2ln2-13，所以x1=2ln2-13.

（2）①g（x）=f ′（x）=2-1x+1=2x+1x+1，g′（x）=1（x+1）2，

則在（an，g（an））處的切線斜率為g′（an）=1（an+1）2.

所以在（an，g（an））處的切線方程為

y-2an+1an+1=1（an+1）2（x-an）.

令y=0，解得an+1=an-（2an+1）（an+1）=-2a2n-2an-1.

所以-（2an+1+1）=（2an+1）2.

所以bn+1=log2|2an+1+1|=2log2|2an+1|=2bn.

即bn+1bn=2，b1=2log2|2a0+1|=2log212=-2.

所以{bn}是以首項(xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列.

②由①可知，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=-2n，則log2（-bn+1）=n+1.

要證∑n+1i=2sin1ilt;ln［log2（-bn+1）］，n≥2，n∈N.

即證∑n+1i=2sin1ilt;ln（n+1），n≥2，，n∈N.

當(dāng)n=2時(shí)，sin12lt;1lt;ln3成立；

因?yàn)閘n（n+1）=∑n+1i=2［lni-ln（i-1）］，

即證∑n+1i=2sin1ilt;∑n+1i=2［lni-ln（i-1）］.

即證sin1ilt;lni-ln（i-1），i=2，3，…，n.

構(gòu)造函數(shù)u（x）=x-sinx，x∈［0，+∞），則

u′（x）=1-cosx≥0.

故u（x）在［0，+∞）單調(diào)遞增.

對任意x∈（0，+∞），u（x）gt;u（0）=0，

即xgt;sinx，取x=1igt;0，則有sin1ilt;1i.

故只需證1ilt;lni-ln（i-1）=lnii-1=-lni-1i=-ln（1-1i）.

即需證ln（1-1i）lt;-1i=（1-1i）-1.

構(gòu)造函數(shù)v（x）=x-1-lnx，x∈（0，1），則

v′（x）=1-1x=x-1xlt;0.

故v（x）在（0，1）單調(diào)遞減.

則v（x）gt;v（1）=0.

即對任意t∈（0，1），t-1gt;lnt，取t=1-1i∈（0，1），即有l(wèi)n（1-1i）lt;（1-1i）-1.

綜上，∑n+1i=2sin1ilt;ln（n+1）=ln（log2bn+1），n≥2，n∈N*.

例4 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意正整數(shù)m，n都有am+n=an+am+2mn.

（1）寫出a2，a3，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=12ln（1+1an+1an+1），Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和，求證：Tnlt;nn+1.

解析 （1）因?yàn)閷θ我庹麛?shù)m，n都有

am+n=an+am+2mn.

故a2=a1+1=a1+a1+2=4，

a3=a1+2=a1+a2+4=9.

令m=1，可得an+1=an+1+2n.

所以an+1-an=1+2n.

當(dāng)n≥2時(shí)，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+3+…+（2n-1）=n2，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，符合上式，所以an=n2.

（2）由題意得

bn=12ln（1+1an+1an+1）

=ln1+1n2+1（n+1）2

=lnn2（n+1）2+n2+（n+1）2n2（n+1）2

=lnn2（n+1）2+n2+n2+2n+1n2（n+1）2

=lnn2（n+1）2+2n（n+1）+1n2（n+1）2

=lnn（n+1）+1n（n+1）

=ln［1+1n（n+1）］

=ln（1+1n-1n+1）.

下面證明xgt;0時(shí)，ln（x+1）lt;x.

令f（x）=x-ln（x+1），xgt;0，求導(dǎo)得

f ′（x）=1-11+x=x1+xgt;0.

所以f（x）=x-ln（x+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以f（x）=x-ln（x+1）gt;f（0）=0.

結(jié)合當(dāng)xgt;0時(shí)，ln（x+1）lt;x^［3］，有

bn=ln（1+1n-1n+1）lt;1n-1n+1.

所以

Tn=b1+b2+b3+…+bn

lt;（1-12）+（12-13）+（13-14）+…+（1n1n+1）

=nn+1.

故Tnlt;nn+1.

3 結(jié)束語

對于數(shù)列不等式的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題，然后借助數(shù)列的單調(diào)性即可求解. 對于數(shù)列不等式的證明題，可先進(jìn)行等價(jià)變形，最后根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明，這是處理數(shù)列不等式的常見方法.對于高中生而言，需要不斷地進(jìn)行訓(xùn)練、實(shí)踐和總結(jié)，這樣才能提高求解數(shù)列不等式的能力.

參考文獻(xiàn)：

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[2] 曹瑩，李鴻昌.利用糖水不等式證明一類數(shù)列不等式[J].數(shù)學(xué)通訊，2019（21）：2-3.

[3] 李鴻昌.活用函數(shù)的單調(diào)性解題[J].數(shù)理天地（高中版），2018（06）：20-21.

［責(zé)任編輯：李 璟］