基于MATLAB的一元二次函數APP設計及教學應用

摘要：在“互聯網+”時代，信息技術的運用對中學數學教學產生著深刻影響。本文中設計了一款基于MATLAB的一元二次函數APP，不僅可展示一元二次函數的靜態曲線圖像，還能動態演示函數曲線隨參數變化的效果，這對于激發學生學習數學的興趣，培養學生數形結合思想解決問題的意識，提升課堂教學效率有一定的積極作用。

關鍵詞：MATLAB；APP；一元二次函數；可視化

一、引言

函數是中學數學教學內容中的重點之一，對其內在本質的理解和掌握影響著學生數學建模思想的提升和分析問題能力的增強。但函數是一個抽象且嚴謹的概念，枯燥無趣的數學公式往往使得邏輯思維能力較弱，抽象概念難以具體化的學生跟不上教師的課堂教學節奏，從而導致學生學習主觀能動性下降，學習效果不佳，課堂教學效率不高。在信息時代，信息技術的廣泛應用對各學科教育產生著深刻影響，計算機模擬仿真已成為課堂教學中廣泛使用的一項輔助教學手段。目前主流的數學教學輔助軟件，如動態數學軟件GeoGebra、幾何畫板等可將代數、幾何、統計等中學數學知識以直觀形象的表格、圖形等方式集于一體，使枯燥復雜單調的數學概念或數學關系感官化，使抽象的函數計算、符號方程等可視化，形象化的數字圖像使學生能更加容易地掌握函數的內涵，實現了信息技術與課程內容的有機融合；而且軟件簡單、易用、易懂、全面的特點能滿足大部分的數學教學和學習需求，靈活多樣的操作方式突破了傳統教法中存在的數學圖像只能現場靜態展示而不能動態演示等的限制，提高了課堂教學過程的活躍性。

二、MATLAB 的應用

MATLAB是一款優秀的軟件，它將數據處理、數據可視化及交互式程序設計等諸多應用集于一體，能夠實現數組矩陣的運算、函數和數據的繪制、算法的實現、用戶界面的創建，以及其他編程語言程序的連接等功能。因其語法規則簡單易學、界面友好、平臺可移植性和可輕松可視化數據的特點，滿足了大部分數學課堂教學的需要，也逐漸被人們所熟知和關注。如李曉鵬在運用MATLAB解決函數圖像繪制和數據集中程度分析等問題的初中數學教學實踐活動中，發現其對學生應用數學能力的培養、數學思維的啟發、學習效率的提升等都起著積極作用[1]。吳丹運用 MATLAB軟件進行了一元線性回歸模型的求解和橢圓簡單幾何性質的探索，發現可以很好地優化高中數學課堂教學，提高數學教學效率，實現數學建模素養和直觀想象素養的落實[2]。李業斌等人設計了基于多樣化方式的中學數學實驗教學，讓學生自己設計實驗和驗證數學原理的正確性，啟發了學生創造性和探究學習主動性[3]。米秀旭探究了高中數學教學引入MATLAB的必要性，利用該軟件可實現數學圖像的可視化和形象化，將理論和實踐進行有效聯系，進一步增強了學習興趣，并能更好地培養學生的創造力[4]。

雖然MATLAB輔助中學數學教學的應用多有報道，但大多應用需要有一定的軟件編程基礎，這制約了MATLAB在數學教學實踐活動中的推廣。實際上，MATLAB自帶的圖形用戶界面開發環境具有良好的人機交互功能，其提供了用于構建交互式用戶界面的大量函數和工具，用戶可以選擇合適的控件以實現數據之間的交互和可視化。最近，MATLAB提供了新的交互式開發環境App Designer，相比于以前的GUI開發環境，App Designer可直接在網絡平臺上運行應用程序，且兼容html5，集成圖標、視頻、網頁等多種形式，使用戶能更加方便地實現美觀仿真界面的設計。

函數貫穿于中學數學教學過程的始終，用函數理解方程和不等式是數學的基本思想方法。由一元二次函數觀點出發，可以進一步地讓學生理解其與一元二次方程、一元二次不等式之間的關系，體驗到數學的整體性。筆者根據近年來的教學經驗，應用MATLAB的交互式環境開發功能，設計了一款一元二次函數APP，在課堂教學活動中教師無需現場進行復雜的代碼編程操作，只需在圖形界面上簡單地輸入參數或者滑動滑塊就可生成一元二次函數的靜態圖像比較和動態圖像展示，使得教學內容更加生動和具體，有助于學生對一元二次函數、方程和不等式等數學知識的理解，訓練了學生分析和解決函數問題的能力，增強了他們的邏輯思維、數學建模意識和科學素養，而且節約了課堂授課時間，提升了教學效率。

三、APP框架設計與實現

（一）設計思路

一元二次函數的一般形式為f（x） = ax2+bx+c，其中a、b、c分別是自變量x不同冪次的系數。根據函數公式可知，影響x處的函數值的參量為a、b、c 等3個參量?？紤]到APP設計的主要目標為繪制出函數的曲線圖，用于理解函數與方程、不等式的聯系，那么首先需要在APP設計視圖中添加一個用于繪制圖形的軸控件以及實現三個參量輸入功能的編輯字段（數值）控件，還需添加一個用于實現繪圖響應功能的按鈕控件。再次考慮，其中的任何一個參數的改變將引起函數曲線的變化，如果需要比較曲線隨參數的變化規律，那么還需要設置一個按鈕控件，其功能是將參數變化后的曲線與變化前的曲線繪制在一張圖上，以便進行對比分析，找出函數參數的變化對函數值的影響。如果再考慮到，前面實現的靜態曲線圖像畢竟不如動態圖像展示的直觀鮮明和形象化，那么還需要設置三個滑塊控件以實現參數的連續變化，從而實現函數曲線的動態變化效果。同時，還需添加調節自變量x的編輯字段控件，以便實現對自變量x范圍的限制。另外，為了更好地查詢曲線和x軸的交點橫坐標及比較函數值f（x）的大小，還需設置坐標區輪廓和輔助網格線功能的選擇復選框控件。

（二）框架草圖展示

將相應的控件添加到設計視圖，調整各控件的尺寸、位置等基本屬性后，設計的APP框架圖如圖1所示。上方是函數的形式，用于使用者知曉該APP的函數參數定義及目標功能。左下方的a、b、c數值可直接在APP界面上輸入，默認數值為1、2、2。當點擊“作圖”按鈕時，軸控件上將顯示函數的靜態曲線圖，橫坐標x的默認取值范圍為-4到4。修改相關參數并點擊“疊加”按鈕，在軸控件上將添加新的函數曲線，可體驗到參數變化對函數曲線的影響。點擊“疊加”按鈕幾次則添加幾條函數曲線。在APP右側的動態圖參數設置選項中，a、b、c參數取值范圍通過每個滑塊上方的數值控制，參數的具體值通過滑塊調節。三個滑塊的默認取值范圍-1 ≤a≤ 1、-2 ≤b≤ 2、-3 ≤c≤ 3。坐標區輪廓和輔助網格線選擇功能放置于界面右下角。

（三）回調函數編寫

當設計好APP框架后，依次在需要的控件里編寫回調函數?；卣{函數是對控件觸發時的事件響應函數，在這里要顯示的圖像均是一元二次函數的曲線圖，因此所有控件的回調函數代碼基本一致，只需設置一個統一的私有函數即可實現對所有函數曲線的繪制。私有函數設計流程為首先讀取界面參數，離散觀察范圍數據，然后計算函數的離散值，最后用plot（）函數繪制函數曲線。

（四）APP調試與編譯

當APP調試完成后，可以將該界面編譯并打包成可執行的獨立文件，以便學生在課下在自己的計算機上進行實時練習和回顧，從而增強學生對本節課內容的參與感。

四、APP教學應用

下面介紹該APP在教學過程中的應用。首先展示函數的參數變化對函數圖像的影響。圖2（a）、（b）、（c）分別顯示了參數a、b、c取不同值時的一元二次函數靜態曲線圖。通過圖2（a）可以發現，a的大小決定了曲線的開口方向和彎曲程度，a gt; 0時曲線開口向上，函數值有極小值；a = 0時二次函數簡化為一次函數，曲線變為直線；a lt; 0時曲線開口向下，函數有極大值，且a絕對值越大曲線彎曲程度也越大。圖2（b）則展示了當a ≠ 0且不變時曲線取極值時的位置由參數b決定，a gt; 0時b越大曲線越往x軸負方向移動，而a lt; 0時曲線移動方向恰好相反，當b = 0時曲線關于y軸對稱。通過圖2（b）的演示，讓學生能更加深刻地了解函數取極值時的位置為 x = -b/2a這個知識點。圖2（c）則給出了參數c對函數曲線的影響，可以看到曲線形狀與c無關，但函數值隨著c的增大而單調增大。通過讓學生觀察參數a、b、c變化時的圖像，引導學生分析對比曲線變化，找出圖形與參數之間的關系，總結出一元二次函數的性質，不僅能幫助學生加深對該函數性質的理解，還有助于提升其運用數形結合法解題的能力。

下面來看函數曲線圖與一元二次方程的關系。實際上，函數f（x） 值為0時就得到一個一元二次方程ax2+bx+c = 0，解方程就是求f（x） = 0時的x值，曲線與x軸的交點橫坐標即為方程f（x） = 0的根。由圖2（c）可以看到，a、b不變時c的大小決定了曲線與x軸是否有交點，有幾個交點則方程f（x） = 0有幾個根。如a = 1、b = 2固定，c = 2時的曲線與x軸無交點，這表明方程根不存在，也就是方程無解；而c = -2時，曲線與x軸有兩個交點，則表明方程有兩個根，根的值也可從圖上粗略地得出，約為-2.7和0.7。當然，曲線與x軸是否有交點與其他兩個參數a、b也有關系，交點的位置由a、b、c三個參數共同決定。同時也可以看到，曲線與x軸的兩個交點將曲線分為三部分，其中左右兩側的曲線都在x軸上方或下方，表明此范圍的函數值均為正或者均為負，而中間的函數值符號則與兩側相反。函數f（x）值大于0或者小于0，也就是ax2+bx+c gt; 0或者ax2+bx+c lt; 0。在這里曲線圖與一元二次不等式也聯系起來了，不等式的解集是由使函數值大于0或小于0的自變量x的所有可能取值構成的。如a = 1、b = 2、c = -2時曲線與x軸的交點約為-2.7和0.7，那么不等式x2+2x-2 gt; 0解集為{x|x lt; -2.7或x gt; 0.7}，不等式x2+2x-2 lt; 0解集為{x|-2.7 lt; x lt; 0.7}。因此，借助MATLAB可視化功能繪制一元二次函數的圖像，不僅可以直觀且準確地判斷方程根的存在性和根的個數，還可以略估一元二次不等式的解集，從而進一步加強學生的動手解題能力。

該APP還可用來展示函數曲線的動態變化效果，即可連續調節a、b、c三個參數來演示f（x）曲線的實時變化，增強學生的圖形結合解題意識。當滑動某一個滑塊時，曲線的開口方向、彎曲程度、極值點或與x軸的交點將隨之快速響應，連續的靜態圖像幀合成為動態圖像。相比于靜態曲線，動態曲線能夠更好地吸引學生的注意力，提供更加豐富和有趣的學習體驗。

五、結束語

本文設計了一款基于MATLAB的一元二次函數APP，實現了函數的可視化和形象化，產生的靜態曲線和動態曲線變化效果使得函數、方程、不等式等抽象的數學概念和公式變得更加生動和具體。通過觀察和分析圖像，增強了學生對該部分知識的理解和掌握，提升了學生學習效率，還培養了學生運用數形結合思想解決問題的意識和空間想象能力。雖然本文只介紹了MATLAB在一元二次函數中的一個應用，但MATLAB在中學數學教學中的應用遠不止于此。在以后的教學實踐活動中，筆者將嘗試編寫冪函數、指數函數、三角函數等一些常規數學函數及圓錐曲線等幾何曲線的APP，期望借助靈活多變的函數曲線和動態圖，將數學概念和公式用圖像展現出來，使數學中復雜的問題變得更加容易解決，并輔助檢驗結論的正確性。

參考文獻

[1] 李曉鵬.MATLAB軟件在初中數學教學中的應用初探[J].數理化解題研究， 2023（2）：14-15.

[2] 汪丹.MATLAB輔助高中數學教學的應用研究——以落實直觀想象和數學建模素養為例[J].中學數學， 2023（13）：35-36.

[3] 李業斌，王華.基于多元方式的中學數學實驗教學設計[J].中國教育技術裝備， 2018（13）：86-88.

[4] 米秀旭.MATLAB軟件在高中數學教學中的應用推廣[J].數學學習與研究：教研版， 2021（29）：34-36.