利用作差構造法解決不等關系

摘 要：導數綜合應用問題是高考數學中常考的知識點，文章選取了在導數中利用作差構造法解決不等關系的例題進行了分析，并在文末給出了思考.

關鍵詞：導數；作差構造法；不等關系

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0085-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：林友枝（1973.10—），男，福建省連江人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

2019年，教育部明確提出要立足發展育人目標，構建包括“核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識”在內的高考考查內容體系^[1].數學學科作為高考的重要部分，其影響是不容置疑的.導數是高等數學的基本概念之一，又是中學數學學習的一個重要主干知識，是聯系數學與其他自然學科的基礎，也是研究函數性質的重要工具之一.其中，函數、導數與不等式的綜合型試題是高考數學試卷中的常客，不等式的證明是高考數學中的一個重要考點，常以函數為背景.其中作差構造法是證明不等關系的一個重要方法，根據不等式，利用作差構造法得出新的函數關系，并轉化為函數的最值問題，利用導數的單調性、最值等基本性質加以證明.

1 引例證明

1.1 引例1證明

引例1 證明不等式ex≥x+1成立.

證明 令f（x）=ex-x-1（x∈R），則f ′（x）=ex-1.

令f ′（x）=0，則x=0.

當x變化時，f ′（x），f（x）的變化見表1.

所以f（x）min=f（x）極小值=f（0）=0.

故f（x）≥0，即ex-x-1≥0成立，原不等式得證.

通過觀察可以發現，若將上述不等式中的x換成lnx，則有不等式lnx≤x-1成立.

1.2 引例2證明

引例2 證明不等式lnx≤x-1成立.

證明 令g（x）=lnx-x+1（xgt;0），則

g′（x）=1x-1.

令g′（x）=0，則x=1.

當x變化時，g′（x），g（x）的變化見表2.

表2 g′（x），g（x）變化表

x（0，1）1（1，+∞）

g′（x）+0-

g（x）↑極大值↓

所以g（x）max=g（x）極大值=g（1）=0.

故g（x）≤0，即lnx-x-1≤0成立，原不等式得證.

引例1和引例2是一類比較容易求解的不等式問題，這類問題的基本解題步驟如下：①要證

f（x）≥g（x）；②需證f（x）-g（x）≥0；③令f（x）-

g（x）=h（x）；④即h（x）min≥0.

1.3 證明小結

由引例1與引例2的證明過程可以推出經典不等式鏈條（如圖1），這在解決不等關系中有著重要作用.對于這種類型的題目，學生能通過已有的知識經驗較容易求解出問題的解，可以較大程度調動學生的積極性，迸發學習興趣與動力，促進教學.

2 例題剖析

例1 求證：ex≥ln（x+2）.分析 例1是建立在引例1與引例2的基礎上的進一步深化，由引例1可以知道不等式ex≥x+1可以看成是函數y=ex與y=x+1的圖象之間的位置關系，引例2中的不等式lnx≤x-1可以看成是函數y=lnx與y=x-1的圖象之間的位置關系，而y=x+1與y=x-1可以看成是y=x分別向左、向右平移1個單位長度后的圖象與y=ex，y=lnx圖象之間的位置關系，如圖2所示.

由圖3可以發現，不等式ex≥ln（x+2）可以看成是函數y=ex與y=ln（x+2）的圖象之間的位置關系，其中函數y=ln（x+2）的圖象可以看成是把函數y=lnx的圖象向左平移2個單位長度后得到的圖象，利用幾何畫板可以快速作出兩函數圖象，并根據圖象位置得出結論ex≥ln（x+2）.

下面進行證明：令h（x）=ex-ln（x+2），xgt;-2，

則h′（x）=ex-1x+2.令h′（x）=0，發現無法解出一個具體的x0，因此進一步求導.

令t（x）=ex-1x+2，則t′（x）=ex+1（x+2）2gt;0.

即h′（x）在（-2，+∞）上單調遞增.

因為limx→-2+h′（x）=-∞，limx→+∞h′（x）=+∞，

因此存在x0，使得h′（x0）=0.

因為h′（0）=1-12gt;0，h′（-1）=1e-1lt;0，

所以h′（-1）h′（0）lt;0，在（-1，0）上存在x0使得h′（x0）=0，故當x∈（-2，x0）時，h′（x）lt;0，h（x）單調遞減，當x∈（x0，+∞）時，h′（x）gt;0，h（x）單調遞增.

于是h（x）min=h（x0）=e^x0-ln（x0+2）.

又h′（x0）=e^x0-1x0+2=0，則e^x0=1x0+2.

兩邊取對數，得x0=-ln（x0+2）.

所以h（x）min=1x0+2+x0=x20+2x0+1x0+2=（x0+1）2x0+2≥0.

即ex≥ln（x+2）.

評析 本題的難點在于無法確切求出零點x0的值，這類問題屬于隱零點問題.隱零點解題步驟：①求一階導f ′（x）；②判斷導數的增減性（一般為恒增或恒減），需要求二階導f ″（x）；③虛設一階導f ′（x）的零點x0，根據零點存在定理求出x0的取值范圍，根據e^lnx=x，lnex=x，化成同一階式；④代入上一步化簡的結果f（x0）中得出f（x）的最值的直觀表示.

例2 求證：xex≥x+lnx+1.

證明 令f（x）=xex-x-lnx-1，xgt;0，

則f ′（x）=（x+1）ex-1-1x，

f ″（x）=（x+2）ex+1x2gt;0，

所以f ′（x）在（0，+∞）上單調遞增.

又f ′（1）=2e-2gt;0，f ′（14）=54e¹⁴-5lt;0，故在（14，1）存在一個零點x0使得f ′（x0）=0，當x∈（0，x0）時，f ′（x）lt;0，f（x）單調遞減；當x∈（x0，+∞）時，f ′（x）gt;0，f（x）單調遞增.

所以f（x）min=f（x0）=x0e^x0-x0-lnx0-1.

因為f ′（x0）=（x0+1）e^x0-1-1x0=0.

所以（x0+1）e^x0=x0+1x0.

即lnx0e^x0=0.即lnx0+lne^x0=0.即lnx0=-x0.

所以f（x）min=1-x0+x0-1=0.

即xex≥x+lnx+1得證.

3 真題賞析

函數不等式的證明問題通常會比較復雜，而且常常以壓軸題的形式出現在各類考試中.其中，作差構造法解決不等式是常用的方法，下面列舉幾個實例供讀者研究.

題1 （山東青島2023年高三年級調研檢測22題第2問）已知a≥1e，函數f（x）=aex-lnx+lna.求證：f（x）≥-4x+4.

題2 （柳州市2024屆新高三摸底考試22題第2問）已知函數f（x）=2lnx-ax.若f（x）≤e^ax-x2恒成立，求實數a的取值范圍.

題3 （貴州省高三年級適應性聯考一22題第2問）已知函數f（x）=xlnx+a-1，g（x）=asinx+a-2（a∈R）.證明：當a∈［-1，1］時，f（x）gt;g（x）.4 結束語

高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質^[2].函數的單調性、極值和最值是研究導數問題的基礎，利用導數解決函數不等關系的問題是解題的關鍵，所有問題都會最終歸結為函數的單調性判斷，而單調性問題又與導函數的零點有著密切的關系，零點問題是函數綜合問題的核心.利用導數研究函數的不等關系的關鍵是利用作差構造法證明不等式，重點在于作差與構造，其中滲透了轉化與化歸思想、函數與方程思想的培養，對培養學生的運算能力、建模能力與邏輯推理能力也是十分關鍵的.在高考備考中，教師也應該將重點放在學生思維與能力的培養上，使學生能夠舉一反三，觸類旁通，實現育人的真正目標.

參考文獻：

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李 璟］