素養立意下創設輔助題目提升數學解題思路

摘 要：數學活動的主要構成部分是數學解題活動，而在復雜的數學問題中，很多問題的題設條件與所求解之間的關系不夠直接.借助三道標準高考數學真題為例，詳細探討輔助題目的背景、思路和構造方法，幫助學生理解從題設條件到分析構造的過程.

關鍵詞：解題；輔助題目；高考數學

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0073-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：李瑞（2000.8—），男，陜西省甘泉人，碩士，從事中學數學教學研究.

近年，高考數學試題皆體現出高考內容改革的要求，無不是突出基礎性，彰顯綜合性，最終聚焦于數學學科核心素養之下考查學生的關鍵能力^[1]. 波利亞認為，中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練^[2]，他在《怎樣解題》一書中指出：輔助題目是一道新題目，考慮它并非為了它本身，而是希望通過對它的考慮能幫助解決原題.換言之， 輔助題目便是幫助我們解決正在面對的問題而創設出的一道新題目.

數學題中包含兩個最基本要素：條件與結論，解題就是建立條件與結論之間的聯系^[3].創設輔助題目解決數學問題的策略不只是解題策略，也可以將其運用到現實生活的各種問題中，實現化難為易、化繁為簡.這樣的解題教學無疑是與會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界不謀而合^[4].選取恰當的輔助題目有利于我們建立起數學條件與結論之間的聯系.反之，不合理的輔助題目會導致我們遠離“山頂”.基于此，筆者給出三種尋找輔助題目的方法.

1 構造等價輔助題目鏈

等價輔助題目鏈是指在進行數學解題的過程中，對原題進行若干個等價變形，直至將需要求解題目變換成熟悉的、簡單的題目，然后利用已有知識經驗對等價輔助題目鏈進行求解，求解的結果等價于原題的解.這種解題方法在數學問題中普遍應用，體現化繁為簡、化難為易的解題思路.

例1 （2022年數學全國新高考Ⅱ卷第12題）若實數x，y滿足x2+y2-xy=1，則（" ）.

A.x+ylt;1"" B.x+y≥-2

C.x2+y2≥1 D.x2+y2≤2

解析 此題可以將原題目條件x2+y2-xy=1等價轉化為（x+y）2-1=3xy≤3（x+y2）2，（x2+y2）-1=xy≤x2+y22進行求解.本文旨在討論通過構造等價輔助題目鏈的方法解決此問題.

觀察題目條件x2+y2-xy=1，等價變換為（x-12y）2+34y2=1.聯系sin2θ+cos2θ=1，利用換元法可構造出原題的等價輔助題目.

x-12y=cosθ，32y=sinθ等價轉換為x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ.

以此構造出等價輔助題目，

已知x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ，求解x+y，x2+y2.

綜上可知x+y=cosθ+3sinθ.

由輔助角公式可得x+y=2sin（θ+π6）.

x2+y2=53sin2θ+cos2θ+233sinθcosθ，利用二倍角公式與輔助角公式進一步等價轉換為x2+y2=23sin（2θ-π6）+43.

即可求解出x+y≥-2，x2+y2≤2.

在上述解題過程中，原題目的已知條件經過一系列的等價轉換，最終利用換元法得到有關三角函數求解最值的輔助題目.值得注意的是，解題過程中所有的等價變換都屬于等價輔助題目鏈的一環.

2 原題的單向約簡（普遍化與特殊化）

題目的單向約簡是指在兩個沒有解決的題目①與②中，如果可以解決題目①，就可以得到題目②的解.如果首先解決題目②，是不可以得到題目①的解，但可以得到關于題目①的部分信息.通過增加或者減少題目條件，是可以對原題進行單向約簡，構造出恰當的輔助題目.例如擴大題目條件限定范圍，是可以創設出更為一般化的輔助題目，倘若對它求解成功，這意味著可以得到原題的解決，這是波利亞提出的普遍化思想.縮小題目條件限定范圍，可以創設出原題的特殊形式，通過對它的求解也可以獲得原題的部分信息，甚至是所有信息.

例2 （2021年全國乙卷理科第12題）設a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，則（" ）.

A.alt;blt;c B.blt;clt;a C.blt;alt;c D.clt;alt;b

解析

觀察題目基本條件，根據對數的相關運算性質可得出agt;b.但b與c，a與c的大小關系無法直接求解.先考慮a與c的大小關系，利用作差法可比較兩個數的大小關系，故對a與c進行作差可得a-c=2ln1.01-1.04+1.

作差得到的式子僅靠基本計算無法直接判斷其正負性.因此，考慮利用構造函數方法創設出更具一般化的輔助題目，通過判斷新構造的函數單調性等輔助解題.即觀察已知條件，可構造函數f（x）=2ln（1+x）-1+4x-1.即創設出輔助題目為已知函數f（x）=2ln（1+x）-1+4x-1，判斷f（0.01）的正負.

易知函數f0=0， f ′（x）=2x+1-21+4x.

令f ′（x）=0，解得x1=0或x2=2，即在［0，2］上，函數f（x）單調遞增.

綜上所述，可知f（0.01）gt;0，即agt;c，同理，可得出blt;c.

實際上，在面對某些特殊問題，利用各種單項約簡的方法將其過渡到一個共性問題之中，是有利于解決初始問題的.共性問題解決了，其特殊情況自然獲得解決，這也是波利亞曾提過的創造者悖論.

3 巧用RMI原則創設輔助題目

RMI原則是徐利治教授提出的關系映射反演原則的簡稱，它的應用領域極其廣泛，是屬于一般科學方法論的范疇，具體說明如下：RMI原則主要是指在較為復雜的關系結構Y中的問題原象X難以解決時，利用某種映射M，將關系

結構Y映射為一個熟悉的、簡單的關系結構Y′，求解關系結構Y′中關于X的映像X′，再通過反演M^-1將X確定^[5].在此過程中，X′便是有助于解決原題的輔助題目.

例3 （選自《單談數學》）橢圓x2a2+y2b2=1的左、右頂點分別為A，B，上、下頂點分別為D，C，P為橢圓上一動點，證明：S△APD·S△BPC=S△ACP·S△BPD.

解析 橢圓問題可通過RMI原則映射為關于圓的問題，相比橢圓，圓具有良好的幾何性質，通過解決關于圓的輔助題目，進而反解出關于橢圓的問題.

作仿射變換M：x=x′，y=y′，可知橢圓的變換輔助圓：x′2+y′2=1，點A，B，C，D，P變換為點A′，B′，C′，D′，P′.

由于橢圓經過仿射變換后封閉圖形的面積比保持不變，即創設輔助題目：

圓x′2+y′2=1的左、右頂點分別為A′，B′，上、下頂點分別為D′，C′，P′為圓上一動點，如圖1，證明：S△A′P′D′·S△B′P′C′=S△A′C′P′·S△B′P′D′.

設點P′坐標為（x′，y′），已知A′D′=A′C′=B′D′=

B′C′=2，

lA′D′：x′-y′+1=0，lB′C′：x′-y′-1=0，

lA′C′：x′+y′+1=0，lB′D′：x′+y′-1=0.

故利用點到直線的距離公式以及三角形面積公式可求出各個三角形的面積.

S△A′P′D′=12|x′-y′+1|，S△B′P′C′=12|x′-y′-1|，

S△A′C′P′=12|x′+y′+1|，SB′P′D′=12|x′+y′-1|.

則S△A′P′D′·S△B′P′C′=12|x′-y′+1|·12|x′-y′-1|=14|-2x′y′|，

S△A′C′P′·S△B′P′D′=12|x′+y′+

1|·12|x′+y′-1|=14|2x′y′|.

綜上可知S△A′P′D′·S△B′P′C′=S△A′C′P′·S△B′P′D′.

即S△APD·S△BPC=S△ACP·S△BPD.

4 結束語借助輔助題目解決數學問題，本質上是在學生已有的認知基礎上出發，利用各種創設輔助題目的方法，繞過原題的困難之處，達到化難為易、化繁為簡的效果，這不僅拓寬了學生的解題思路，還可以引導學生建立知識體系.從過去的知識立意、能力立意到目前素養立意的數學命題下，教師的解題教學應該注重解題教學過程，主動去關注學生的數學思維發展，讓學生可以在解題教學中感受到數學的實用性，助力數學學科核心素養的落地.

參考文獻：

［1］金克勤，陳群星.平和之中有乾坤 變化之處見功力：2023年高考“數列”專題解題分析[J].中國數學教育，2023（Z4）：47-60.［2］ G·波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2017.

［3］ 羅增儒，羅新兵. 作為數學教育任務的數學解題 [J].數學教育學報，2005（01）：12-15.

［4］ 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［5］ 徐利治.數學方法論選講[M].大連：大連理工大學出版社，2018.

［責任編輯：李 璟］