一道三直線斜率問題的解法探究

摘 要：直線與圓的位置關系是高中數學的重點內容，也是高考的高頻考點.斜率是解析幾何的重要研究對象，也是高考涉及較多的問題.文章從方程思想、同構思想、參數法和極限思想等角度給出一道涉及三條直線斜率問題的多種解法.

關鍵詞：斜率問題；參數法；方程思想；極限思想

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）31-0044-03

收稿日期：2024-08-05

作者簡介：周霄漢（1984.11—），男，江蘇省蘇州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

斜率是解析幾何的重要研究對象，一般的研究思路是設出直線方程和點的坐標，直線與曲線聯立，求出點的坐標或者利用韋達定理，然后利用坐標表示斜率再進行計算.當然了，也可根據試題結構，將點的坐標設為參數的形式，或者考慮特殊位置求解.

1 試題呈現

題目 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x-3）2+y2=1，且圓C與x軸交于M，N兩點，設直線l的方程為y=kx（kgt;0），直線l與圓C相交于A，B兩點，直線AM與直線BN相交于點P，直線AM、直線BN、直線OP的斜率分別為k1，k2，k3，則（" ）.

A.k1+k2=2k3" B.2k1+k2=k3

C.k1+2k2=k3D.k1+k2=k3

圖1 直線與圓相交

2 解法探究

思路1 方程思想.

解法1 如圖1所示，由題意得lAM：y=k1（x-2），與圓C：（x-3）2+y2=1聯立，

消y整理得，

（x-2）［（1+k21）x-（2k21+4）］=0.

所以xM=2，xA=2k21+41+k21.

所以A（2k21+41+k21，2k11+k21）.

同理可得B（4k22+21+k22，-2k21+k22）.

因為kOA=kOB，

所以2k1/（1+k21）（2k21+4）/（1+k21）=-2k2/（1+k22）（4k22+2）/（1+k22）.

即（1+k1k2）（k1+2k2）=0^［1］.

因為k1k2≠-1，所以k2=-12k1.

設P（x0，y0），所以y0=k1（x0-2），y0=k2（x0-4）.

所以x0=2k1-4k2k1-k2，y0=-2k1k2k1-k2.

所以P（2k1-4k2k1-k2，-2k1k2k1-k2）.

即P（83，2k13）.

所以k3=2k1/38/3=14k1.

所以k1+k2=12k1=2k3.

故選A.

解法2 由已知，不妨設點M（2，0），N（4，0），則直線AM：y=k1（x-2），直線BN：y=k2（x-4）.

由y=kx，y=k1（x-2）得x=2k1k1-k，y=2kk1k1-k.

即點A（2k1k1-k，2kk1k1-k）.

由點A在圓（x-3）2+y2=1上，得

（2k1k1-k-3）2+（2kk1k1-k）2=1.

即k·k21-k1+2k=0.①

同理可得k+2k·k22+k2=0.

即k·（-1k2）2-（-1k2）+2k=0.②

由①②知，k1，-1k2是關于x的二次方程k·x2-x+2k=0的兩根，顯然k1≠-1k2，否則若k1=-1k2，則k1k2=-1，則AM⊥BN.又MN是圓C的直徑，所以AM，BN的交點P位于圓C上，這與題意不相符.

所以k1·（-1k2）=2kk=2，k1=-2k2.

由y=k1（x-2），y=k2（x-4），得

x=2k1-4k2k1-k2=-4k2-4k2-2k2-k2=83，

y=k1（83-2）=23k1=-43k2.

即點P（83，-43k2）.

所以k3=--4k2/38/3=-12k2.

所以k1+k2=-k2=2k3.

故選A.

思路2 參數方程思想.

解法3 依題意，不妨設點M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），則k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以sinα（3+cosβ）=sinβ（3+cosα）.

即sinαcosβ-cosαsinβ=-3（sinα-sinβ）≠0.

即sin（α-β）=-6cosα+β2sinα-β2.

即2sinα-β2cosα-β2=-6cosα+β2sinα-β2≠0.所以cosα-β2=-3cosα+β2.

所以cosα2cosβ2+sinα2sinβ2=-3cosα2cosβ2+3sinα2sinβ2.

即sinα2sinβ2=2cosα2cosβ2.

所以tanα2·tanβ2=2.所以sinα1+cosα·1-cosβsinβ=2.

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1-cosβ.

所以k1·（-1k2）=2.即k1=-2k2.

由y=k1（x-2），y=k2（x-4），得

x=2k1-4k2k1-k2

=-4k2-4k2-2k2-k2=83，

y=k1（83-2）=23k1=-43k2.

即點P（83，-43k2）.

所以k3=-4k2/38/3=-12k2.

所以k1+k2=-k2=2k3.

故選A.

解法4 依題意，不妨設點M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），則

k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以點A1（cosα，sinα），B1（cosβ，sinβ），E（-3，0）共線于直線x=my-3，且A1，B1均位于圓x2+y2=1上.

記A1（x1，y1），B1（x2，y2），則

由x=my-3，x2+y2=1，得（my-3）2+y2=1.

即（m2+1）y2-6my+8=0.

所以y1+y2=6mm2+1，y1y2=8m2+1 .

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα=y11+x1，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1+cosβ=-1+x2y2，

所以k1·（-1k2）=y11+x1·y21+x2

=y1y2（1+x1）（1+x2）

=y1y2（my1-2）（my2-2）

=y1y2m2y1y2-2m（y1+y2）+4

=8/（m2+1）8m2/（m2+1）-2m·［6m/（m2+1）］+4=2.

所以k1=-2k2^［2］.

下同解法3.

解法5 依題意，不妨設點M（2，0），N（4，0），

A（3+cosα，sinα），B（3+cosβ，sinβ），則

k=sinα3+cosα=sinβ3+cosβgt;0.

所以2t1/（1+t21）3+（1-t21）/（1+t21）

=2t2/（1+t22）3+（1-t22）/（1+t22），

其中t1=tanα2，t2=tanβ2.

即t12+t21=t22+t22.

即t1（2+t22）=（2+t21）t2.

所以（t1-t2）（2-t1t2）=0.

所以t1=t2或t1t2=2.

又α，β的終邊不相同，

所以t1≠t2，t1t2=2，tanα2·tanβ2=2.

又k1=sinα-03+cosα-2=sinα1+cosα=tanα2，

k2=sinβ-03+cosβ-4=-sinβ1-cosβ=-1tan（β/2），

所以k1·（-1k2）=2.

所以k1=-2k2.

下同解法3.

3 結束語

一題多解在日常的解題教學中非常重要，教師適當地引導學生對問題進行一題多解，可發散學生的數學思維、發展學生的學科核心素養，同時也可以加深學生對數學本質的理解和提高學生的解題能力. 斜率問題是解析幾何的核心內容，深入研究斜率問題非常有必要.通過深入研究一道題，可獲得解決這一類問題的數學思想方法：方程思想、同構思想、參數方程思想等.

參考文獻：

［1］ 李鴻昌.“斜橢圓”面積的八種求解方法[J].中學數學雜志，2023（09）：43-46.

[2] 李鴻昌，徐章韜.關于對數平均的一個不等式的推廣[J].數學通報，2023，62（08）：50-52.

［責任編輯：李 璟］